第五章 三角函数全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·江苏·高一阶段练习）与角终边相同的角可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出相近的终边相同的角，即可判断.
【解答过程】与角终边相同的角为，故与角终边相同的角可以表示为.
故选：A.
2．（5分）（2022·安徽省高一开学考试）给出下列四个命题:
①-75°是第四象限角；
②小于的角是锐角；
③第二象限角比第一象限角大；
④一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度.
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】利用反例可判断②③的正误，根据1弧度的定义可判断④的正误，根据范围可判断①的正误.
【解答过程】对于①，因为，故为第四象限角，
对于②③，，故为第二象限角，
但且为第一象限角，故②③错误，
对于④，因为1弧度的圆心角所对的弧长为半径，此时对应的弦长小于半径，故④错误，
故选：A.
3．（5分）（2022·山东·高三期中）已知为第三象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由同角三角函数关系即可求得，进而代入原式即可求解.
【解答过程】由，且，
解得：或，
又因为为第三象限角，所以，，
所以.
所以.
故选：B.
4．（5分）（2022·江西九江·高三阶段练习（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用三角函数的诱导公式求解.
【解答过程】解：，
，
则，
故选：D.
5．（5分）（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，则的值为（ ）
A．1或 B．－1或
C．1或 D．－1或
【解题思路】利用三角恒等变换整理等式，求得正切值，根据二倍角公式，结合同角三角函数平方式，可得答案.
【解答过程】因为，
所以．
即，
即．
由原式可知，等式两边同时除以，
可得，
解得或．
所以．
当时，；
当时，．
故选：C．
6．（5分）（2022·辽宁朝阳·高二阶段练习）函数（，，）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据函数图象得到，再根据平移变换求解即可.
【解答过程】由图知：，则，
，所以，则，即.
因为，所以，，
即，.
因为，得，所以.
所以
.
故选：C.
7．（5分）（2022·广东广州·高三期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由点A坐标，可求得.由题可知的最小正周期为8，据此可求得.又由题,有，结合可得.
【解答过程】因点在水车上，所以.
由题可知的最小正周期为8，则，又，则.
因，则，又，故.
综上：.
故选：D.
8．（5分）（2022·江苏泰州·高三期中）已知函数（，），直线和点分别是图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上为单调函数
D．函数在区间上有12个零点
【解题思路】根据已知条件求得，代入法以及正余弦函数性质判断奇偶性、对称中心，由整体法，结合正弦函数的单调性、周期性判断区间单调性和区间零点个数.
【解答过程】由题设，，故，
所以，故且，
所以，，又，故，
综上，，
为偶函数，A错误；
，图象不关于对称，B错误；
在上，，根据正弦函数的性质在该区间上不单调，C错误；
在上，在区间内有6个周期长度，每个周期有2个零点，所以该区间内有12个零点，D正确.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021·山东·高一阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度
B．若，则为第二象限角
C．若，则为第一象限角
D．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限
【解题思路】根据任意角的概念可判断A；由正弦值余弦值的正负可判断角的范围，判断B;将平方推出，判断为第一象限角，判断C;举反例可判断D.
【解答过程】对于A, 经过30分钟，钟表的分针转过弧度，A错误；
对于B，若，则为第二象限角，正确；
对于C，因为，故，
即，结合可知，
故为第一象限角，C正确；
对于D，第一象限角不都是锐角，比如是第一象限角，但不是锐角，
故D错误；
故选：BC.
10．（5分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知为第一象限角，为第三象限角，且，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】用，配凑出目标角度，结合正弦的和角公式以及同角三角函数关系，即可求得结果.
【解答过程】为第一象限角，，则，，
故可能为第二象限角，也可能为第一象限角，则，
为第三象限角，，则，
故只可能为第三象限角，则，
，
当时，，
当时，.
故选：BD.
11．（5分）（2023·山东省高三阶段练习）已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．在上值域为
【解题思路】A选项，利用整体法，结合函数图象得到的最小值为，A错误；
B选项，求出，从而确定B正确；
C选项，将代入，可得到的图象关于点中心对称，C错误；
D选项，时，，求出的最大值和最小值，确定值域.
