2017-2018学年内蒙古集宁一中高三上学期理数第二次月考数学试卷
一、单选题
1．（2017高三上·集宁月考）已知集合 ,集合 ,则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2017高三上·集宁月考）设复数 满足 ,则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2017高三上·集宁月考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2017高三上·集宁月考）圆 的圆心到直线2 的距离为1,则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2017高三上·集宁月考）若 是两个单位向量,且 ,则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2017高三上·集宁月考）已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017高一下·正定期末）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 的值为（ ）
A．38 B．-19 C．-38 D．19
8．（2017高三上·集宁月考）若将函数 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2017高三上·集宁月考）变量 满足条件 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
10．（2017高三上·集宁月考）已知 且 ,则 的最小值为（ ）
A．8 B．5 C．4 D．6
11．（2017高三上·集宁月考）过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的弦 ， 是另一焦点，若 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率 等于（ ）
A． B． C． D．
12．（2017高三上·集宁月考）设函数 ，若关于 的方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2017高三上·集宁月考）已知偶函数 在区间 上单调递减,则满足 的 的取值范围是 .
14．（2017高三上·集宁月考）一个圆经过椭圆 的顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .
15．（2017高三上·集宁月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若棱长AB=3,则点B到平面ACD1的距离为 .
16．（2017高三上·集宁月考）定义在 上的连续函数 满足 ，且 在 上的导函数 ，则不等式 的解集为 ．
17．（2017高三上·集宁月考）已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点 .
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若直线 交C于A,B两点,且OA⊥OB(O为原点),求b的值.
三、解答题
18．（2017高三上·集宁月考）在 中,边, 分别是角 的对边,且满足等式 = .
（1）求角 的大小;
（2）若 ,且 ,求 .
19．（2017高三上·集宁月考）已知数列 满足 ,且 .
（1）证明数列 是等差数列;
（2）求数列 的前 项和 .
20．（2017高三上·集宁月考）如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.
（1）求证:BD⊥平面ACFE;
（2）当直线FO与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
21．（2017高三上·集宁月考）已知抛物线 的焦点为F,直线 与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且 .
（1）求抛物线的方程;
（2）过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆 相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】 ， ，则 ，故答案为：D.
【分析】本题主要考查集合中交集的计算，以及解不等式的方法，求解画图即可。
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ，所以 ，故答案为：C.
【分析】本题考查复数的简单计算化简及求模，把分母有理化化简，然后利用求模公式求解即可。
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】 等价于 ，也就是 或者 ， ，故“ ”是 的必要不充分条件.故答案为：B
【分析】本题主要考查三角恒等变换及充分必要条件的判断，先根据三角恒等变换进行化简，然后根据三角函数的性质进行判断。
4．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆的标准方程为： ，圆心为 ，半径为 ，圆心到直线的距离为 ，解得 ，故答案为：A.
【分析】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，先把圆化成标准方程，然后利用点到直线的距离公式求解。
5．【答案】A
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，故 ，所以 ，又 ，故 ，故答案为：A.
【分析】考查向量的计算问题，主要根据向量垂直得到向量的数量积为0,再利用求模公式求解。
6．【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图
【解析】【解答】由三视图可知：该几何体由圆锥的 与一个三棱柱组成的。
∴该几何体的体积 ；故答案为：D.
【分析】本题主要考查三视图和直观图的转化，能够根据三视图画出直观图，进而求出柱体的体积。
7．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质可知 ．即 ． ，Ｃ符合题意 ．
故答案为：C .
【分析】根据等差数列的性质“若m+n=p+q，则am+an=ap+aq”可求出a10，再根据等差数列的前n项和公式Sn==na（n为奇数）即可求解..
8．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 的对称轴为 ，左移 个单位长度后，对称轴为 ，故答案为：B.
【分析】本题主要考查三角函数平移变换以及函数的性质，先根据已知条件写出平移后的三角函数，然后根据三角函数的性质求出对称轴即可。
9．【答案】C
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，故答案为：C.
