2023—2024学年第一学期期末检测
高一数学
2024.1
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1.命题“，”的否定为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.下列四个函数中，与有相同单调性和奇偶性的是（ ）
A. B. C. D.
3.若全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图是折扇的示意图，其中，，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
5.若实数，满足，则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.若：，：，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ）
A.小于20克 B.不大于20克 C.大于20克 D.不小于20克
8.若、且满足，设，，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的有（ ）
A.是第二象限角 B.
C.小于90°的角一定是锐角 D.
10.下列命题为真命题的有（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，则 D.若，则
11.已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A.为奇函数 B.是以为周期的函数
C.的图象关于直线对称 D.时，的最大值为
12.如图，过函数（）图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，（），线段与函数（）的图象交于点，且与轴平行.下列结论正确的有（ ）
A.点的坐标为
B.当，，时，的值为9
C.当时，
D.当，时，若，为区间内任意两个变量，且，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知角的终边经过点，则的值为______.
14.若，，，则的最大值为______.
15.已知定义域为的奇函数，当时，若当时，的最大值为，则的最小值为______.
16.定义域为的函数，如果对于区间内（）的任意三个数，，，当时，有，那么称此函数为区间上的“递进函数”，若函数是区间为“递进函数”，则实数的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.化简求值：
（1）；
（2）若，求的值.
18.已知.求值：
（1）；
（2）.
19.已知函数的定义域为集合，函数（）的值域为.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
20.已知，.
（1）若，，且，求函数的单调增区间；
（2）若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，当取最小值时，方程在区间上有解，求实数的取值范围.
21.已知函数，，其中.
（1）判断并证明的单调性；
（2）①设，，求的取值范围，并把表示为的函数；
②若对任意的，总存在使得成立，求实数的取值范围.
22.已知函数.
（1）若为定义在上的偶函数，求实数的值；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围.
2023—2024学年第一学期期末检测
高一数学参考答案
2024.1
1. A 2. B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. D 8. C 9. BD 10. ACD 11. AD 12. ABD
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）原式；
（2）由题意得，得，
同理，故.
18.解：（1），
因为，所以原式；
（2），
因为，所以原式.
19.解：（1）由题意得
所以，所以；
当时，在上单调增，则，
∴；
（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集.
当时，在上单调增，
则，所以，解得；
当时，，不符合题意；
当时，在上单调减，则，不符合题意；
综上，.
20.解：（1），则，所以；
由，，解得，，
所以函数的单调增区间为，（闭区间也正确）.
（2）将的图象向左平移个单位长度后得到，
若所得图象关于轴对称，则，得，，
因为，所以；
，得，，
所以的取值范围为.
21.解：（1）是上的单调减函数.
证明如下：在上任取，且，
则，
故是上单调减函数；
（2）①，
则，
又因为，所以，从而.
又因为，所以，
因为，所以，
②【方法一】设在时值域为，则；
设在时的值域为，由题意得.
（ⅰ）当时，即，在上单调增，∴，
因为，显然不满足；
（ⅱ）当时，即，
在上单调增，在上单调减，且，
∴，显然不满足；
（ⅲ）当时，即，
在上单调增，在上单调减，且，
∴，且，所以不满足
（ⅳ）当时，，在上单调减，∴，
∵，∴且，所以；
综上，实数的取值范围是.
【方法二】∵函数开口向下，则，，
∴若在时取得最小值均不符合题意，即不符合题意，即时不符合题意；当时，，要使，则，解得；
综上，实数的取值范围是.
22.解：（1）【方法一】函数为定义在上的偶函数，则对恒成立，
所以，
化简得，即，所以.
【方法二】函数为定义在上的偶函数，可得，
即，解得；
当时，，函数定义域为，
，
所以为偶函数.
综上，.
（2）不等式可化为（*），
由题意得：对任意恒成立，则；
【方法一】（*）可化为，所以，
对于不等式，令，因为，所以.
，恒成立，恒成立；
令，可得即（**）
由于函数为上的减函数，且，所以不等式的解集为；由于函数为上的减函数，所以当时，恒成立，
所以（**）式的解为.
综上，的取值范围为.
【方法二】（*）可化为，令，，则，.
①当时，在上单调增，所以，
所以，即解不等式；
设在上单调减，且，所以；
②当时，在上任取，且，则，
所以在上单调减，同理可证在上单调增，，
所以即，
由①知，（2）的解集为，所以不等式组无解；
综上的取值范围为.
