专题6.6 向量的数量积（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·福建泉州·高二期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
【解题思路】利用向量垂直及数量积的定义可判断A，根据平面向量数乘的分配律即可判断B，利用数量积的定义可判断CD．
【解答过程】对于A，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；
对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；
对于C，若，则，，
而与不一定相等，所以命题不成立；
对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立．
故选：B．
2．（3分）（2022春·山东·高三阶段练习）设非零向量，满足，，则向量在方向上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设的夹角为，求出即得解.
【解答过程】解：设的夹角为，
由得.
所以向量在方向上的投影向量为.
故选：A.
3．（3分）（2022春·青海西宁·高三期中）已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A． B．7 C． D．3
【解题思路】计算出，再根据计算出结果.
【解答过程】由题意得：，
所以.
故选：C.
4．（3分）（2022秋·河南商丘·高一期末）已知，，，的夹角，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，的夹角为，进而由题知，，再结合三角函数性质求解即可.
【解答过程】解：设，的夹角为.
因为，，的夹角，
所以，即，
所以 .
当且仅当时等号成立.
故选：A.
5．（3分）（2022春·山东青岛·高二阶段练习）已知向量，若，，当且仅当时，取得最小值，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设向量与的夹角为，结合已知条件计算进而可得，再由二次函数的性质可得取得最小值的条件，结合的范围即可求解.
【解答过程】因为，，，设向量与的夹角为，
所以
，
所以，
又因为当且仅当时，最小，即，
所以，因为，所以，
故选：B.
6．（3分）（2022春·河北张家口·高三期中）已知中，，设点M，N满足，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．或3
【解题思路】首先用基底表示，代入数量积公式，即可求解.
【解答过程】,,
所以
,
即
解得：或.
故选：D.
7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意化简得到，得到，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.
【解答过程】由题意知，可得，
又由，可得，
则，
即，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以向量与夹角的最大值是.
故选：B.
8．（3分）（2022秋·浙江·高一期中）已知平面向量满足，，且的最小值，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
【解题思路】设，，则，由的最小值为，得，且，解得或，然后分2种情况考虑的最小值，即可得到本题答案.
【解答过程】设，，
则
，
因为的最小值，
所以的最小值为，
则，且，
解得或，
当，即时，
，
所以的最小值为2；
当，即时，
，
所以的最小值为1，
综上，的最小值为1.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·辽宁·校联考二模）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】由数量积的运算律，向量模的几何意义，数量积的定义判断各选项．
【解答过程】A是向量数量积中乘法与加法的分配律，A正确；
B．设，，则，三点不共线时，，
所以，
反向时，，，
同向时，，，
所以成立，B正确；
C．，C正确；
当与不共线时，一般与也是不共线的向量，不可能相等．D错．
故选：ABC．
10．（4分）（2022·全国·高一专题练习），是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由数量积公式可得，计算是否等于0可判断A选项；求出可判断B选项；
对平方再开方计算可判断C选项；计算出，由向量的夹角公式计算可判断D选项．
【解答过程】由向量，是夹角为的单位向量，可得，
∵，，
∴，
∴不成立，故A错误；
，
∴，故B正确；
由，可得，故C错误；
，则，故D正确．
故选：BD．
11．（4分）（2022春·重庆·高三阶段练习）如图，在中，是的三等分点，则（ ）
A．
B．若，则在上的投影向量为
C．若，则
D．若
【解题思路】根据平面向量线性运算的性质，结合投影向量的定义、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【解答过程】对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以，
由题意得为的一个三等分点（靠点更近），所以在上的投影向量为，故B不正确；
对于C，，
，
故，
又，
所以，
故，故C错误；
对于D，，
而，
代入得，故选项D正确，
故选：AD.
12．（4分）（2022秋·江苏泰州·高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．的最小值为
【解题思路】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；
C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合正弦函数的范围求出最小值.
【解答过程】，A错误；
由知，E为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则，故，B正确.
由知，，设，则解得故，C正确.
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确.
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·高一课时练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为 ．
【解题思路】根据则在方向上的投影向量的定义可得
【解答过程】在方向上的投影向量为，
故答案为：.
14．（4分）（2022春·广东·高三学业考试）已知向量，满足，，则
.
【解题思路】先根据求出，故求出，求出
【解答过程】，所以，
因为，所以，所以，
，所以
故答案为：.
15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数入的取值范围是 ．
【解题思路】根据题意便知，从而根据条件进行数量积的运算便可得出，解该不等式，剔除夹角为零的情况，便可得出的取值范围.
【解答过程】解：与夹角为锐角时，；
解得；
当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数的取值范围为.
故答案为：.
16．（4分）（4分）（2022春·新疆·高三阶段练习）在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是 ．
【解题思路】根据数量积的运算律求出，则，再根据数量积的定义及二次函数的性质计算可得.
