2023—2024学年（上）期末考试
高2025届数学试题
考试说明：
1.考试时间：120分钟
2.试题总分：150分
3.试卷页数：共4页
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知椭圆的一个焦点坐标，则（ ）
A. B.5 C.5或3 D.3
2.抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，，，则（ ）
A.3 B.9 C.27 D.81
4.设等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A.54 B.53 C.52 D.51
5.已知数列满足，，则（ ）
A. B. C.2 D.1
6.如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7.已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
8.若数列满足，，，，则称数列为Fibonacci数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用。则下列结论错误的是（ ）
A.
B.数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列的前n项和为，则
C.记，则数列的前2021项的和为
D.
二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9.设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.数列是等差数列 D.对任意，都有
10.己知点O为坐标原点，直线与抛物线相交于A、B两点，焦点为F，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.线段的中点到x轴的距离为2
11.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是（ ）
A.四边形的周长为12
B.当时，的面积为
C.直线，的斜率之积为
D.若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为
12.如图，已知正方体的棱长为1，若点E、F是正方形内（包括边界）的动点，若，，则下列结论正确的是（ ）
A.点E到的最大距离为
B.点F的轨迹是一个圆
C.的最小值为
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知直线，，则直线与间的距离为_____.
14.若抛物线上一点到焦点的距离为，则____.
15.已知数列满足，，则通项公式__________.
16.已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为________.
四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
己知数列为等差数列，，.
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和.
18.（本小题12分）
已知圆C的方程为：.
（1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；
（2）过点作圆C的切线，求切线方程.
19.（本小题12分）
如图，在直三棱柱中，，，，点M、N分别为和的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）证明：平面.
20.（本小题12分）
已知数列中，，数列的前n项和满足：.
（1）证明；数列是等比数列，并求通项公式；
（2）设，且数列的前n项和，求证：.
21.（本小题12分）
如图1所示，四边形中，，，，，，点M为的中点，点N为上一点，且，现将四边形沿翻折，使得与重合，得到如图2所示的几何体，其中.
图1 图2
（1）证明：平面；
（2）若点P是棱上一动点，当二面角的正弦值为时，试确定点P的位置.
22.（本小题12分）
已知双曲线的右焦点，渐近线方程.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围.
