银川市兴庆区2023/2024学年度(上)高二期末考试
数 学 试 卷
一、单选题:（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．数列1，3，6，10，，21，28，…中，由给出的数之间的关系可知的值是（ ）
A．12 B．15 C．17 D．18
已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双
曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
4．已知数列满足，其中，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书
里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟
大成就，在杨辉三角中，第行的和为，
若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，
5，10，10，5，……则此数列的前45项和为（ ）
A．4052 B．2047 C．2048 D．2026
8．已知抛物线，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于
点A，B（其中A在x轴上方），A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若，
，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．判断下列命题正确的是（ ）
A．函数的极小值一定比极大值小．
B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点．
C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值．
D．三次函数在R上可能不存在极值．
10．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列
B．，，成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值
D．时，的最大值为32
11．抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线
与抛物线相交于、两点，点M(2,2)，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：y =－1
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．以M为中点的弦的直线方程为：y=x
12．已知函数，之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说
法正确的为（ ）
A．函数在处的切线与函数在处的切线平行
B．方程有两个实数根
C．若直线与函数交于点，，与函数交于点，
，则
D．若，则mn的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．一般地，当无限趋近于0时，运动物体位移的平均变化率无限
趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在时的 .
14．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收
天线的口径深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，
建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该抛物线上一点，点，
则的最小值___________.
已知，，若，使得成立，
则实数的最小值是 ．
16．在数列{an}中，已知，则数列{an}的通项公式an=________ .
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(10分)
已知双曲线.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值．
18．(12分)
已知函数．
(1)若在处取得极大值，求实数a的值；
(2)若在上单调递增，求实数a的取值范围．
19．(12分)
记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
20．(12分)
在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．
（1）求数列，的通项公式．
（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．(12分)
已知抛物线上的点M到
焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过
点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，
FB的斜率分别为，．求的值．
22．(12分)
已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，成立．
试卷第1页，共3页高二期末数学试卷参考答案(2024上)
一、单选题 ： 二、多选题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C A A D A CD AC BCD ACD
1．【答案】B
【分析】各项乘2，可得原数列的通项公式，从而得的值.
【详解】各项乘2，变为1×2，2×3，3×4，…，可得原数列的通项公式为，故．
故选: B.
2．【答案】D
【分析】根据双曲线定义求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．
故选：D．
3．【答案】A
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义求，即可得答案.
【详解】由，则，
所以点处的切线斜率为.
故选：A
4．【答案】C
【分析】根据已知递推关系，可以得到，数列为等差数列，然后利用等差数列的性质求得的值.
【详解】由，得是等差数列，.
故选：C
5．【答案】A
【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，
故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上，
故轨迹为，
故选：A
6．【答案】A
【分析】求导得到导函数，计算切线方程，将切点代入切线方程得到，根据解得答案.
【详解】设切点为，，，
则切线方程为：，
切线过点代入得：，即，
即方程有两个解，则有，解得或．
故选：A
7．【答案】D
【分析】由没有去掉“1”之前，第行的和为，可求得前n行所有数的和，再得到前n行的数的所有个数，再由时，去掉“1”后为45个数求解.
【详解】解：因为没有去掉“1”之前，第行的和为，
所以每一行的数的和构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以前n行所有数的和为，
又因为每一行的数的个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以前n行的数的所有个数为：，
当时， ，所以去掉“1”后的所有数的个数为 ，
所以数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……的前45项和为：
，
故选：D
8．【答案】A
【详解】如图，
由题意知，，，
则,
由轴，可知，
则，
，，，
.
故选：A.
二、多选题
9．【答案】CD
【详解】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确；
故选：CD.
10．【答案】AC
【分析】先根据已知条件得出数列是等差数列，；再根据，的关系求出，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据可求出，，即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据解不等式即可判断选项D.
【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列.
则.
所以
对于选项A：
当时，；
当时，；
.
