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5
固原市 2023-2024 学年第一学期高二年级第期末统测 解得 k 2或 k .................................................................................................6分2
数学试卷答案及评分细则 (2)设直线 PM的单位方向向量为 ，则 a 2 2 2 u 1,1,0 ,0
............................................8分
（ ）
a 2
，
2 2
一、单选题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。
题号 , PN b ( 1,0,2) b 5,b u 2 ,.................................................10分1 2 3 4 5 6 7 8 2
答案 2
A B A C B D D B 点 N 到直线 PM的距离 2 2 d b (b u) 5 2 3 2 ...........12分
2 2
二、多选题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。全部选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有选错的得 19.解析：（1）解法一：易知线段MN的中点为坐标原点O(0,0) ,因为直线MN的斜率不存在，所以线段MN
0 分 的垂直平分线的方程是 y=0 .....................................1分
题号 由垂径定理可知，圆心C也在线段MN的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解，解得，即圆心C的
9 10 11 12
坐标是（1,0）.....................................3分
答案
AB BC ACD ABD C 2 2又圆 的半径 r= (1- 0) +（0 - 3）= 2，
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分
2 2
所以圆C的方程为（x -1）+ y = 4 ....................................5分
y= - 1 913. 14.－9 15.2 16.
4 2 解法二：设圆心C的坐标为（a,b），因为圆心C在直线 l1 : x - y -1 0上，
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 所以 a b 1 0 ① ...................................1分
17.解析：（1）因为 A(0，4),B(2，0) ,所以D的坐标为（1,2）.....................................2分 又因为圆经过M (0，3)，N (0，- 3)两点，所以 CM CN ,根据两点间的距离公式，有
CD m - 2 4 - 0因为 ⊥ AB ,所以 × = -1，....................................4 a2分 (b 3)2 a2 (b 3)2 , ②...................................2分
-5 -1 0 - 2
m= -1 .....................................5 由①②可得 a 1,b 0 ....................................3分解得 分
2 2
BC E C(-5 -1) E(- 3 1) 所以圆心C的坐标为（1,0），圆的半径 r= (1- 0) +（0 - 3）= 2 ...................................4分(2)设线段 的中点为 ,由(1)知 ， ，则 ， ，...................................7分 ，
2 2
+ 所以圆C的方程为（x -1）
2+ y2 = 4 ...................................5分
k 4 0.5所以 AE = =3 ,....................................9分0+1.5 2解法三：设圆C的方程为（x a） (y b)2 r 2，...................................1分
所以直线 AE的方程为 y - 4=（3 x - 0），化简得3x - y+4= 0， 因为圆经过M (0，3)，N (0，- 3)两点，且圆心C在直线 l1 : x - y -1= 0上，所以有
即 BC边上的中线所在的直线方程为3x - y+4= 0 ......................................10分
（0 a）
2 ( 3 b)2 r 2
18．(12分)解：（1） ka b (k 1,k ,2),ka 2b (k 2,k , 4) ，.....................................2分 (0 a)2 ( 3 b)2 r 2 ，...................................3分
ka b a b 1 0（ ） (ka 2b )， （k 1）(k 2) k 2 8 0，
整理得 2k 2 k 10 0，........................................................................................4分 解得 a 1,b 0， r 2， ...................................4分
2 2
所以圆C的方程为（x -1）+ y = 4 ...................................5分
答案第 1页，共 3页
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（2）由题意可知，直线 l2恒过点 A(-1,0)，此点同时为圆C与 x轴负半轴的交点. 因为点 A在第一象限，所以 yA 4, yB 1 ......................10分
又圆心C(1,0) ,则 AC = 2 1,所以 SΔ ABC = × AC× y = y
8 AF y
B B = ,...............................7分 A2 5 4 ....................12分BF yB
y =±8 , x =11 1解得 B B 或 xB = - .....................................8分 方法 3：（1）同解法 15 5 5
(2) 1 211 8 11 8 1 8 由（ ）得抛物线的方程为 y 4x，直线 l的方程 y
4
(x 1)，.......................5分
所以满足条件的点 B可以为 B（1 ，），B2( ，- )，B3(- ，)，B4(-
1
