河北省定州中学2017-2018高一（承智班）上学期数学第二次月考试卷

河北省定州中学2017-2018学年高一（承智班）上学期数学第二次月考试卷
一、单选题
1．（2017高一上·河北月考）已知定义在R上的函数 满足 ，若关于 的方程 恰有5个不同的实数根 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C．(1，2) D．(2，3)
2．（2017高一上·河北月考）已知函数 满足： ，且 ， 分别是 上的偶函数和奇函数，若 使得不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2017高一上·河北月考）已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同根，则实数 的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2017高一上·河北月考）已知点 ，动点 的坐标满足 ，那么 的最小值是（　　）
A． B． C． D．1
5．（2017高一上·河北月考）设定义域为 的函数 ，若关于 的方程 有7个不同的实数解，则 （　　）
A． B． C． 或2 D．
6．（2017高一上·河北月考）已知定义在R的函数 是偶函数，且满足 上的解析式为 ，过点 作斜率为k的直线l，若直线l与函数 的图象至少有4个公共点，则实数k的取值范围是
A． B．
C． D．
7．（2017高一上·河北月考）关于 的方程 恰有3个实数根 、 、 ，则 （　　）
A．1 B．2 C． D．
8．（2017高一上·河北月考）设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 （ 为函数 的导函数），在 上有且只有两个不同的零点，则称 是 在 上的“关联函数”，若 ，是 在 上的“关联函数”，则实数 的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
9．（2017高一上·河北月考）光线通过一块玻璃，强度要损失 ．设光线原来的强度为 ，通过 块这样的玻璃以后强度为 ，则经过 块这样的玻璃后光线强度为： ，那么至少通过（　　）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的 以下（ ， ）
A． B． C． D．
10．（2017高一上·河北月考）已知函数 的图像如图所示，则函数 与 在同一坐标系中的图像是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2017高一上·河北月考）已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2017高一上·河北月考）已知函数 ， ，若函数 有四个零点，则 的取值范围（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2017高一上·河北月考）已知函数f(x)= ，若f(x)的图象与直线y=kx有两个不同的交点，则实数k的取值范围　 　
14．（2017高一上·河北月考）已知函数 ， .
（1）当k=0时，函数g（x）的零点个数为　 　；
（2）若函数g（x）恰有2个不同的零点，则实数k的取值范围为　 　.
15．（2017高一上·河北月考）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若 ， ，则实数 的取值范围为　 　．
16．（2017高一上·河北月考）已知函数 ，其中 ，若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立， 　 　．（并且写出 的取值范围)
三、解答题
17．（2017高一上·河北月考）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a 2x﹣ a），其中f（x）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）求函数g（x）的定义域；
（3）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
18．（2017高一上·河北月考）已知函数 ，且 .
（1）试求 的值；
（2）用定义证明函数 在 上单调递增；
（3）设关于 的方程 的两根为 ，试问是否存在实数 ，使得不等式 对任意的 及 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的零点
【解析】【解答】 是奇函数，得到函数图象如图：
不妨设 ，则由对称性可知， ，
故答案为：B。
【分析】由分段函数的解析式作出的图象，由题意得出f（x）为奇函数，根据奇函数关于原点对称作出的图象，由数形结合不难得出答案.
2．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；基本不等式
【解析】【解答】 ，
所以 ，
所以 ，令 ，
则 ， ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】根据函数的奇偶性，表示出F（x）和F（-x），求出g（x），h（x）的表达式，进行参变分离，换元即可求出a的取值范围.
3．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质
【解析】【解答】 的图象如图：
方程 有8个不同的根，令 ，
则 有两个不同的根，且根 的范围是 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：A。
【分析】根据分段函数的解析式，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2-bt+1=0有两个不同的根，得出t的范围，列出不等式组，从而解出b的范围.
4．【答案】B
【知识点】函数图象的作法；简单线性规划；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】
如图，易知 的最小值就是点 到直线 的距离， ，
故答案为：B。
【分析】根据题意作出的图象，易知的最小值即为点A到y=x的距离.
