(
………………………………………………装…………订…………线………………………………………………
)2024年1月葫芦岛市普通高中期末学业质量监测考试
(
学 校
姓 名
考 号
)高三数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．
3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．
4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．集合A={x|x2-x-20}，B={y|y<0}，则A∩B=
A．(0,2] B．[0,2] C．[-1,0] D．[-1,0)
2．已知i为虚数单位，若(mR)是纯虚数，则|m+i|
A． B．2 C．5 D．
3．下列函数既是奇函数又在(0,+)上单调递增的是
A．y=x2 B．y=sinx C．y=x3 D．y=ln|x|
4．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄，该方案将从正式实施开始每年延长几个月的退休时间，直到达到法定退休年龄．男性延迟退休的年龄情况如表所示：
出生年份 1961年 1962年 1963年 1964年 1965年 1966年
退休年龄 60岁 60岁+2月 60岁+4月 60岁+6月 60岁+8月 60岁+10月
若退休年龄an与出生年份n满足一个等差数列{an}，则1981年出生的员工退休年 龄为
A．63岁 B．62岁+10月 C．63岁+2月 D．63岁+4月
5．的展开式中常数项为第（ ）项
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知点F是双曲线的左焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，点Q是双曲线渐近线上的动点，则|PF|+|PQ|的最小值为
A．8 B．5 C．3 D．2
(
A
B
C
D
E
F
A
1
B
1
D
1
E
1
C
1
F
1
)7．如图，正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1，已知A1B1=3，AB=4，AA1=2，则下列说法正确的是
A．AF//B1D1
B．AE⊥平面E1ECC1
C．AA1//平面CED1
D．AA1与底面所成的角为45
8．已知直线y=ax-1与曲线相切，则a的值为
A．1 B． C． D．2e2
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．)
9．下列选项中，与“>1”互为充要条件的是
A．x<1 B．log0.5x2>log0.5x C．3<3 D．|x(x1)|=x(1x)
10．某校4个班级学生的一次物理考试成绩的频率分布直方图如下，已知成绩在(80,90]范围内的人数为30人，则下列说法正确的是
A．a的值为0.15
B．4个班的总人数为200人
C．学生成绩的中位数估计为66.6分
D．学生成绩的平均数估计为71分
11．如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=2，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体C-ABD，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法正确的是
A．若点P为CD中点，则过A,E,P的平面将三棱锥A-BCD分成两部分的体积比为1:4
(
A
B
D
C
E
)B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为
C．若点P在平面ACD上，且满足，则点P的轨迹长度为
D．若点P在平面ACD上，且满足，则线段PE长度的取值范围是(,)
12. 已知函数f (x)=sin(x+φ) (>0, φR)在区间(,)上单调，且满足f ()=-f ()，下列结论正确的有
A. f ()=0
B. 若f (-x)= f (x)，则函数f (x)的最小正周期为
C. 关于x方程f (x)=1在区间[0,2)上最多有4个不相等的实数解
D. 若函数f (x)在区间[,)上恰有5个零点，则的取值范围为(,3]
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．直线与圆相交，则k的取值范围是 .
14．已知|a|=4, |b|=1，且|a-b|=，则向量a,b夹角的余弦值为________.
15．随着冬季到来，各种流行疾病也开始传播，国家为了防止患者集中在大型医院出现交叉感染，呼吁大家就近就医.某市有市级医院，区级医院，社区医院三个等级的医院，对于出现的流行疾病三个医院都能治愈患者.若患者去三个医院就医的概率是，，，三个医院就医时出现交叉感染的概率分别为，，，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为 .
16．已知F为抛物线C：y=x2的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为l1和l2，若l1和l2交于点P，则|PF|2+的最小值为 .
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．（本小题满分10分）
已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a，b，c，_________.
(
A
B
)在条件：①(b-a)(sinB+sinA)=c(sinB-sinC)；
②2sinAcosB =2sinC-sinB；
(
C
)③S△ABC=a(csinC+bsinB-asinA)；
这三个条件中任选一个，补充到上面的问题中并作答．
（1）求角A；
（2）若AC=2，如图，延长BC到D，使得AD⊥AB，求△ACD的面积S的取值 范围．
18. （本小题满分12分）
如图,矩形ABCD的边AB为圆O的直径,点E,F为圆O上异于A,B的两点，AB∥EF,BFDF. 已知AB=2,EF=1.