【解答过程】当，，即，时，取得最小值，最小值为，A错误；
当时，，故在上单调递增，则在上单调递增，故B正确；
当时，，故的图象关于点中心对称，C错误；
时，，当或，即或时，
取得最小值，最小值为，
当，即时，取得最大值，最大值为，
故值域为，D正确.
故选：BD.
12．（5分）（2022·全国·高一）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为
B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C．经过10分钟点Q距离地面35米
D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟
【解题思路】由题可知，摩天轮转一圈用30分钟，则OQ在分钟转过的角为，即可得OQ为终边的角，进而判断A选项；对称中心的横坐标满足，即可判断B选项；将代入点Q距离水平地面的高度与时间的函数中，即可判断C选项；令，求解即可判断D选项.
【解答过程】由题意知，OQ在分钟转过的角为，
所以以OQ为终边的角为，
所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，故A错误；
由，得，所以不是对称中心，故B错误；
经过10分钟，，故C正确；
由，得，得，解得，共20分钟，故D正确.
故选：CD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·上海市高一期末）与终边相同的最小正角是 ．
【解题思路】用诱导公式（一）转化即可.
【解答过程】因为，所以与终边相同的最小正角是.
故答案为：.
14．（5分）（2022·河南·洛阳市高三阶段练习（理））已知sin＝，则cos＝ ．
【解题思路】根据，利用诱导公式计算即可.
【解答过程】sin ,
，
故答案为：.
15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为 2 ．
【解题思路】观察图像，利用正弦函数图像的性质求解即可.
【解答过程】设函数的最小正周期为，
由图像可知，，所以.
故答案为：2.
16．（5分）（2022·上海·高三阶段练习）已知，关于该函数有下面四个说法，
①的最小正周期为；
②在上单调递增
③当时，的取值范围为
④的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
其中正确的是 ①②④ （填写序号）．
【解题思路】首先根据题意得到，根据周期公式即可判断①正确，根据即可判断②正确，根据，，即可判断③错误，根据三角函数的平移变换即可得到④正确.
【解答过程】.
对①，，故①正确；
对②，，，
所以在区间单调递增，故②正确；
对③，，，，
所以，故③错误.
对④，的图象向右平移个单位长度，
得到，故④正确.
故答案为：①②④.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·全国·高三专题练习）已知角α＝﹣920°．
(1)把角α写成2kπ+β（0≤β＜2π，k∈Z）的形式，并确定角α所在的象限；
(2)若角γ与α的终边相同，且γ∈（﹣4π，﹣3π），求角γ．
【解题思路】（1）化角度制为弧度制，可得α＝﹣920°＝（﹣3）．再由是第二象限角得答案;
（2）由角γ与α的终边相同，得（k∈Z）．结合γ∈（﹣4π，﹣3π）即可求得γ的值．
【解答过程】(1)
∵α＝﹣920°＝﹣3×360°+160°，160°，
∴α＝﹣920°＝（﹣3）．
∵角α与终边相同，∴角α是第二象限角；
(2)
∵角γ与α的终边相同，
∴设（k∈Z）．
∵γ∈（﹣4π，﹣3π），
由，可得．
又∵k∈Z，∴k＝﹣2．
∴．
18．（12分）（2022·全国·高三专题练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为，求的值.
【解题思路】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【解答过程】解：因为角终边与单位圆相交于点，
所以，
所以.
19．（12分）（2021·山西·高一阶段练习）已知，是方程的两根，求下列各式的值.
(1)
(2)
【解题思路】（1）利用韦达定理得到，，再根据两角和的正切公式计算可得；
（2）利用同角三角函数的基本关系及和差角公式得到，，从而代入计算可得.
【解答过程】（1）解：因为，是方程的两根，
所以，，
所以.
（2）解：因为，
所以，
即，
又，所以，
所以，
所以.
20．（12分）（2022·广东·高三阶段练习）设函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)当时，求的最大值和最小值．
【解题思路】（1）利用最小正周期公式求得的周期；利用余弦函数的单调性求得的单调增区间；
（2）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得的最大值和最小值．
【解答过程】（1）
∵函数，∴的最小正周期为，
令，，
求得，
故函数的单调增区间为，．
（2）
当时，，
∴，
故当，即时，函数取得最大值2，
当，即时，函数取得最小值为．
21．（12分）（2022·福建省高三期中）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，再将图象右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.