，- 8) ,........... 3
5 5 5 5 5 5 5 5
4
....................................10分 y (x 1)联立 3 消去 y整理得 4x2 17x 4 0 ......................7分
1 1
2
y 4x
依次代入直线方程 l2 : x -my+1= 0，得m= 2或m= -2或m= 或m= - ......................12分2 2 1
解得 x 或 x 4 ......................8分
4
20.(12 2分)解：方法 1（1）把点M (1，2)代入 y 2px ，解得 p 2 ..........................2分
A 1因为点 在第一象限,所以 xA 4, xB
所以 F(1，0) .........................4 4分
1
2 1 y2 4x l y 4 (x 1) 所以 A(4，4)，B( ， 1) ....................10分（ ）由（ ）得抛物线的方程为 ，直线 的方程 .......................5分
3 4
4 所以 AF (4 1)2
5
(4 0)2 5 ,同理 BF
y (x 1) 2
联立 3 ，消去 y整理得 4x 17x 4 0 ......................7
4
分
y
2 4x AF y
A 4 ....................12分
1 BF yB
解得 x 或 x 4 ......................8分
4
21. (12分)解析：（1）方法一：由题知，CC1 平面 ABD ,则CC1 AC,CC1 CD ,又 AC CD CC1 ,
A 1因为点 在第一象限,所以 xA 4, xB ......................9分4 则∠ ACC=DCC= 45 ,因此 AC ⊥C D ,...................2分1 1 1 1
AF x P所以 1 5 , BF x
p 5
B ....................10分2 2 4 又 AC⊥BC ,则 A1C1⊥ B1C1,又CC1⊥平面 A1B1C1 ,则CC1⊥ A1C1,又CC1 A1C1 C1 ,则 B1C1 平面
AF
所以 4 ....................12分 AC CA...................4分1 1
BF
方法 2：（1）同解法 1 又 AC1 平面 A1C1CA,则 AC1 B1C1 ,又DC1 B1C1 C1,则 AC1 平面DB1C1 ,又 B1D 平面DB1C1，
2 4 3
（2）由（1）得抛物线的方程为 y 4x，直线 l的方程 y (x 1)，即 x y 1，.......................5分 故 AC B D
...................6分
1 1
3 4
3 方法二： 在直棱柱 ABC - A1B1C1中， AC BC， 以C为坐标原点建立空间直角坐标系， x y 1
联立 4 ，消去 x整理得 y2 3y 4 0 .......................7分
y
2 4x AC BC AA1 1,延长 AC 至 D, AC CD ,...................2分
解得 y 4或 y 1......................8分 C(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(0，0，1)，A(0， 1，0)，B1(1，0，1)，..................4.分
答案第 2页，共 3页
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则 AC1 (0，1，1)，B1D ( 1，1， 1) ,则
2 2
AC1 B1D (0，1，1) ( 1，1， 1) 1 1 0 ,则 AC 即 11 B1D, ② 当 kOM = - k =1，所以 y= x+
x y
m，联立 + =1得，
2 8 4
AC B D ...................6分1 1
ABC n (0,0,1), m (x, y, z) DBC 3x
2+4mx+2m2 -8= 0，由Δ >0
（2）平面 的法向量为 设 为面 1 1的一个法向量，...................7分
x 0 4m 2m
2 -8
则C1B1 CB (1 0 0) B D ( 11 1)
m C1B1 0 得 - 2 3
m B1D 0
y z
2 2 4 2
z 1, y 1 m (0,1,1) cos m ,n m n 1 2
所以 AB = k +1 (x1+ x2) - 4x1x2 = 12 -m ，
令 则 ，则 ，则 ，...................11分 3m n 2 2
m 2 m
则 m n 45 ，即 tan m n tan 45 1， l : x - y+m= 0, O到 l距离 d = = ，所以
2 2
即平面 DB1C1与平面 ABC 所成锐二面角的正切值为 1...................12分
S = 1 ABd = 1× 4 2 × 2 mx2 y2 12 -m =
2 m2(12 -m2) ....................10分
22.(12分)(12分)已知椭圆 C : 2 2 1 a b 0)
2 Δ AOB
的离心率为 ，点 2, 3 在 C上，O为坐标原点. 2 2 3 2 3
a b 2
（1）求 C的方程; 2 m2≤ × +12 -m
2
= 2 2, 2 2当且仅当m =12 -m ，即m=± 6 时，
（2）已知直线 l : y kx m(k 0,m 0)， l与 C有两个交点 A，B， 线段 AB的中点为 M . 3 2
① 证明：直线 OM 的斜率与直线 l的斜率的乘积为定值. 等号成立，此时方程： y= x+ 6 或 y= x - 6 ....................12分
k 1② 若 OM ，求△OAB 面积的最大值，并求此时直线 l的方程.2
c 2 2 3
解析：（1）依题意有 , 2
2
2 1,a c
2 b2，....................1分
a 2 a b
a2 =8,b2 = 4,c2所以 = 4，....................2分
x2 y2
所以 C的方程为 + =1....................3分
8 4
（2）设 A(x1, y1),B(x2 , y2),M (xM , yM ) ,
x2 y2
① 由 方 程 组 y= kx+m 2 2 2和 + =1 可 得 ，（2k +1）x +4kmx+2m -8= 0 ， 由 Δ>0 可 得
8 4
8k 2 2
y 1
-m 4 0, x x 4km 2km m1 2 - 2 ，所以 x = - ，则 y = kx +m= ，则 k =
M = - ，
2k 1 M 2k 2+1 M M 2k 2+1 OM xM 2k
所以 kOM k = -
1 k = - 1 （定值）....................7分
2k 2
答案第 3页，共 3页
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