（1）求证: AD⊥平面ABEF；
（2）当AD的长为何值时,二面角E-CF-B的大小为45°.
19. （本小题满分12分）
某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.
（1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；
（2）用X表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求X的分布列和数学期望.
20．（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，3nSn+1-3(n+1)Sn=n(n+1).
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=3(-1)nan(n+1)，求数列{bn}的前29项和T29．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆G：(a>b>0)经过D(1,)，E(2,0)两点．作斜率为的直线l与椭圆G交于A，B两点(A点在B的左侧)，且点D在直线l上方.
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）证明：△DAB的内切圆的圆心在一条定直线上.
22．（本小题满分12分）
(
D
)已知函数f (x)=ex-aln(ax+a)-a，其中a0．
（1）当a=1时，求f (x)的单调区间；
（2）已知a<0，若f (x)只有一个零点，求a的取值范围．2024 年 1 月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试
高三数学
参考答案及评分标准
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8
D A C D B B C A
二、多选题：
9 10 11 12
BC BD BC ABD
三、填空题：
13 14 15 16
1 8
(- 2 , 2 ) 10
2 9
四、解答题：
17.(本小题满分 10 分)
（1）若选①,
b2+c2- a2 1
由(b-a)(b+a)=c(b-c) b2+c2- a2= bc cosA= = , …………………………………2 分
2bc 2
由于 A
(0, ) A= ………………………………………………………………………………………4 分
2 3
若选②,
由 2sinAcosB =2sin(A+B)-sinB 2sinBcosA =sinB,
1
由于 B (0, )，sinB 0 cosA= , ……………………………………………………………………2 分
2 2
又 A
(0, ) A= ………………………………………………………………………………………4 分
2 3
若选③
1 1 1
由 S△ABC= a(csinC+bsinB-asinA)
a(csinC+bsinB-asinA)= bcsinA a(c2+b2-a2)=abc
2 2 2
2 2 2
c2 2 2
b +c - a 1
+b -a =bc cosA= = , ……………………………………………………………………2 分
2bc 2
又 A (0, ) A= ………………………………………………………………………………………4 分
2 3
2 AD
（2）在△ACD 中，∠CAD= ，由正弦定理得 = ，
6 sinD sin(D+ )
6
1 sin(D+ ) 3 1
则 S= ×2ADsin = 6 = + ………………………………………………………………6 分
2 6 sinD 2 2tanD
1 / 6
{#{QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=}#}
∠ACB (0, )
2
由 B=
-∠ACB - (0, )，得∠ACB ( , ) ，D=∠ACB -
(0, )，…………………………8分
3 2 6 2 6 3
3 1 2 3
tanD (0, 3)， + ( ,+∞)
2 2tanD 3
2 3
即 S ( ,+∞) ……………………………………………………………………………………10 分
3
18.(本小题满分 12 分)
(1)因为 AB 为圆 O的直径, F 为圆 O上一点，所以 AF⊥BF
因为 BF DF，DF∩AF=F
所以 BF⊥平面 ADF,
因为 AD 平面 ADF,所以 AD⊥BF
在矩形 ABCD 中，AD⊥AB，AD∩AB=A
所以 AD⊥平面 ABEF,
(2)过 O 作 OG⊥EF,垂足为 G
因为 AB∥EF，所以 OG⊥AB
过 O作 OH∥AD,交 CD 于 H，则 OH⊥平面 ABEF
如图，以 OA,OG,OH 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系
1 3 1 3
设 C(- 1,0,t),B(- 1,0,0),F( , ,0),E(- , ,0)
2 2 2 2
→ → 3 3 → 3 3
EF=(1,0,0),BF=( , ,0), FC=(- ,- ,t), H
2 2 2 2
设平面 CEF 的一个法向量为 n1
G
→ →
由于EF n1=FC n1=0 得 n1=(0,2t, 3)
设平面 BCF 的一个法向量为 n2
→ →
由于BF n1=FC n1=0 得 n2=(1,- 3,0)
n1 n2 _x001E_2 3t 2
|cos
|n1||n2| 22 4t +3 2
6 6
解得|t|= ，所以 AD=|t|=
2 2
19.(本小题满分 12 分)
(1)设“甲同学选中建模”为事件 A，“乙同学选中建模”为事件 B，
2 / 6
{#{QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=}#}
C1 24 C6
依题意 P(A) 2＝ ＝ ，P(B) 3＝ ＝ . ………………………………………………………………………2分
C2 55 C
3 7
7
因为事件 A与 B相互独立，所以甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为
P(A－B )＝P(A)P(－B )＝P(A)[1－P(B)] 2 4 8＝ × ＝ . ……………………………………………………………4分
5 7 35
C25
(2)设事件C为“丙同学选中建模”,则P(C) 1＝ ＝ . ………………………………………………………5分
C3 26
X的可能取值为 0,1,2,3.