5．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】设 ，作出函数 图象，如图所示：
由图象可知：
当 时，函数图象有2个交点， 当 时，函数图象有3个交点， 当 时，函数图象有4个交点， 当 时，函数图象有两个交点， 当 ，函数图象无交点． 要使方程 有7个不同的实数解，则要求对应方程 中的两个根 或 ，且
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的解析式，作出f（x）的图象，令f（x）=t，通过数形结合不难得出t2-(2m+1)t+m2=0中的两个根t1=4或06．【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】根据题意知道函数 是偶函数，且满足 ，故函数还是周期为4的函数，根据表达式画出图像是定义在R上的周期性的图像，一部分是开口向下的二次函数，一部分是一次函数，当k>0时，根据题意知两图像有两个交点，当直线 和图像 , ,相切时是一种临界，要想至少有4个交点，斜率要变小；故设切点为
当k<0时，临界是过点（-6，1）时，此时 ,要想至少有4个交点需要逆时针继续旋转，斜率边大，直到和x轴平行。故两种情况并到一起得到：实数k的取值范围是 。
故答案为：C。
【分析】以题意得出函数的周期为4，由解析式作出图象为一部分是开口向下的二次函数，一部分是一次函数，结合直线可讨论出实数k的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】偶函数
【解析】【解答】设 ，易知： 为偶函数，若方程 恰有3个实数根 、 、 ，其中一根必为0，另外两根互为相反数， ，即 ，
由图易得：另外两根为 ，
∴
故答案为：B
【分析】由题意不难得到f（x）为偶函数，若方程恰有三个实数根，则其中一根必为0，另外两根互为相反数，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】 在 上有两个不同的解，
则 在 上有两个不同的解，
令 ，由函数图象易知，若 与 有两个交点，
则 ，
故答案为：D。
【分析】由题意可得h（x）=f（x）-g（x）=x 2 5 x + 4 m = 0 在 [ 0 , 3 ] 上有两个不同的零点，则 m = x 2 5 x + 4 在 [ 0 , 3 ] 上有两个不同的解，由数形结合的思想不难求得m的取值范围.
9．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】光线经过 块玻璃后，强度变为 ，
光线经过 块玻璃后，强度变为 ，
……
光线经过 块玻璃后，强度变为 ．
由题意 ，即 ，
两边同取对数，可得 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
所以至少通过 块玻璃，光线强度能减弱到原来的 以下。
故答案为： ．
【分析】由题意得出y关于k的关系，变形取对数，由对数的运算性质可得k的取值范围，再结合k为正整数可得答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数 的图象可得，函数 的图象过点 ，分别代入函数式， ，解得 ，函数 与 都是增函数，只有选项 符合题意，
故答案为：B.
【分析】由函数图象所过的点的坐标，代入函数式，解出a，b，c的值，结合选项即可得出正确答案.
11．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点
【解析】【解答】作出函数 图象，依题意，则 与函数 图象有两个交点，当 与 相切时，设切点为 ，则 求得 ，当 时， 与函数 图象有两个交点，
故答案为：D.
【分析】若函数g（x）=f（x）-m（x-1）有两个零点，则函数f（x）的图象与y=m（x-1）有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数f（x）的图象与y=m（x-1）的图象，数形结合可得答案.
12．【答案】D
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】若函数 有四个零点，即函数 和 的图象有四个不同的交点，作出函数 图象（如图所示），由图象，得当 时，两者有4个不同交点.
故答案为：D.
【分析】作出f（x）的函数图象，数形结合，当y=f（x）与y=a的图象有四个不同的交点，得出a的取值范围.
13．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】作出f(x)的函数图象，如图所示：
由图象可知当 时，直线y=kx与f(x)的图象在第一象限有2个交点；
设直线y=k1x与y= 相切，切点为(a，b)，
则 解得 .
