贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2020高二上·贵州月考）数列1， ， 的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高二上·贵州月考）若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高二上·贵州月考）已知数列 为等差数列， 则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 的对边分别是 ， 则角 为（ ）
A．30 或150 B．45 C．45 或135 D．30
5．（2020高二上·贵州月考）已知等比数列 中，若 且 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．（2020高二上·贵州月考）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020高二上·贵州月考）在 中， ，则角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·贵州月考）已知等差数列 中， ， 则 的前 项和 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高二上·贵州月考）若正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，已知 ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．4
11．（2020高二上·贵州月考）设正项等比数列 的前 项和为 ， ，则公比 等于（ ）
A． B． C． D．2
12．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ,则当 取最小值时， =（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018·全国Ⅰ卷理）若 ， 满足约束条件 则 的最大值为 .
14．（2020高二上·贵州月考）已知数列 中， 则 .
15．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 的对边分别是 ，已知 的面积为 ，则 = .
16．（2020高二上·贵州月考）若 ( )，则数列 的通项公式是 .
三、解答题
17．（2020高二上·贵州月考）在等比数列 中， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18．（2020高二上·贵州月考）已知函数
（1）当 时，求 的解集；
（2）求 的解集.
19．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 的对边分别是 ，且
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
20．（2020高二上·贵州月考）已知数列 满足 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
21．（2020高二上·贵州月考）各项均为正数的数列 满足 ，其中 为 的前 项和.
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式.
22．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 的对边分别是 ，且
（1）求 ；
（2）若等差数列 的公差不为0， 且 成等比数列，求 的前 项和 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数列的概念与表示
【解析】【解答】 ， ， ， ， ，
故答案为：B
【分析】分别观察分子分母寻找规律即可.
2．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：取 ， 时， ，A不正确；
对于B：取 ， 时， 没有意义，B不正确；
对于C：当 或 时， ，C不正确；
对于D： 为递增函数，所以当 时， ，D不正确；
故答案为：D
【分析】对A.、B 、C举出反例，对D利用函数的单调性，即可做出判断.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 为等差数列， ，故 ，
故 ， .
故答案为：C.
【分析】先依据条件计算公差d，再得到 ，即可得到 .
4．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理求解出 的值，再根据 的大小关系确定出 的值.
5．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】根据题意，设等比数列 的公比为 ，若 ，
则有 ，解得 ，
由 ，即 ，则有 ，
解可得 或 ，又由 ，则 ，
则 ，
故答案为：B.
【分析】由等比数列的性质结合 ，可得 的值，代入 可得公比，进而可得结果.
6．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】∵ ，即 ， ，
等价于 ，解得 ，
即不等式 的解集为 ，
故答案为：A.
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可得结果.
7．【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，
利用正弦定理化角为边得： ，即
利用余弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
故答案为：D
【分析】利用正弦定理化角为边得 ，再利用余弦定理求出 ，结合 ，即可求出角 的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
因为 为等差数列，所以 ，所以 为单调递减数列，
所以 的最大值为 ，
故答案为：B.
【分析】根据 和 判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出 的最大值.
9．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 不等式 恒成立
， ，且
当且仅当 ，即 ， 时取等号
，即
解得
故实数 的取值范围是
故答案为：A
【分析】由 ，可算出 ，再将最小值代入 ，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】 ，由正弦定理得 ，
则 ，
， ，可得 .
由余弦定理可得 .
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理边角互化可求得 ，然后利用余弦定理可求得 的值.
11．【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】因为 ，所以
所以 ，即
因为 ，所以
故答案为：A
【分析】由条件可得 ，即可求出 .
12．【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由正弦定理、余弦定理得 , ,
,
当 ，即 时 取最小值.
故答案为：C.
【分析】根据正弦定理、余弦定理角化为边，得到 ，再由余弦定理得到 进而得到结果.
13．【答案】6
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：z=3x+2y，过点A（2，0）时，zmax=3 2+2 0=6.
【分析】作出平面区域，平移目标直线，得到最优解，求出最大值.