P(X 0) P(－A－B－C ) 3 4 1 6＝ ＝ ＝ × × ＝ ，……………………………………………………………………6分
5 7 2 35
P(X＝1)＝P(A－B－C )＋P(－A B－C ) P(－A－B C) 2 4 1 3 3 1＋ ＝ × × + × × +3 4 1 29× × ＝ ，……………………7分
5 7 2 5 7 2 5 7 2 70
P(X －＝2)＝P(ABC )＋P(A－B C) －＋P( A BC) 2 3 1 2 4 1 3 3 1 23＝ × × + × × + × × ＝ ， ………………………8分
5 7 2 5 7 2 5 7 2 70
P(X＝3)＝P(ABC) 2 3 1 3＝ × × ＝ ， ……………………………………………………………………9分
5 7 2 35
随机变量 X的分布列为
X 0 1 2 3
6 29 23 3
P
35 70 70 35
………………………………11分
6
所以 E(X)＝0× ＋1 29 2 23 3 3 93× ＋ × ＋ × ＝ . …………………………………………………………12分
35 70 70 35 70
20.(本小题满分 12 分)
Sn+1 Sn 1 S1 1
(1) 由题意可知， - = ， = ，
n+1 n 3 1 3
Sn 1 1
所以{ }以 为首项，以 为公差的等差数列…………………………………………………………………2 分
n 3 3
2
Sn n n
所以 = ，从而 Sn= …………………………………………………………………………………………4 分
n 3 3
2 2
n –(n–1) 2n-1当 n 2 时，an= Sn-Sn-1= = ，
3 3
1
当 n=1 时，a1= 符合上式
3
2n-1
综上所述，an= …………………………………………………………………………………………6 分
3
2n-1 n n
(2)由 an= 可得，bn=3(-1) an(n+1)= (-1) [2n(n+1)-1]………………………………………………8 分
3
T29=-(2×1×2-1)+[(2×2×3-1)-(2×3×4-1)]+[(2×4×5-1)-(2×5×6-1)]
3 / 6
{#{QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=}#}
+……+[(2×28×29-1)-(2×29×30-1)]…………………………（只要是正确的并项方式即可）10 分
=-3-4(3+5+……+29)
=-899………………………………………………………………………………………………………12 分
21.(本小题满分 12 分)
a=2
2 2 2
1 9 a =4 x y
(1)根据题意得， + =1 解得 2 ，所以椭圆 G 的方程为 + =1 ………………………………4分
2 2
a 4b b =3 4 3
1 2 2
(2) 设直线 l为 y= x+m，代入椭圆 G得，x +mx+m -3=0
2
2 2
△= m -4(m -3)>0,m (-2,2)
2
设 A(x1,y1)，B(x2,y2) x1+x2= m ，x1x2= m -3 ………………………………………………………6分
方法（一）：
3 3 1 3 1 3
y1- y2- ( x1+m- )(x2-1) ( x2+m- )(x1-1)
kDA+kDB = 2+ 2 = 2 2 + 2 2 …………………………………………………8 分
x1-1 x2-1 x1x2- (x1+x2)+1 x1x2- (x1+x2)+1
2
x1x2+(m-2) (x1+x2)+3-2m m -3-m(m-2)+3-2m
= = =0
2
x1x2- (x1+x2)+1 m -3+m+1
从而 kDA+kDB =0，………………………………………………………………………………………10 分
又 D在直线 l的左上方，因此∠ADB 的角平分线是平行于 y轴的直线，
所以△DAB 内切圆的圆心在直线 x=1 上． …………………………………………………………………12 分
方法（二）：