设直线y=k2x与y= 相切，切点为(m，n)，
则 ，解得 ，
∴∴当 当k< eln2时，直线y=kx与f(x)的图象在第二象限有2个交点。
综上，k的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】对于指数型和对数型分段函数，先作出函数图象，过原点的直线与函数图象有两个交点，由数形结合找到有两个交点的界限，用导数求直线与函数图象相切时对应k的值，嫠得k的范围.
14．【答案】（1）2
（2）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】（1） ，则
当 时， ，有1个解；
当 时， ，有1个解，
所以零点个数为2；
故答案为:2
（2） ，即 ，
的图象如图，
如图，当 有两个零点时， 或 .
故答案为: 。
【分析】(1)分段函数的零点,要对各段函数的零点作分析;
(2)先作出函数f(x)的图象,数形结合,判断直线y=k与函数图象有两个交点时,k的范围.
15．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】当 x≥0 时， ，由 ， 得 ；当 时 ；由 ， 得 ；所以当 时 .因为函数是奇函数，所以当 时， .因为对于 ，都有 ，所以 ，所以 .
【分析】当x≥0时，脱掉绝对值写出分段解析式，再结合奇函数的性质可得函数的图象，对 x ∈ R ，都有 f ( x 1 ) ≤ f ( x ) ，即6a2≤1，由此求得a的范围.
16．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的连续性
【解析】【解答】∵函数 ，其中
∴当 时，
又∵对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立
∴ 函数必须为连续函数，即在 附近的左右两侧函数值相等
∴
∴由题意可知二次函数 的对称轴不能在 轴的左侧，则 ，即
∴
故答案为
【分析】当x=0时，f ( x ) = k ( 1 a 2 )，对任意的非零实数 x 1 ，存在唯一的非零实数 x 2 ( x 2 ≠ x 1 ) ，使得 f ( x 2 ) = f ( x 1 ) 成立，所以函数必须为连续函数，即在 附近的左右两侧函数值相等，即可表示出k.
17．【答案】（1）解：f（x）的定义域为R，
∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）恒成立，
即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立，
∴log4 =2kx，即log4 =2kx，
∴42kx=4﹣x，∴2k=﹣1，即k=﹣
（2）解：由g（x）有意义得a 2x﹣ ＞0，即a（2x﹣ ）＞0，
当a＞0时，2x﹣＞ 0，即2x＞ ，∴x＞log2 ，
当a＜0时，2x﹣ ＜0，即2x＜ ，∴x＜log2 ．
综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log2 ，+∞），
当a＜0时，g（x）的定义域为（﹣∞，log2 ）
（3）解：令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣ x=log4（a 2x﹣ ），
∴log4 =log4（a 2x﹣ ），即2x+ =a 2x﹣ ，
令2x=t，则（1﹣a）t2+ at+1=0，
∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点，
∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1﹣a）t2+ at+1=0只有一正数解，
①若a=1，则 +1=0，t=﹣ ，不符合题意；
②若a≠1，且 ﹣4（1﹣a）=0，即a= 或a=﹣3．
当a= 时，方程（1﹣a）t2+ at+1=0的解为t=﹣2，不符合题意；
当a=﹣3时，方程（1﹣a）t2+ at+1=0的解为t= ，符合题意；
③若方程（1﹣a）t2+ at+1=0有一正根，一负根，则 ＜0，∴a＞1，
综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．
【知识点】函数的定义域及其求法；偶函数；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）令f（-x）=f（x）恒成立，根据对数的运算性质解出k，（2）令，对a进行讨论得出x的范围，（3）令f（x）=g（x），使用对数的运算性质化简，令2x=t，则关于t的方程只有一正数解，对a进行讨论得出a的范围.
18．【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：∵
∴
设 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∴ 在 上单调递增
（3）解：∵
∴
∴
又∵
∴ ，故只需当 ，使得 恒成立，即 在 恒成立，也即 在 恒成立，
∴令 ，
由第（2）问可知 在 上单调递增，
同理可得 在 上单调递减.
∴
∴
故 的取值集合是 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）将x=1代入解析式，即可解出a的值，（2）根据单调增函数的定义即可证明，（3）方程f（x）=x+b，得出x2-bx+1=0，由，得出，故只须当，使得恒成立，即在恒成立，令，由（2）问知，f（m）单调性，不难求出f（m）的最小值.
