2022-2023学年天津市北辰区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知数列，则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
3.已知向量，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则的方程为( )
A. B. C. D.
5.若抛物线的焦点坐标为，则( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列中，，则该数列前项和等于( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的倍，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
9.如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知一个平面的法向量是，一条直线的方向向量是，则与的位置关系是______ ．
11.已知是等比数列，若公比为，且，则 ______ ．
12.直线：与：，若，则实数 ______ ．
13.已知空间向量，，若，则实数 ．
14.如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______ ．
15.在平面直角坐标系中，圆的方程为若直线上存在一点使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆上一点与两焦点的距离的和等于；
两个焦点的坐标分别为，，且椭圆经过点．
17.本小题分
已知直线：，圆：，表示函数的图像．
写出圆的圆心坐标；
求圆被直线截得的弦长；
若点在圆上，点在上，求的最小值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，，是棱的中点．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，焦距为．
求椭圆的方程；
设为坐标原点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
20.本小题分
已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ令，证明：；
Ⅲ求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率是：，
直线的倾斜角是，
故选：．
求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．
本题考查了直线的斜率以及直线的倾斜角问题，是一道基础题．
2.【答案】
【解析】解：数列，
各项的平方为：，，，，
则，
又，
，
令，则．
故选：．
本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为，即从而利用等差数列通项公式，得解，
本题通过观察并利用构造法，构造了新数列为等差数列，从而得解，构造法在数列中经常出现，我们要熟练掌握．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量模公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆可化为，圆心为，半径为，
设与直线平行的直线的方程为：，
因为直线过点，
所以，解得，
所以的方程为：．
故选：．
先求出圆心坐标，再由平行直线系方程设出直线的方程，将圆心坐标代入即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点坐标为，
，．
故选：．
根据抛物线的几何性质即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
利用等差数列的性质及其求和公式即可得出．
【解答】
解：由等差数列的性质可得：，
则该数列前项和．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：画出图形，如图所示：
则，
∽，
，
即．
故选：．
利用三角形相似，结合双曲线的性质求解．
本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：抛物线的准线为，
根据题意可知椭圆中，，，，又椭圆焦点在轴上，
椭圆的方程是．
故选：．
根据题意可得抛物线的准线为，从而可得椭圆中，，，从而可得，从而可得椭圆方程．
本题考查抛物线的几何性质与椭圆的几何性质，属基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了点到直线的距离，线面垂直的判定和性质．
取的中点，连接、，可证得的长即为点到直线的距离，在直角三角形中，由勾股定理求得．
【解答】
解：如图，取的中点，连接，，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，，平面．
所以平面，平面，
所以，
因为是的中点，，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
即为点到直线的距离，
在等腰直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
故点到直线的距离为，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，，，
有，即，
一个平面的法向量是，一条直线的方向向量是，
必有．
故答案为：．
根据题意，由、的坐标分析可得，结合平面法向量的定义分析可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及平面的法向量，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：公比为，且，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：直线：与：，，
则，解得或，
当时，两直线重合，不符合题意，
当时，两直线不重合，符合题意．
综上所述，．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
由，可建立关于的方程，解出即可．
【解答】
解：因为，，，
所以，解得，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由已知，得，
则，，
在中，由余弦定理，得，
所以，
由，得，
所以，化简解得，
所以的面积为．
故答案为：．
根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，，从而求得的面积．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想．
由题意可得圆心为，半径；设两个切点分别为、，则由题意可得四边形为正方形，圆心到直线的距离小于或等于，
即，由此求得的范围．
【解答】
解：的方程为，故圆心为，半径．
设两个切点分别为、，则由题意可得四边形为正方形，
故有，
圆心到直线的距离小于或等于，
即，解得，可得，
故答案为
16.【答案】解：由题意可得焦点在轴上，且，，所以，
所以可得，
所以椭圆的标准方程为：；
由题意可得椭圆的焦点在轴上，且，，
所以，可得，
所以椭圆的标准方程为：．
【解析】本题考查椭圆的定义及标准方程的求法，属于基础题．
由题意可得焦点在轴上，且可知，的值，进而求出的值，求出椭圆的标准方程；
由题意可知焦点在轴上，由椭圆的定义可知的值，再由，的值可得的值，进而求出椭圆的标准方程．
17.【答案】解：因为圆：，
所以圆心坐标为；
圆心到直线的距离为，
所以圆被直线截得的弦长为；
因为点在上，表示函数的图象，
所以设点的坐标为，
因为圆心坐标，
所以，
所以，当且仅当，，三点共线时等号成立，
所以的最小值为．
【解析】直接写出圆心坐标即可；
由圆的弦长公式计算即可；
设点的坐标为，将问题转化为求的最小值，求的最小值即可．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，设平面的法向量为，则，不妨取，
则，故，
又不在平面内，
平面；
设平面的法向量为，则，不妨取，
设二面角的平面角为，则，
故，即二面角的正弦值为；
假设存在满足题意的点，且，
设点的坐标为，则，故，故，
由于平面的一个法向量为，由题意可得，解得，
综上，存在满足题意的点，且．
【解析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，利用空间向量处理空间角以及探索性问题等，考查运算求解能力，是中档题．
建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量的关系即可证得线面平行；
结合中的结论进一步求得两个半平面的法向量，首先确定二面角的余弦值，然后求解二面角的正弦值即可；
设出点的坐标，由线面夹角的正弦值公式计算可确定满足题意的点是否存在．
19.【答案】解：由，，，解得，
所以，椭圆的方程为．
设过的直线方程为，代入椭圆的方程，化简得，显然．
设，，则，
从而．
所以，解得，
所以直线的方程为或．
【解析】根据已知条件求出，，直接写出方程即可；
设过的直线方程为，代入椭圆的方程，化简整理得关于的一元二次方程，设，，则，继而求出，再由三角形的面积列方程，求得值即可．
本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，三角形的面积公式等知识，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ设数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列，
由，，，，可得，，，
解得，，，
则，；
Ⅱ证明：，
；
Ⅲ由，
可设，
，
相减可得
，
化简可得．
【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
Ⅰ设数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比、公差，可得所求通项公式；
Ⅱ由对数的运算性质求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证；
Ⅲ由，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
第1页，共1页