【分析】主要考查线性规划问题，找到目标函数，主要确定目标函数的几何意义即可。
10．【答案】A
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ，又因为 ，故 ，也就是 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，故答案为：A.
【分析】本题主要考查用基本不等式求解最值问题，主要利用代换的方法，求解。
11．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意得
故答案为：C.
【分析】本题主要考查双曲线的离心率问题，主要是找到a和c的关系，根据三角形是等腰直角三角形，可以根据勾股定理求解。
12．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由图像可以知道 ， ，故 ，其中 ，考虑函数 为单调减函数，所以其值域为 ，故答案为：D.
【分析】本题主要考查分段函数以及函数的图象问题，先根据题意作出函数的图象，结合图像即可求解。
13．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】由题设有 ，解得 ，填 .
【分析】本题主要是单调性和奇偶性的应用，根据题意去掉括号求解不等式。
14．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆心为（a，0），则半径为4-a，则 ，解得 ，故圆的方程为 .
【分析】本题主要考查圆的标准方程的求法，主要是根据顶点求出圆的半径和圆心。
15．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】考虑三棱锥 的体积，设所求距离为 ，因 为等边三角形且其边长为 ，故面积为 ， 到平面 的距离为 ， ，故 ，故 ，故填 .
【分析】本题主要考查点到面的距离问题，根据等积转化求解或者建立空间直角坐标系进行求解。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，则 ，即 是单调递减函数，而 ，所以 等价于 ，即 ，所以 ，故不等式的解集为 ，应填答案 。
【分析】本题主要考查函数的单调性以及导数的应用。主要是要构造函数，利用导数判断单调性进行求解。
17．【答案】（1）解：由 在椭圆上,可得 ①,
由直线与椭圆有且只有一个公共点,则
,消去 可得 ,
由题意可得 ,即为 ②,
由①②,且 ,解得 ,即有椭圆方程为
（2）解：设 消去 ,可得 ,
判别式
由 即为 ,则
解得 或 ，代入判别式符合要求,则 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查椭圆的标准方程的求法以及直线与椭圆的位置关系。（1）联立直线与椭圆方程，利用有一个交点说明判别式=0即可。（2）联立方程，因为有两个交点，所以判别式大于0，以及根据垂直得到向量的数量积为0即可。
18．【答案】（1）解：由 ，得 ，则 ，因为 ,所以 ，因为 ,所以
（2）解：由 , 得 ,由余弦定理得 ，且 得 ，即 ,所以
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】本题主要考查正余弦定理、三角形面积公式以及恒等变换。（1）由正弦定理和诱导公式即可。（2）由三角形面积公式求出ac，然后利用余弦定理求解角即可。
19．【答案】（1）解：由 ,等式两端同时除以 到
,即
（2）解： ,∴数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,
, ，∴数列 的前 项和:
②﹣①,得:
，即
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】本题主要考查数列问题。（1）证明数列是等差数列，利用数列的定义，主要证明差是定值。（2）主要是错位相减的方法求解数列的前n项和。
20．【答案】（1）证明:在菱形 中,可得 ，又因为 平面 , ，且 平面
（2）解：取 的中点为 ，以 为坐标原点,以 为 轴,以 为 轴，以 为 轴,建立空间直角坐标系，则 ，则 ,设平面 的法向量 ，
由 ，也就是 ，可取 ①
则 ，解得 ，故
设平面 的法向量为
设平面 的法向量为 ,
同理①可得
则 ，则二面角 的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】本题主要考查空间二面角的求法以及线面垂直的判定定理的应用。（1）主要是利用线面垂直的判定定理和性质定理进行证明。（2）建立空间直角坐标系，利用向量坐标进行求解。
21．【答案】（1）解：由题意可知 ,由 ,则 ,解得 ，∴抛物线
（2）解：设 ，联立 ，整理得: ， 则 ，由 ，求导 ，直线 同理求得 ，则 ,解得: ,则 , 到 的距离 , 与 的面积之积为：
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系，（1）根据题意求出QF，和p即可求出抛物线的方程。（2）设直线方程，然后联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理求出关系式，然后利用点到直线的距离公式求出高，进而求出面积的表达式即可。
2017-2018学年内蒙古集宁一中高三上学期理数第二次月考数学试卷
一、单选题
1．（2017高三上·集宁月考）已知集合 ,集合 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】 ， ，则 ，故答案为：D.