河北省定州中学2017-2018学年高一（承智班）上学期数学第二次月考试卷
一、单选题
1．（2017高一上·河北月考）已知定义在R上的函数 满足 ，若关于 的方程 恰有5个不同的实数根 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C．(1，2) D．(2，3)
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的零点
【解析】【解答】 是奇函数，得到函数图象如图：
不妨设 ，则由对称性可知， ，
故答案为：B。
【分析】由分段函数的解析式作出的图象，由题意得出f（x）为奇函数，根据奇函数关于原点对称作出的图象，由数形结合不难得出答案.
2．（2017高一上·河北月考）已知函数 满足： ，且 ， 分别是 上的偶函数和奇函数，若 使得不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；基本不等式
【解析】【解答】 ，
所以 ，
所以 ，令 ，
则 ， ，所以 ，
故答案为：B.
【分析】根据函数的奇偶性，表示出F（x）和F（-x），求出g（x），h（x）的表达式，进行参变分离，换元即可求出a的取值范围.
3．（2017高一上·河北月考）已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同根，则实数 的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质
【解析】【解答】 的图象如图：
方程 有8个不同的根，令 ，
则 有两个不同的根，且根 的范围是 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：A。
【分析】根据分段函数的解析式，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2-bt+1=0有两个不同的根，得出t的范围，列出不等式组，从而解出b的范围.
4．（2017高一上·河北月考）已知点 ，动点 的坐标满足 ，那么 的最小值是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】函数图象的作法；简单线性规划；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】
如图，易知 的最小值就是点 到直线 的距离， ，
故答案为：B。
【分析】根据题意作出的图象，易知的最小值即为点A到y=x的距离.
5．（2017高一上·河北月考）设定义域为 的函数 ，若关于 的方程 有7个不同的实数解，则 （　　）
A． B． C． 或2 D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】设 ，作出函数 图象，如图所示：
由图象可知：
当 时，函数图象有2个交点， 当 时，函数图象有3个交点， 当 时，函数图象有4个交点， 当 时，函数图象有两个交点， 当 ，函数图象无交点． 要使方程 有7个不同的实数解，则要求对应方程 中的两个根 或 ，且
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的解析式，作出f（x）的图象，令f（x）=t，通过数形结合不难得出t2-(2m+1)t+m2=0中的两个根t1=4或06．（2017高一上·河北月考）已知定义在R的函数 是偶函数，且满足 上的解析式为 ，过点 作斜率为k的直线l，若直线l与函数 的图象至少有4个公共点，则实数k的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】根据题意知道函数 是偶函数，且满足 ，故函数还是周期为4的函数，根据表达式画出图像是定义在R上的周期性的图像，一部分是开口向下的二次函数，一部分是一次函数，当k>0时，根据题意知两图像有两个交点，当直线 和图像 , ,相切时是一种临界，要想至少有4个交点，斜率要变小；故设切点为
当k<0时，临界是过点（-6，1）时，此时 ,要想至少有4个交点需要逆时针继续旋转，斜率边大，直到和x轴平行。故两种情况并到一起得到：实数k的取值范围是 。
故答案为：C。
【分析】以题意得出函数的周期为4，由解析式作出图象为一部分是开口向下的二次函数，一部分是一次函数，结合直线可讨论出实数k的取值范围.
7．（2017高一上·河北月考）关于 的方程 恰有3个实数根 、 、 ，则 （　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】偶函数
【解析】【解答】设 ，易知： 为偶函数，若方程 恰有3个实数根 、 、 ，其中一根必为0，另外两根互为相反数， ，即 ，
由图易得：另外两根为 ，
∴
故答案为：B
【分析】由题意不难得到f（x）为偶函数，若方程恰有三个实数根，则其中一根必为0，另外两根互为相反数，即可得出答案.