数列是等差数列，故选项A正确；
对于选项B：
，，
，
则，
所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误；
对于选项C：，
当或时，最大，故选项C正确；
对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误.
故选：AC
11．【答案】BCD
【详解】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误；
对于B：由，故抛物线的准线方程为：y =－1 ，故B正确；
对于C：当直线过焦点时，设为，则，
故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为，
有圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切,故C正确；
对于D：D正确.
故选：BCD.
12．【答案】ACD
【分析】对于A，利用导数的几何意义即可判断，对于B，先利用导数求单调性，再根据，当时即可判断，对于C，利用分析即可判断，对于D，结合已知条件可得，构造函数利用函数的单调性求解最值即可.
【详解】对于A，由题意可知，，，，
因为，，
所以函数在处的切线为，函数在处的切线为，
两切线平行，A说法正确；
对于B，令解得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
令解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当，即时，显然有，
令，则，
令，则，
令解得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即恒成立，所以在上单调递减，
又，所以当时，
所以当时，，即，
又因为，所以结合单调性可知方程仅有一个根，B说法错误；
对于C，由B可知，
因为，所以或，
令，则，
令解得，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，则无解，所以舍去，
同理可得，所以（即）或（与矛盾舍去），
所以，
又由即可得，所以，C说法正确；
对于D，的定义域为，
根据对数函数的图象和性质当时，，当时，，
所以时得，，
又，所以，，
令，则，由解得，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，，即的最小值为，D说法正确；
故选：ACD
三、填空题
13.【答案】瞬时速度 .
14．【答案】5
【详解】设抛物线的方程为，
因为，，
所以点在抛物线上，
所以，故，
所以抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
在方程中取可得，
所以点在抛物线内，如图，过点作与准线垂直，为垂足，
点作与准线垂直，为垂足，则，
所以，
当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为5.
15．【答案】
【分析】转化为，再根据导数知识求出，根据二次函数知识求出，代入可求出结果.
【详解】因为，使得成立，等价于，
，
当时，，递减，当时，，递增，
所以当时，取得最小值；
因为，
所以当时，取得最大值为，
所以，即实数a的取值范围是．
所以实数的最小值是.
故答案为：
16．【答案】
【分析】将两边同时减去，得，构造新的等比数列，然后将的各项叠加即可.
【详解】解：将两边同时减去得，
，
，
即是等比数列，其首项为2，公比为2，
所以，
从而当n≥2时，
.
又，故
故答案为：.
四、解答题
17．【答案】(1)或 (2)
【详解】（1）由题可设所求双曲线的方程为,
①当时，方程为，
令得，
即双曲线方程为,即
②当时，方程为，
令得，
即双曲线方程为，
所以双曲线的标准方程为或
（2）设P点的坐标为，则满足，
.
则当时，有最小值为.
18.【答案】(1)1；(2).
【详解】（1）因为，
所以，得，
此时，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，
故实数的值为1；
（2）由（1）知，，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
故实数的取值范围为.
19．【答案】(1) (2)见解析
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
20．【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。
【详解】方案一：选条件①
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案二：选条件②
（1）
解得或（舍去）
（2）
方案三：选条件③
解得或（舍去）
（2）
【点睛】此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。
21．【答案】(1) (2)0
【详解】（1）设点，则，所以，解得．
因为，所以．所以抛物线C的方程为．
（2）由题知，，，直线AB的斜率必存在，且不为零．
设，，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为，
由，得．
所以，，
且，即．
所以
所以的值为0．
22．【答案】（1）
【详解】解：（1），
若,则,则在上是增函数，
而,不成立,故，
若,则当时, ；当时, ，
在上是增函数,在上是减函数，
的最大值为，
要使恒成立,只需,解得.
所以实数的取值范围
(2)由(1)知,当时,有在上恒成立,
恒成立，
令,则,
令,
则有，
以上各式两边分别相加,得，
即,
又因为，所以，即，
所以，
所以，证毕.
