梅州市高中期末考试试卷（2024.1）
高一数学
注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上，
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3．作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步．刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着．不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离．兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会．而乌龟呢，它一刻不停地爬行．当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了．下图“路程一时间”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题中，真命题的是（ ）
A． B．
C．，使得 D．，使得
5．设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若方程在区间内恰有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列关于函数的说法中，正确的有（ ）
A．函数的图像是轴对称图形 B．函数的图像是中心对称图形
C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间是
12．设集合是实数集的子集，如果满足：，使得，则称为集合的一个聚点．在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在直径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为_____________．
14．已知函数，则，则_____________．
15．已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是_____________．
16．若，则的最大值是_____________．（注：表示中的较小值）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知集合．
（1）若，求实数的值及集合；
（2）若且，求实数和满足的关系式．
18．已知，且是第二象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．已知二次函数．
（1）若，求在上的值域；
（2）求在上的最小值．
20．已知函数．
（1）判断函数在上的奇偶性，并证明之；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（3）写出在上的值域（不用书写计算推导过程）．
21．下表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：
年份 人口数（单位：亿） 增长量（单位：亿） 增长率
1964 7.05 - -
1965 7.25 0.20 0.028
1966 7.45 0.20 0.028
1967 7.64 0.19 0.026
1968 7.85 0.21 0.027
1969 8.08 0.23 0.029
1970 8.30 0.22 0.027
1971 8.52 0.22 0.027
（1）根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率作为恒定增长率，记为经过时间年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；
（2）对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：，指出其中的值；
（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面．
（参考数据：）
22．已知函数．
（1）当时，求的零点个数，并求出相应的零点；
（2）讨论关于的方程的解的个数．
