苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
高二数学
2024.1
注意事项：
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置
3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（ ）
A． B． C． D．4
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．已知是等比数列，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5．在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．在空间直角坐标系中，已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线
8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则是椭圆 B．若，则是椭圆
C．若，则是双曲线 D．若，则是双曲线
10．已知数列满足，（，，），设的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
11．如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则
A． B．平面
C． D．直线与平面所成角为
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，点，为上异于不同两点，故，的斜率分别为，，是的准线与轴的交点．若，则（ ）
A．以为直径的圆与的准线相切 B．存在，，使得
C．面积的最小值为 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平面直角坐标系中，已知荾形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以，为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程：______．
14．在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为______．
15．已如圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为______．
16．函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数的最大整数，例如：，．已知数列的通项公式为，设的前项和为，则使得的最大正整数的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．
（1）设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；
（2）求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程．
18．（12分）
已知数列的前项和为，且（）．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
19．（12分）
如图，在直三棱柱中，已知，，点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，．
（1）求该直三棱柱的高；
（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值
20．（12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为．
（1）求的标准方程；
（2）若斜率为的直线（不过原点）交于，两点，点关于的对称点在上，求四边形的面积．
21．（12分）
已知数列满足，（）．
（1）求，及的通项公式；
（2）若数列满足且，（），记的前项和为，试求所有的正整数，使得成立．
22．（12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点（从左到右依次为、、、），记以为直径的圆为圆．
（1）当与圆相切时，求；
（2）求证：直线与直线的交点在圆内．
苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】，选A
2．【答案】D
【解析】由双曲线的定义知，选D
3．【答案】C
【解析】对于A，，三个向是，，共面
对于B，，三个向量，，共面
对于D，，所以三个向量，，共面
对于C，若，不存在实数，使得等式成立，所以，，不共面
选C
4．【答案】A
【解析】由，所以，则，由，所以
所以，选A
5．【答案】C
【解析】直线：过定点，
圆：，圆心，半径
因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时，
弦长最短为，选C
6．【答案】B
【解析】对于B，若点，则，则，所以点不在平面内，选B
7．【答案】B
【解析】因为点在圆内，所以圆内切与圆，由两圆内切的关系可知，
从而，所以点轨迹是以为焦点的椭圆
8．【答案】A
【解析】法1：不妨设，，，
则，，
所以
所以①，②
联立①②解得，，所以椭圆离心率
选A
法2：，，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为和
，
则
，得：
则，
，得：，故，选A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】BC
10．【答案】AD
【解析】若，，则，，两式相减可得，所以为周期2的周期数列，，则，A正确；，B错误
若，，则，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，则，所以，C错误，D正确
故选AD
11．【答案】ACD
【解析】易知，所以，设，为中点，则，因为四边形为菱形，所以，所以平面，平面，所以，A正确；
对于B，因为，所以，
所以与不垂直，即与不垂直
所以与平面不垂直，B错误
对于C，，
所以，C正确
对于D，选项A中已经证明平面，所以直线与平面所成角即为直线与所成角的余角，，而，
所以，所以直线与所成角为
所以直线与平面所成角为，D正确
故选ACD
法2：为空间基底来解决问题
由题意知：
，则：
故A正确，B错误；
，则：，C正确；
显然有，且
又
故，从而易得：是平面的一个法向量
设与平面所成角为，则，D正确；
因此，选ACD．
12．【答案】ABD
【解析】，，则
得：，故直线过焦点，选项AD正确
，故选项B正确；
设直线的倾斜角为，则，选项C错误；
（或注意到当为通径时，，故选项C错误）
因此，选ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】（答案不唯一）
14．【答案】
【解析】由抛物线的定义知，，所以
当点位于射线与抛物线交点时，取最大值
15．【答案】
【解析】法1：在上的投影向量为，故
设直线与直线所成角为，则，即
法2：如图，，则，为等边三角形，点在圆上的射影为，
则为中点，所以，，在中，
则
即与所成角为
法3：以为原点建系，，，
故，即所成角为．
16．【答案】59
【解析】，
故时，，共项
其和为
又时，，故，
因此，所求正整数的最大值为59.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）因为为中点，，，所以．
因为四边形为平行四边形，所以，
由，，得，
所以．由知直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即所求直线的方程为．
（2）因为四边形为平行四边形，且，，，
设，由得解得，
又由得，且，
所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为．
18．【解析】（1）令得
因为（），所以（，），
两式相减得（，），
即．所以（，），
所以，即，
所以（，），又，所以（）．
（2）由（1），
所以．
19．【解析】（1）在直三棱柱中，因为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系（如图），
设（），（）
又，所以可得，，，，，，，，
所以，，
因为，所以，所以，
所以，即该直三棱柱的高为2．
（2）在直三棱柱中，有平面，
又，由（1）知，（），
所以，
当且仅当时取“＝”
即点，分别为线段，的中点时，三棱锥的体积最大．
此时，，，
所以，，
设是平面的一个法向量，
则即取，得，
又平面的一个法向量为，
所以，
因为平面与平面的夹角为锐角，所以．
20．【解折】（1）由题意，所以，又因为，所以，，
所以的标准方程为．
（2）设直线：（），，，．
将代入：中，化简整理得，
于是有
所以
，
因为点关于的对称点为，所以解得即
因为在上，所以，解得．
又因为点到直线的距离，
所以由对称性得
第二问法2：设：，：，则，
，，解得，则
代入：，得：，则
，则
故．
21．【解析】（1）将代入，得，，
令，得，，
所以，又，从而，
所以，从而
（2）由，又，，所以是以2为首项、3为公比的等比数列，
所以，所以
因为，所以．
因为
，
所以，即
当时，无解；
当时，因为，
所以当且仅当时，取最大值1，即的解为．
综上所述，满足题意的的值为2．
第2问法2：（2），，，则
故是首项为2，公比为3的等比数列，则
，即，即
，即
令，则
时，，即
时，，即
，时，
故满足方程的正整数只有2
即使得成立的正整数为2
22．【解析】（1）因为，所以．所以，
所以圆的半径．由题意知的斜率存在，
设：（）．
当与圆相切时，到的距离，
即，解得
由得，即，
解得，，所以．
（2）设，，由得，
此时，，，解得，
且所以，
因为，，所以：，：，
联立，方程，消去得．
所以，
即，所以．
将代入方程得，即．
因为，所以
所以，即直线，的交点在圆内．
法2：（1），得：，故：
，圆半径为1，设：，则：，得：
，则；
（2）证：设：，，，
，，显然有
，
即，双曲线的渐近线斜率为，故
所以，因此，点在圆内
