沂水县2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题（三） 2024.01.20
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
4．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从9提升到39，则C大约增加了（ ）．（附：）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
6．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，其中为第一象限角，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．下列关系式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知a、b均为正实数，则下列选项正确的是：（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的最大值为 D．若，则最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么120密位等于 rad．
14. 已知集合，若，则的最小值为__________．
15．的三个内角为，若，则的值为_________.
16. 以表示数集中最大的数,设，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）求值：；
（2）已知，，用，表示.
18.（12分）已知.
(1)求；
(2)若角为第二象限角，且，求的值.
19．（12分）已知函数，，设．
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)若，求的取值范围．
20.（12分）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(3)求当f(x)≥时，x的取值范围．
21．（12分）已知函数.
(1)当时，求的单调递减区间；
(2)函数，求的值域.
22.（12分）已知函数在定义域上恒为正，，对任意的，都有，当时，.
(1)求，的值；
(2)用定义证明：为上的减函数；
(3)求不等式的解集.
带答案 2024.01.20
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
答案A
解析 由题意，则，只有A正确，故选A.
2．在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析 依题意，因为，所以终边经过的点为，
所以.故选B.
3．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
答案 A
解析：A 因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.
4．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A． B． C．2 D．
答案A
解析因为为幂函数，所以，解得，或，
又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，
所以.故选A.
5．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从9提升到39，则C大约增加了（ ）．（附：）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
答案C
解析 当时，，
当时，，
则，所以C大约增加了，即C大约增加了60％故选C
6．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析 对于A，在上单调递增，故A错误；
对于B，在上单调递减，故B错误；
对于C，的定义域为，且在上单调递增，故C错误；
对于D，，
当时，函数单调递增，且；
当时，单调递增，且；
所以函数在上单调递增，故D正确.故选：D
7．若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析 由图象知，的两根为2，4，且过点，
所以，解得，
所以，
所以，故选A
8．已知，其中为第一象限角，则（ ）
A． B． C．1 D．2
答案 B
解析 等式，两边同除得或，因为为第一象限角，则，所以.故选B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
答案AC
解析 当时，，若单调递增，则，解得，
当时，，若单调递增，则，解得，
又，解得，
综上可知，，可得AC符合.故选AC.
10．下列关系式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
答案AC
解析 对于A，当时，，所以，A正确；
对于B，因为，所以，B错误；
对于C，因为均大于0，所以，C正确；对于D，根据诱导公式，所以，D错误．
故选AC．
11．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
答案 AC
A选项：，则，，故A正确；
B选项：，因为，所以，故B错；
C选项：令，则，，因为，所以，即，故C正确；
D选项：因为，所以，故D错.故选AC.
12．已知a、b均为正实数，则下列选项正确的是：（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的最大值为 D．若，则最大值为
答案BC
解析 对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所有，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当，即时取等号，
又都是正数，故取不到等号，
所以，故D错误.故选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么120密位等于 rad．
答案
解析 设120密位等于，所以有，故答案为
14. 已知集合，若，则的最小值为__________．
答案 5
解析：因为,所以,即对恒成立，
所以，即的最小值为5.
15．的三个内角为，若，则的值为_________.
答案
解析 因为，，故可得，故，
则.
16. 以表示数集中最大的数,设，则的最小值为________．
答案：
解析：设，则，
当时，由得，，
当且仅当且即时等号成立；
的最小值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）求值：；
（2）已知，，用，表示.
解（1）原式
（2）由已知，，则
18.（12分）已知.
(1)求；
(2)若角为第二象限角，且，求的值.
解析 （1）因为，
所以.
（2）若角为第二象限角，且，则，
可得，
所以.
19．（12分）已知函数，，设．
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)若，求的取值范围．
解析（1），
由，得，即的定义域为．
（2）为奇函数，理由如下：
由（1）知，函数的定义域关于原点对称．
∵，
∴，
∴，故为奇函数．
（3）由，
得，
解得，故的取值范围是．
20.（12分）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(3)求当f(x)≥时，x的取值范围．
解：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
又因为当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，
所以当x∈[－，0]时，
f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.
又因为当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，f(x)的周期为π，
所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.
所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)因为在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，所以在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．
又因为f(x)的周期为π，
所以当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
21．（12分）已知函数.
(1)当时，求的单调递减区间；
(2)函数，求的值域.
解析 （1）令，
得，又，
所以的单调递减区间为；
（2）令，则，
，
则，由双勾函数得单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
又，所以，
所以函数的值域为.
22.（12分）已知函数在定义域上恒为正，，对任意的，都有，当时，.
(1)求，的值；
(2)用定义证明：为上的减函数；
(3)求不等式的解集.
解析 （1）令，则，又，所以.
因为，所以.
（2）在上单调递减.证明如下：,且，则
，
又，所以，所以，
又，所以，即，
所以为上的减函数.
（3）由（1）知，则即，
又在上单调递减，所以，解得，
所以不等式的解集为.