【分析】本题主要考查集合中交集的计算，以及解不等式的方法，求解画图即可。
2．（2017高三上·集宁月考）设复数 满足 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 ，所以 ，故答案为：C.
【分析】本题考查复数的简单计算化简及求模，把分母有理化化简，然后利用求模公式求解即可。
3．（2017高三上·集宁月考）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】 等价于 ，也就是 或者 ， ，故“ ”是 的必要不充分条件.故答案为：B
【分析】本题主要考查三角恒等变换及充分必要条件的判断，先根据三角恒等变换进行化简，然后根据三角函数的性质进行判断。
4．（2017高三上·集宁月考）圆 的圆心到直线2 的距离为1,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆的标准方程为： ，圆心为 ，半径为 ，圆心到直线的距离为 ，解得 ，故答案为：A.
【分析】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，先把圆化成标准方程，然后利用点到直线的距离公式求解。
5．（2017高三上·集宁月考）若 是两个单位向量,且 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，故 ，所以 ，又 ，故 ，故答案为：A.
【分析】考查向量的计算问题，主要根据向量垂直得到向量的数量积为0,再利用求模公式求解。
6．（2017高三上·集宁月考）已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图
【解析】【解答】由三视图可知：该几何体由圆锥的 与一个三棱柱组成的。
∴该几何体的体积 ；故答案为：D.
【分析】本题主要考查三视图和直观图的转化，能够根据三视图画出直观图，进而求出柱体的体积。
7．（2017高一下·正定期末）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 的值为（ ）
A．38 B．-19 C．-38 D．19
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由等差数列的性质可知 ．即 ． ，Ｃ符合题意 ．
故答案为：C .
【分析】根据等差数列的性质“若m+n=p+q，则am+an=ap+aq”可求出a10，再根据等差数列的前n项和公式Sn==na（n为奇数）即可求解..
8．（2017高三上·集宁月考）若将函数 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 的对称轴为 ，左移 个单位长度后，对称轴为 ，故答案为：B.
【分析】本题主要考查三角函数平移变换以及函数的性质，先根据已知条件写出平移后的三角函数，然后根据三角函数的性质求出对称轴即可。
9．（2017高三上·集宁月考）变量 满足条件 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，故答案为：C.
【分析】主要考查线性规划问题，找到目标函数，主要确定目标函数的几何意义即可。
10．（2017高三上·集宁月考）已知 且 ,则 的最小值为（ ）
A．8 B．5 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】 ，又因为 ，故 ，也就是 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，故答案为：A.
【分析】本题主要考查用基本不等式求解最值问题，主要利用代换的方法，求解。
11．（2017高三上·集宁月考）过双曲线的一个焦点 作垂直于实轴的弦 ， 是另一焦点，若 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意得
故答案为：C.
【分析】本题主要考查双曲线的离心率问题，主要是找到a和c的关系，根据三角形是等腰直角三角形，可以根据勾股定理求解。
12．（2017高三上·集宁月考）设函数 ，若关于 的方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由图像可以知道 ， ，故 ，其中 ，考虑函数 为单调减函数，所以其值域为 ，故答案为：D.
【分析】本题主要考查分段函数以及函数的图象问题，先根据题意作出函数的图象，结合图像即可求解。
二、填空题
13．（2017高三上·集宁月考）已知偶函数 在区间 上单调递减,则满足 的 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】由题设有 ，解得 ，填 .
【分析】本题主要是单调性和奇偶性的应用，根据题意去掉括号求解不等式。
14．（2017高三上·集宁月考）一个圆经过椭圆 的顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设圆心为（a，0），则半径为4-a，则 ，解得 ，故圆的方程为 .