8．（2017高一上·河北月考）设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 （ 为函数 的导函数），在 上有且只有两个不同的零点，则称 是 在 上的“关联函数”，若 ，是 在 上的“关联函数”，则实数 的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】 在 上有两个不同的解，
则 在 上有两个不同的解，
令 ，由函数图象易知，若 与 有两个交点，
则 ，
故答案为：D。
【分析】由题意可得h（x）=f（x）-g（x）=x 2 5 x + 4 m = 0 在 [ 0 , 3 ] 上有两个不同的零点，则 m = x 2 5 x + 4 在 [ 0 , 3 ] 上有两个不同的解，由数形结合的思想不难求得m的取值范围.
9．（2017高一上·河北月考）光线通过一块玻璃，强度要损失 ．设光线原来的强度为 ，通过 块这样的玻璃以后强度为 ，则经过 块这样的玻璃后光线强度为： ，那么至少通过（　　）块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的 以下（ ， ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】光线经过 块玻璃后，强度变为 ，
光线经过 块玻璃后，强度变为 ，
……
光线经过 块玻璃后，强度变为 ．
由题意 ，即 ，
两边同取对数，可得 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
所以至少通过 块玻璃，光线强度能减弱到原来的 以下。
故答案为： ．
【分析】由题意得出y关于k的关系，变形取对数，由对数的运算性质可得k的取值范围，再结合k为正整数可得答案.
10．（2017高一上·河北月考）已知函数 的图像如图所示，则函数 与 在同一坐标系中的图像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数 的图象可得，函数 的图象过点 ，分别代入函数式， ，解得 ，函数 与 都是增函数，只有选项 符合题意，
故答案为：B.
【分析】由函数图象所过的点的坐标，代入函数式，解出a，b，c的值，结合选项即可得出正确答案.
11．（2017高一上·河北月考）已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点
【解析】【解答】作出函数 图象，依题意，则 与函数 图象有两个交点，当 与 相切时，设切点为 ，则 求得 ，当 时， 与函数 图象有两个交点，
故答案为：D.
【分析】若函数g（x）=f（x）-m（x-1）有两个零点，则函数f（x）的图象与y=m（x-1）有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数f（x）的图象与y=m（x-1）的图象，数形结合可得答案.
12．（2017高一上·河北月考）已知函数 ， ，若函数 有四个零点，则 的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】若函数 有四个零点，即函数 和 的图象有四个不同的交点，作出函数 图象（如图所示），由图象，得当 时，两者有4个不同交点.
故答案为：D.
【分析】作出f（x）的函数图象，数形结合，当y=f（x）与y=a的图象有四个不同的交点，得出a的取值范围.
二、填空题
13．（2017高一上·河北月考）已知函数f(x)= ，若f(x)的图象与直线y=kx有两个不同的交点，则实数k的取值范围　 　
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】作出f(x)的函数图象，如图所示：
由图象可知当 时，直线y=kx与f(x)的图象在第一象限有2个交点；
设直线y=k1x与y= 相切，切点为(a，b)，
则 解得 .
设直线y=k2x与y= 相切，切点为(m，n)，
则 ，解得 ，
∴∴当 当k< eln2时，直线y=kx与f(x)的图象在第二象限有2个交点。
综上，k的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】对于指数型和对数型分段函数，先作出函数图象，过原点的直线与函数图象有两个交点，由数形结合找到有两个交点的界限，用导数求直线与函数图象相切时对应k的值，嫠得k的范围.
14．（2017高一上·河北月考）已知函数 ， .
（1）当k=0时，函数g（x）的零点个数为　 　；
（2）若函数g（x）恰有2个不同的零点，则实数k的取值范围为　 　.
【答案】（1）2
（2）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】（1） ，则
当 时， ，有1个解；
当 时， ，有1个解，
所以零点个数为2；
故答案为:2
（2） ，即 ，
的图象如图，
如图，当 有两个零点时， 或 .
故答案为: 。
【分析】(1)分段函数的零点,要对各段函数的零点作分析;
(2)先作出函数f(x)的图象,数形结合,判断直线y=k与函数图象有两个交点时,k的范围.
