南充市2023—2024学年度上期普通高中二年级学业质量监测
数学试题
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用箱皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的（ ）．
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
2．直线的倾斜角大小为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知双曲线，则其渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在平行六面体中，若，则（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A． B．3 C． D．6
7．直线与圆交于两点，则的最小值是（ ）．
A．3 B．6 C． D．
8．已知双曲线的上焦点为，点坐标，点为双曲线下支上的动点，且的周长不小于10，则双曲线的离心率的取值范围为（ ），
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．数列是等差数列，且公差
C．对于任意的正整数，均有成立
D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值
10．已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，其中是切点，则下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C．四边形的面积为8 D．点在外接圆的外部
11．已知焦点为的抛物线与直线相交于于两点，且满足（为坐标原点），则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．以为直径的圆与轴只有一个公共点
12．如图，在四面体中，，是的中点，则下列结论正确的是（ ）．
A．平面平面
B．直线与直线所成角为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．四面体的外接球表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．抛物线的焦点坐标为______________．
14．已知向量，则______________．
15．已知圆，圆，若直线与圆和圆共有3个公共点，写出一个满足条件的实数的值______________．
16．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．己知椭圆．则椭圆的蒙日圆方程为______________；若一矩形的四条边与椭圆均相切，则此矩形面积的最大值为______________．
第Ⅱ卷
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知直线．
（1）若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；
（2）若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．
18．（本题满分12分）已知等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（本题满分12分）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”译为：一个长方体沿对角面斜解，得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解，得一个四棱锥称为阳马，一个三棱锥称为鳖膈，如图所示．
某同学对阳马产生了浓厚的兴趣提出了如下问题，请你帮他证明．
如图，在阳马中，点分别是棱的中点．
（1）证明：；
（2）证明：平面
20．（本题满分12分）已知曲线上任一点到的距离等于它到直线的距离．
（1）求曲线的方程；
（2）直线与抛物线相切于点，且与曲线交于两点，求．
21．（本题满分12分）如图，在长方体中，，点分别在棱上，且满足．
（1）若点分别为线段的中点．求证：四点共面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．
22．（本题满分12分）已知椭圆的离心率为．其左、右顶点分别为，上，下顶点分别为，且四边形的面积为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与交于点．求证：点在定直线上．
