大连市2023～2024学年度第一学期期末模拟考试
高一数学
注意事项：
1．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第I卷 选择题（共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若A＝(－1,3)，，则＝
A． B． C． D．
2．从1，2，3，4，5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，则两次取出的数字中至少有一个是奇数的概率为
A． B． C． D．
3．设m，n为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，在△ABC中，AD＝AB，点E是CD的中点，
设，，则
A． B．
C． D．
5．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）
A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
6．已知x，y为正实数，且x＋y＝1，则的最小值为
A．24 B．25 C． D．
7．若，则
A． B． C． D．
8．已知函数，则关于x的不等式的解集为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知O为坐标原点，A（2,－1），B（1,2），则
A．与同方向的单位向量为
B．若，则点P的坐标为
C．若，则
D．若C（1,－3），则四边形OBAC为平行四边形
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立
11．下列说法正确的是
A．命题“”的否定是“”
B．若满足，满足，则
C．若在恒成立，则
D．设，，若，当时，都有，则t的最大值为1
12．已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是
A．0 B．1 C． D．2
第II卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13． ．
14．设a，b是两个不共线的向量，向量，共线，则 ．
15．在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm，女生的平均身高是165cm，则估计该校全体学生的平均身高是 cm．
16．对于定义域为D的函数，满足存在区间，使在上的值域为，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
如图，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M．设，．
（1）试用基底表示向量；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值．
（第17题）
18．（本小题满分12分）
某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
甲样本数据直方图 乙样本数据直方图
已知乙样本中数据在的有10个．
（1）求n和乙样本直方图中a的值；
（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）．
19．（本小题满分12分）
已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）试判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式．
20．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若对于任意，恒成立，求a的取值范围；
（2）设，若对于任意，不等式恒成立，求m的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若为偶函数，且函数在区间上的最小值为－11，求实数m的值；
（2）若为奇函数，不等式在上有解，求实数m的取值范围．
2023～2024学年度第一学期期末模拟考试
高一数学参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、单项选择题：
1．C； 2．D； 3．A； 4．D； 5．C； 6．B； 7．B； 8．D．
二、多项选择题：
9．ACD； 10．BCD； 11．ACD； 12．BC．
三、填空题：
13．6； 14．； 15．168； 16．．
四、解答题：
17．（本小题满分10分）
解：（1）设，，…………………………1分
因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，
所以，…………………………3分
，…………………………4分
所以，解得，…………………………6分
所以；…………………………7分
（2），…………………………8分
因为C，M，B三点共线，所以，…………………………9分
所以．…………………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为0.020×10＝0.20，
则，解得n＝50；…………………………3分
由乙样本数据直方图可知，（0.006＋0.016＋0.020＋0.040＋a）×10＝1，
解得a＝0.018；…………………………6分
（2）甲样本数据的平均值估计值为
（55×0.005＋65×0.010＋75×0.020＋85×0.045＋95×0.020）×10＝81.5，……………9分
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为（0.006＋0.016＋0.02）×10＝0.42＜0.5，
前4组的频率之和为（0.006＋0.016＋0.02＋0.04）×10＝0.82＞0.5，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为x，…………………………10分
（x－80）×0.04＋0.42＝0.5，
解得x＝82，所以乙样本数据的中位数为82．…………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）因为是奇函数，且定义域为R，
则，解得a＝1，…………………………2分
所以，检验：当a＝1时，，
所以函数是奇函数，所以a＝1；…………………………3分
（2）在R上单调递增，
证明：，且，
都有，…5分
因为，所以，所以，，…………6分
所以，即，
所以在R上单调递增；…………………………7分
（3），
因为是奇函数，所以，…………………………9分
因为在R上单调递增，所以，……………10分
解得，
所以．…………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输．
（1）记事件D为甲连胜四场，
；…………………………2分
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．……………4分
记事件E为四场内结束比赛，事件F为需要进行第五场比赛，
E＝BCBC＋ACAC＋ABAB＋BABA，，…………………………7分
；…………………………8分
（3）记事件N为四场内结束比赛，
N＝ABAB＋BABA＋BCABA＋BCBAB＋BACAB＋BACBA＋BABCA＋ACABA＋ACBAB＋ABCAB＋ABCBA＋ABACB，…………………………11分
．…………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：令，则，
（1）因为，恒成立等价于恒成立，……………………3分
所以，解得或，
即；…………………………5分
（2）因为，所以，
因为图象的对称轴为，所以在上单调递增，
即在上单调递增，…………………………7分
因为，所以，，
因为，所以，
因为，所以，
即，…………………………9分
因为，所以，
因为，所以，
所以，…………………………11分
因为，所以．…………………………12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）∵为偶函数，∴，
即，解得k＝1，…………………………1分
∴，，…………………………2分
令，∵，∴，
∵，∴，对称轴：直线，………………4分
①当时，在单调递增，
∴，解得m＝，∴无解，……………………5分
②当时，在先减后增，
∴，解得m＝±3，
∵，∴m＝3，
综上，m＝3；…………………………6分
（2）∵为奇函数，∴，∴k＝－1，
经检验，当k＝－1时，函数是奇函数，…………………………7分
∵不等式在上有解，
∴，即，
由平方差与立方差公式得：，…………………………9分
令，∵，∴，
∴，…………………………10分
问题转化为：，使成立，
只需，…………………………11分
设，在单调递增，
∴，∴，
即．…………………………12分