【解题思路】（1）根据函数图象确定A以及周期，进而确定，将点代入解析式求得，即得函数的解析式，结合正弦函数性质即可求得其对称中心；
（2）根据三角函数图象的变换规律可求得的解析式，结合余弦函数的性质即可求得答案.
【解答过程】（1）由函数图象知，，最小正周期，
所以 ，
所以，
将点 代入中，有 ，
所以 ， ，
因为，所以 ,
所以 ,
令 ,，则，
即的对称中心为 ．
（2）先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，
即，再将图象右平移个单位后得到的图象，
即，
令，，则，，
因为 ，所以，
即函数在上的单调减区间为 .
22．（12分）（2022·全国·高一课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利工具．如图筒车的半径为，轴心距离水面，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)将点距离水面的距离（单位：．在水面下时为负数）表示为时间（单位：分钟）的函数；
(2)已知盛水筒与相邻，位于的逆时针方向一侧．若盛水筒和在水面上方，且距离水面的高度相等，求的值．
【解题思路】（1）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，根据题意可表示出函数；
（2）根据题意表示出两点的纵坐标，因为两点距离水面的高度相等，进而可求出的值．
【解答过程】（1）
以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，
由题意，得，
所以；
（2）
易知，点纵坐标，
点纵坐标，
由题意，得，
所以或，
解得，
由盛水筒和在水面上方，得，
所以，
所以，
因为，所以．第五章 三角函数全章综合测试卷（基础篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·江苏·高一阶段练习）与角终边相同的角可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（5分）（2022·安徽省高一开学考试）给出下列四个命题:
①-75°是第四象限角；
②小于的角是锐角；
③第二象限角比第一象限角大；
④一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度.
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（5分）（2022·山东·高三期中）已知为第三象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022·江西九江·高三阶段练习（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，则的值为（ ）
A．1或 B．－1或
C．1或 D．－1或
6．（5分）（2022·辽宁朝阳·高二阶段练习）函数（，，）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（2022·广东广州·高三期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）（2022·江苏泰州·高三期中）已知函数（，），直线和点分别是图象相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上为单调函数
D．函数在区间上有12个零点
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021·山东·高一阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度
B．若，则为第二象限角
C．若，则为第一象限角
D．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限
10．（5分）（2022·湖南·高三阶段练习）已知为第一象限角，为第三象限角，且，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2023·山东省高三阶段练习）已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．在上值域为
12．（5分）（2022·全国·高一）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为
B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C．经过10分钟点Q距离地面35米
D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·上海市高一期末）与终边相同的最小正角是 ．
14．（5分）（2022·河南·洛阳市高三阶段练习（理））已知sin＝，则cos＝ ．
15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为 ．
16．（5分）（2022·上海·高三阶段练习）已知，关于该函数有下面四个说法，
①的最小正周期为；
②在上单调递增
③当时，的取值范围为
④的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
其中正确的是 （填写序号）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·全国·高三专题练习）已知角α＝﹣920°．
(1)把角α写成2kπ+β（0≤β＜2π，k∈Z）的形式，并确定角α所在的象限；
(2)若角γ与α的终边相同，且γ∈（﹣4π，﹣3π），求角γ．
18．（12分）（2022·全国·高三专题练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为，求的值.
19．（12分）（2021·山西·高一阶段练习）已知，是方程的两根，求下列各式的值.
(1)
(2)
20．（12分）（2022·广东·高三阶段练习）设函数．
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)当时，求的最大值和最小值．
21．（12分）（2022·福建省高三期中）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数图象，再将图象右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间.
22．（12分）（2022·全国·高一课时练习）筒车是我国古代发明的一种水利工具．如图筒车的半径为，轴心距离水面，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)将点距离水面的距离（单位：．在水面下时为负数）表示为时间（单位：分钟）的函数；
(2)已知盛水筒与相邻，位于的逆时针方向一侧．若盛水筒和在水面上方，且距离水面的高度相等，求的值．