【分析】本题主要考查圆的标准方程的求法，主要是根据顶点求出圆的半径和圆心。
15．（2017高三上·集宁月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若棱长AB=3,则点B到平面ACD1的距离为 .
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】考虑三棱锥 的体积，设所求距离为 ，因 为等边三角形且其边长为 ，故面积为 ， 到平面 的距离为 ， ，故 ，故 ，故填 .
【分析】本题主要考查点到面的距离问题，根据等积转化求解或者建立空间直角坐标系进行求解。
16．（2017高三上·集宁月考）定义在 上的连续函数 满足 ，且 在 上的导函数 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，则 ，即 是单调递减函数，而 ，所以 等价于 ，即 ，所以 ，故不等式的解集为 ，应填答案 。
【分析】本题主要考查函数的单调性以及导数的应用。主要是要构造函数，利用导数判断单调性进行求解。
17．（2017高三上·集宁月考）已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点 .
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若直线 交C于A,B两点,且OA⊥OB(O为原点),求b的值.
【答案】（1）解：由 在椭圆上,可得 ①,
由直线与椭圆有且只有一个公共点,则
,消去 可得 ,
由题意可得 ,即为 ②,
由①②,且 ,解得 ,即有椭圆方程为
（2）解：设 消去 ,可得 ,
判别式
由 即为 ,则
解得 或 ，代入判别式符合要求,则 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查椭圆的标准方程的求法以及直线与椭圆的位置关系。（1）联立直线与椭圆方程，利用有一个交点说明判别式=0即可。（2）联立方程，因为有两个交点，所以判别式大于0，以及根据垂直得到向量的数量积为0即可。
三、解答题
18．（2017高三上·集宁月考）在 中,边, 分别是角 的对边,且满足等式 = .
（1）求角 的大小;
（2）若 ,且 ,求 .
【答案】（1）解：由 ，得 ，则 ，因为 ,所以 ，因为 ,所以
（2）解：由 , 得 ,由余弦定理得 ，且 得 ，即 ,所以
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】本题主要考查正余弦定理、三角形面积公式以及恒等变换。（1）由正弦定理和诱导公式即可。（2）由三角形面积公式求出ac，然后利用余弦定理求解角即可。
19．（2017高三上·集宁月考）已知数列 满足 ,且 .
（1）证明数列 是等差数列;
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：由 ,等式两端同时除以 到
,即
（2）解： ,∴数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,
, ，∴数列 的前 项和:
②﹣①,得:
，即
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和
【解析】【分析】本题主要考查数列问题。（1）证明数列是等差数列，利用数列的定义，主要证明差是定值。（2）主要是错位相减的方法求解数列的前n项和。
20．（2017高三上·集宁月考）如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.
（1）求证:BD⊥平面ACFE;
（2）当直线FO与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
【答案】（1）证明:在菱形 中,可得 ，又因为 平面 , ，且 平面
（2）解：取 的中点为 ，以 为坐标原点,以 为 轴,以 为 轴，以 为 轴,建立空间直角坐标系，则 ，则 ,设平面 的法向量 ，
由 ，也就是 ，可取 ①
则 ，解得 ，故
设平面 的法向量为
设平面 的法向量为 ,
同理①可得
则 ，则二面角 的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】本题主要考查空间二面角的求法以及线面垂直的判定定理的应用。（1）主要是利用线面垂直的判定定理和性质定理进行证明。（2）建立空间直角坐标系，利用向量坐标进行求解。
21．（2017高三上·集宁月考）已知抛物线 的焦点为F,直线 与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且 .
（1）求抛物线的方程;
（2）过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆 相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.
【答案】（1）解：由题意可知 ,由 ,则 ,解得 ，∴抛物线
（2）解：设 ，联立 ，整理得: ， 则 ，由 ，求导 ，直线 同理求得 ，则 ,解得: ,则 , 到 的距离 , 与 的面积之积为：
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系，（1）根据题意求出QF，和p即可求出抛物线的方程。（2）设直线方程，然后联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理求出关系式，然后利用点到直线的距离公式求出高，进而求出面积的表达式即可。