设 DA，DB，∠ADB 角平分线所在直线的倾斜角分别为 1， 2， 3，则有 2 3= 1+ 2
y -3 y 31 2-
2+ 2
tan +tan x -1 x -1 (
1x 31+m- )(x -1)+ (1x +m- 32 2 )(x1-1)
1 2
tan(2 )=tan( + )= 3 1 1 22 = 2 2 2 23 3= ……………8 分1 tan 1tan 2 y1- y2-
2 2 (x1-1)(x2-1) (y
3 3
1 1
- )(y2- )
2 2
x1-1 x2-1
x1x2+(m-2) (x1+x2)+3-2m m2-3-m(m-2)+3-2m
= = =0…………………………10 分
(x1-1)(x 3 32-1) (y1- )(y2- ) (x1-1)(x2-1) (y - 31 )(y - 32 )
2 2 2 2
∵ 3 [0, ),
∴2 3= , 3=
,所以∠ADB的角平分线是过 D且平行于 y轴的直线，
2
所以△DAB内切圆的圆心在直线 x=1上． …………………………………………………………………12 分
22.(本小题满分 12 分)
(1)f (x)= ex- a ，当 a=1时，f (x)= ex- 1 ，f (x)= ex+ 1 >0，
x+1 x+1 (x+1)2
f (x)在(-1,+∞)上单调递增………………………………………………………………………………………2分
4 / 6
{#{QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=}#}
∵f (0)=0,
∴x (-1,0)，f (x)<0，y=f (x)单调减区间为(-1,0),
x (0,+∞)，f (x)>0，y=f (x)单调增区间为(0,+∞). …………………………………………………………4 分
f (x)= ex- a e
x
= (x+1)-a(2) ，设 g(x)= ex(x+1)-a，g (x)= ex(x+2)，
x+1 x+1
当 a<0时，定义域为(-∞,-1)，
x (-∞,-2)，g (x)<0, g (x)单调递减,
x (-2,-1)，g (x)>0, g (x)单调递增,……………………………………………………………………………6分
所以 g(x)min=g(-2)=-e-2-a
若 a -e-2，则 g(x) 0, f (x) 0，y=f (x)在(-∞,-1)上单调递减,
1
又 -1<1
1
1-1<-1，
ae
1 1
f( 1 -1)= 1 1-aln(a× -a+a)-a= 1>0ae ae
1 1g( 1-1)= 1
1 1 1
e
1 1-aln[a(1 1-1)+a]+a= 1e
1
1-1<0
1
1 1 -1
∴ 唯一 x 0 ( -1， ea -1)， 使得 f(x0)=0，故 a -e-2 ……………………………………………………8分
ae a
若-e-2
x (x1,x2)，g(x)<0，f (x)>0，f(x)单调递增
x (x2,-1)，g(x)>0，f (x)<0，f(x)单调递减
f(x2)=ex2-aln(ax2+a)-a= a -aln[ex2(x2+1)2]-a=a[ 1 -(x2+1)-2ln(-x2-1)]
x2+1 x2+1
2
设 t=-x-1>0,h(t)=a(t-1-2lnt)，h (t)=a(t-1) <0，h(t)在(0,+∞)上单调递减
t t2
∵h(1)=0，∴t (0,1), h(t)>0,t (1,+∞), h(t)<0
-(x2+1) (0,1)，f(x2)>0；-(x 1+1) (1,+∞)，f(x1)<0
∴ x1
{#{QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=}#}
∵-e-2
∵-e-2
ae ae ae
∴ 1 -1
综上，a的取值范围是(-∞,-e-2] …………………………………………………………………………12 分
6 / 6
{#{QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=}#}