14．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 且 ，
所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】根据条件可构造等比数列 ，求出 的通项公式即可求解出 的通项公式.
15．【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】依题意， 中，面积 ，即得 ，
利用正弦定理进行边化角得， .
故答案为： .
【分析】先利用面积公式得关系式，再利用正弦定理进行边角互化即得结果.
16．【答案】
【知识点】函数的值；数列的求和
【解析】【解答】 ，
，两式相加可得
，
，
所以 .
故答案为：
【分析】根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据条件求出 即可；（2） ，然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
18．【答案】（1）解：
解集为：
（2）解：由
1)当 时， ， 解集为
2)当 时， ，解集为：(
3)当 时， ，解集为：
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）代入 的值，解一元二次不等式得到解集；（2）根据 与 的大小关系，分类讨论不同情况下的解集.
19．【答案】（1）解：由
,
又
（2）解： ，
由 ，
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，结合两角和的正弦公式求解出 的值；（2）先求解出 的值，再根据正弦定理求解出 的值，最后根据面积公式 求解出三角形面积.
20．【答案】（1）解：
时，有 ，即 ，故 ，
又 时也适合该式，
（2）解：因为 ，
所以 ①
则 ②
①-②得，
.
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）利用累乘法求数列 的通项公式即可；（2）利用错位相减法求 的前 项和 即可.
21．【答案】（1）解：
解得 或 (舍)
（2）解：
，即
(常数)
所以数列 是等差数列
【知识点】等差数列的通项公式；等差关系的确定
【解析】【分析】（1）根据条件可算出答案；（2）由条件可得 ，然后可得 ，然后可算出答案.
22．【答案】（1）解：由 ，
，由于 ，
.
（2）解：
由 成等比数列，得
，
或 (舍)，
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；正弦定理
【解析】【分析】（1）通过正弦定理将角化为边，化简可得 的值，进而可得结果；（2）首先得出 ，由 成等比数列得 ，进而得出 的通项公式，最后由裂项相消法求结果.
贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2020高二上·贵州月考）数列1， ， 的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数列的概念与表示
【解析】【解答】 ， ， ， ， ，
故答案为：B
【分析】分别观察分子分母寻找规律即可.
2．（2020高二上·贵州月考）若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：取 ， 时， ，A不正确；
对于B：取 ， 时， 没有意义，B不正确；
对于C：当 或 时， ，C不正确；
对于D： 为递增函数，所以当 时， ，D不正确；
故答案为：D
【分析】对A.、B 、C举出反例，对D利用函数的单调性，即可做出判断.
3．（2020高二上·贵州月考）已知数列 为等差数列， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 为等差数列， ，故 ，
故 ， .
故答案为：C.
【分析】先依据条件计算公差d，再得到 ，即可得到 .
4．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 的对边分别是 ， 则角 为（ ）
A．30 或150 B．45 C．45 或135 D．30
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理求解出 的值，再根据 的大小关系确定出 的值.
5．（2020高二上·贵州月考）已知等比数列 中，若 且 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】根据题意，设等比数列 的公比为 ，若 ，
则有 ，解得 ，
由 ，即 ，则有 ，
解可得 或 ，又由 ，则 ，
则 ，
故答案为：B.
【分析】由等比数列的性质结合 ，可得 的值，代入 可得公比，进而可得结果.
6．（2020高二上·贵州月考）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】∵ ，即 ， ，
等价于 ，解得 ，
即不等式 的解集为 ，
故答案为：A.
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可得结果.
7．（2020高二上·贵州月考）在 中， ，则角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，
利用正弦定理化角为边得： ，即
利用余弦定理得： ，
因为 ，所以 ，
故答案为：D
【分析】利用正弦定理化角为边得 ，再利用余弦定理求出 ，结合 ，即可求出角 的取值范围.
8．（2020高二上·贵州月考）已知等差数列 中， ， 则 的前 项和 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
因为 为等差数列，所以 ，所以 为单调递减数列，
所以 的最大值为 ，
故答案为：B.
【分析】根据 和 判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出 的最大值.
