石家庄重点中学高三上学期月考四
数 学
（时间：120分钟，满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码贴处”
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数，是z的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则中的集合C的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
3．数列中，，前n和为，则为（ ）
A． B．85 C． D．65
4．已知角的始边与x轴非负半轴重合，若终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
6．已知函数，，，则图象为下图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在R上单调递增，则a的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．3
8．已知抛物线C：的焦点为F，C的准线与对称轴交于点D，过D的直线l与C交于A，B两点，且（），若FB为∠DFA的角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列的前n项和为，且，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式为 B．为等差数列
C．的取值范围是 D．数列的通项公式
12．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥Q-的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量（），，若，则实数 ．
14．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为 ．
15．如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿边AC翻折，使点D翻折到P点，且，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是 ．
16．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，分别过，，作斜率为2的直线交C在x轴上半平面部分于P，Q两点．记，面积分别为，，若，则双曲线C的离心率为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列及．
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求B；
（2）若，求△ABC面积的最小值．
19．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，，且满足．
（1）设，证明：是等比数列；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，，，点P在底面的射影在AC上，E是AB的中点．
（1）证明：平面PAC；
（2）若，且PA与面PBD所成的角的正弦值为，求二面角D-PA-B的余弦值．
21．已知椭圆C的下顶点M，右焦点为F，N为线段MF的中点，O为坐标原点，，点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，若存在过点M的直线l＇，使得点A与点B关于直线l＇对称，求△MAB的面积的取值范围．
22．（12分）
已知，其中a，b，．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，是的两个零点，且，证明：．