15．（2017高一上·河北月考）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若 ， ，则实数 的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】当 x≥0 时， ，由 ， 得 ；当 时 ；由 ， 得 ；所以当 时 .因为函数是奇函数，所以当 时， .因为对于 ，都有 ，所以 ，所以 .
【分析】当x≥0时，脱掉绝对值写出分段解析式，再结合奇函数的性质可得函数的图象，对 x ∈ R ，都有 f ( x 1 ) ≤ f ( x ) ，即6a2≤1，由此求得a的范围.
16．（2017高一上·河北月考）已知函数 ，其中 ，若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立， 　 　．（并且写出 的取值范围)
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的连续性
【解析】【解答】∵函数 ，其中
∴当 时，
又∵对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立
∴ 函数必须为连续函数，即在 附近的左右两侧函数值相等
∴
∴由题意可知二次函数 的对称轴不能在 轴的左侧，则 ，即
∴
故答案为
【分析】当x=0时，f ( x ) = k ( 1 a 2 )，对任意的非零实数 x 1 ，存在唯一的非零实数 x 2 ( x 2 ≠ x 1 ) ，使得 f ( x 2 ) = f ( x 1 ) 成立，所以函数必须为连续函数，即在 附近的左右两侧函数值相等，即可表示出k.
三、解答题
17．（2017高一上·河北月考）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a 2x﹣ a），其中f（x）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）求函数g（x）的定义域；
（3）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：f（x）的定义域为R，
∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）恒成立，
即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立，
∴log4 =2kx，即log4 =2kx，
∴42kx=4﹣x，∴2k=﹣1，即k=﹣
（2）解：由g（x）有意义得a 2x﹣ ＞0，即a（2x﹣ ）＞0，
当a＞0时，2x﹣＞ 0，即2x＞ ，∴x＞log2 ，
当a＜0时，2x﹣ ＜0，即2x＜ ，∴x＜log2 ．
综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log2 ，+∞），
当a＜0时，g（x）的定义域为（﹣∞，log2 ）
（3）解：令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣ x=log4（a 2x﹣ ），
∴log4 =log4（a 2x﹣ ），即2x+ =a 2x﹣ ，
令2x=t，则（1﹣a）t2+ at+1=0，
∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点，
∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1﹣a）t2+ at+1=0只有一正数解，
①若a=1，则 +1=0，t=﹣ ，不符合题意；
②若a≠1，且 ﹣4（1﹣a）=0，即a= 或a=﹣3．
当a= 时，方程（1﹣a）t2+ at+1=0的解为t=﹣2，不符合题意；
当a=﹣3时，方程（1﹣a）t2+ at+1=0的解为t= ，符合题意；
③若方程（1﹣a）t2+ at+1=0有一正根，一负根，则 ＜0，∴a＞1，
综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．
【知识点】函数的定义域及其求法；偶函数；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）令f（-x）=f（x）恒成立，根据对数的运算性质解出k，（2）令，对a进行讨论得出x的范围，（3）令f（x）=g（x），使用对数的运算性质化简，令2x=t，则关于t的方程只有一正数解，对a进行讨论得出a的范围.
18．（2017高一上·河北月考）已知函数 ，且 .
（1）试求 的值；
（2）用定义证明函数 在 上单调递增；
（3）设关于 的方程 的两根为 ，试问是否存在实数 ，使得不等式 对任意的 及 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在说明理由.
【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：∵
∴
设 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∴ 在 上单调递增
（3）解：∵
∴
∴
又∵
∴ ，故只需当 ，使得 恒成立，即 在 恒成立，也即 在 恒成立，
∴令 ，
由第（2）问可知 在 上单调递增，
同理可得 在 上单调递减.
∴
∴
故 的取值集合是 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）将x=1代入解析式，即可解出a的值，（2）根据单调增函数的定义即可证明，（3）方程f（x）=x+b，得出x2-bx+1=0，由，得出，故只须当，使得恒成立，即在恒成立，令，由（2）问知，f（m）单调性，不难求出f（m）的最小值.