【解答过程】解：由题意得：，
则，
，
则
，（当且仅当时取等）．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022秋·广西桂林·高一期中）已知，，且与夹角为120°．求：
(1)；
(2)
【解题思路】（1）（2）利用向量的数量积的定义与运算法则，结合转化法即可得解.
【解答过程】（1）因为，，，
所以，，
所以.
（2）因为，
所以.
18．（6分）（2022秋·北京·高一阶段练习）已知.
(1)求与夹角的余弦值.
(2)当与的夹角为钝角时，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据数量积的定义及数量积的运算性质求解即可；
（2）利用向量夹角为钝角时，数量积为负建立不等式求解，注意向量反向共线的情况不合题意.
【解答过程】(1)
，，，
，
解得
(2)
由（1）知，
当与的夹角为钝角时, ,
即，
解得，
当与反向共线时，有 ，
即，解得，此时不满足题意.
综上，实数的取值范围.
19．（8分）（2022·高一课时练习）如图，在△ABC中，，，，，．
(1)设，求x，y的值，并求；
(2)求的值．
【解题思路】（1）以为基底，由向量的线性运算求出，再由向量数量积的运算性质求模即可；
（2）根据向量的线性运算转化为基底表示，再由数量积的运算求解即可.
【解答过程】（1），，
，
，
.
（2）
.
20．（8分）（2022秋·河南南阳·高一期中）如图，在中，，，，，，为线段上的一动点．
(1)若，求的值；
(2)求的最小值．
【解题思路】（1）设，利用平面向量的线性运算可得出，可得出，即可求得的值；
（2）设，其中，将、利用基底表示，再利用平面向量数量的运算性质以及二次函数的基本性质可求得的最小值.
【解答过程】(1)
解：设，则，
因为，
所以，因此，.
(2)
解：设，其中，
，
，
所以
．
当且仅当时，等号成立，故的最小值为．
21．（8分）（2022秋·山东·高一阶段练习）在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．
(1)证明：点O为三角形的外心；
(2)求的取值范围．
【解题思路】（1）已知，根据向量的运算可得，得证点O为三角形的外心.
（2）延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径，可得，，利用向量的加减和数量积的运算求得，因为，所以，求出二次函数的值域即可.
【解答过程】（1）证明：由
可得：，
所以，即，
同理：，所以，
所以点O为三角形的外心.
（2）由于O是三角形外接圆的圆心，故O是三边中垂线的交点．
如图所示，延长AO交外接圆于点D，则AD是圆O的直径．
所以，，．
所以
，
因为，所以，
令，
则当时，有最小值．
又因为，，
所以，
所以的取值范围是.
22．（8分）（2022·高一课时练习）已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
【解题思路】（1）根据条件计算，即可证明；
（2）由可得，计算即可求出的值；
（3）由可得，计算可得的值；
（4）先计算，再计算，，代入向量夹角公式计算即可.
【解答过程】（1）证明：因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，即.
因为，，
所以，，
所以，
即.所以或.
（3）由知，即，即.
因为，，所以，，
所以.所以.
（4）由前面解答知，，.
而，
所以.
因为，
由得，
化简得，
所以或.
经检验知不成立，故.专题6.6 向量的数量积（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·福建泉州·高二期末）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
2．（3分）（2022春·山东·高三阶段练习）设非零向量，满足，，则向量在方向上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022春·青海西宁·高三期中）已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A． B．7 C． D．3
4．（3分）（2022秋·河南商丘·高一期末）已知，，，的夹角，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022春·山东青岛·高二阶段练习）已知向量，若，，当且仅当时，取得最小值，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022春·河北张家口·高三期中）已知中，，设点M，N满足，，若，则（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．或3
7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022秋·浙江·高一期中）已知平面向量满足，，且的最小值，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·辽宁·校联考二模）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）．
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022·全国·高一专题练习），是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）（2022春·重庆·高三阶段练习）如图，在中，是的三等分点，则（ ）
A．
B．若，则在上的投影向量为
C．若，则
D．若
12．（4分）（2022秋·江苏泰州·高一期中）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．的最小值为
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·高一课时练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为 ．
14．（4分）（2022春·广东·高三学业考试）已知向量，满足，，则
.
15．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数入的取值范围是 ．
16．（4分）（4分）（2022春·新疆·高三阶段练习）在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022秋·广西桂林·高一期中）已知，，且与夹角为120°．求：
(1)；
(2)
18．（6分）（2022秋·北京·高一阶段练习）已知.
(1)求与夹角的余弦值.
(2)当与的夹角为钝角时，求的取值范围.
19．（8分）（2022·高一课时练习）如图，在△ABC中，，，，，．
(1)设，求x，y的值，并求；
(2)求的值．
20．（8分）（2022秋·河南南阳·高一期中）如图，在中，，，，，，为线段上的一动点．
(1)若，求的值；
(2)求的最小值．
21．（8分）（2022秋·山东·高一阶段练习）在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．
(1)证明：点O为三角形的外心；
(2)求的取值范围．
22．（8分）（2022·高一课时练习）已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