9．（2020高二上·贵州月考）若正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 不等式 恒成立
， ，且
当且仅当 ，即 ， 时取等号
，即
解得
故实数 的取值范围是
故答案为：A
【分析】由 ，可算出 ，再将最小值代入 ，即可求解.
10．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，已知 ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】 ，由正弦定理得 ，
则 ，
， ，可得 .
由余弦定理可得 .
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理边角互化可求得 ，然后利用余弦定理可求得 的值.
11．（2020高二上·贵州月考）设正项等比数列 的前 项和为 ， ，则公比 等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】因为 ，所以
所以 ，即
因为 ，所以
故答案为：A
【分析】由条件可得 ，即可求出 .
12．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ,则当 取最小值时， =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由正弦定理、余弦定理得 , ,
,
当 ，即 时 取最小值.
故答案为：C.
【分析】根据正弦定理、余弦定理角化为边，得到 ，再由余弦定理得到 进而得到结果.
二、填空题
13．（2018·全国Ⅰ卷理）若 ， 满足约束条件 则 的最大值为 .
【答案】6
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：z=3x+2y，过点A（2，0）时，zmax=3 2+2 0=6.
【分析】作出平面区域，平移目标直线，得到最优解，求出最大值.
14．（2020高二上·贵州月考）已知数列 中， 则 .
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 且 ，
所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】根据条件可构造等比数列 ，求出 的通项公式即可求解出 的通项公式.
15．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 的对边分别是 ，已知 的面积为 ，则 = .
【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】依题意， 中，面积 ，即得 ，
利用正弦定理进行边化角得， .
故答案为： .
【分析】先利用面积公式得关系式，再利用正弦定理进行边角互化即得结果.
16．（2020高二上·贵州月考）若 ( )，则数列 的通项公式是 .
【答案】
【知识点】函数的值；数列的求和
【解析】【解答】 ，
，两式相加可得
，
，
所以 .
故答案为：
【分析】根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式.
三、解答题
17．（2020高二上·贵州月考）在等比数列 中， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据条件求出 即可；（2） ，然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
18．（2020高二上·贵州月考）已知函数
（1）当 时，求 的解集；
（2）求 的解集.
【答案】（1）解：
解集为：
（2）解：由
1)当 时， ， 解集为
2)当 时， ，解集为：(
3)当 时， ，解集为：
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）代入 的值，解一元二次不等式得到解集；（2）根据 与 的大小关系，分类讨论不同情况下的解集.
19．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 的对边分别是 ，且
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）解：由
,
又
（2）解： ，
由 ，
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，结合两角和的正弦公式求解出 的值；（2）先求解出 的值，再根据正弦定理求解出 的值，最后根据面积公式 求解出三角形面积.
20．（2020高二上·贵州月考）已知数列 满足 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：
时，有 ，即 ，故 ，
又 时也适合该式，
（2）解：因为 ，
所以 ①
则 ②
①-②得，
.
【知识点】数列的求和
【解析】【分析】（1）利用累乘法求数列 的通项公式即可；（2）利用错位相减法求 的前 项和 即可.
21．（2020高二上·贵州月考）各项均为正数的数列 满足 ，其中 为 的前 项和.
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式.
【答案】（1）解：
解得 或 (舍)
（2）解：
，即
(常数)
所以数列 是等差数列
【知识点】等差数列的通项公式；等差关系的确定
【解析】【分析】（1）根据条件可算出答案；（2）由条件可得 ，然后可得 ，然后可算出答案.
22．（2020高二上·贵州月考）在 中，角 的对边分别是 ，且
（1）求 ；
（2）若等差数列 的公差不为0， 且 成等比数列，求 的前 项和 .
【答案】（1）解：由 ，
，由于 ，
.
（2）解：
由 成等比数列，得
，
或 (舍)，
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；正弦定理
【解析】【分析】（1）通过正弦定理将角化为边，化简可得 的值，进而可得结果；（2）首先得出 ，由 成等比数列得 ，进而得出 的通项公式，最后由裂项相消法求结果.
