东城区 2023-2024 学年度第一学期期末统一检测
高 三 数 学 2024.1
本试卷共6页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集U={x|0
的展开式中，x的系数为
(A)1 (B)5 (C)10 (D)20
(4)设等比数列{an}的各项均为正数. S 为其前 n 项和，若 则
(A)6 (B)8 (C)12 (D)14
(5)已知非零向量 a,b满足|a|=|b|,且a·b=0,对任意实数λ,μ,下列结论正确的是
(6)如图，在正方体 中,AB=2,E,F 分别是 的中点.用过点 F 且平行于平面ABE 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为
高三数学 第1 页 (共6 页 )
(7)已知 则 是 的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在 时刻,粒子从点 A(0,1)出发，沿着轨迹曲线运动到. 再沿着轨迹曲线途经 A 点运动到C(-1，-1)，之后便沿着轨迹曲线在 B，C两点之间循环往复运动.设该粒子在t时刻的位置对应点P(x，y)，则坐标x，y随时间t(t≥0)变化的图象可能是
(9)已知线段AB的长度为 10，M是线段 AB上的动点(不与端点重合).点 N 在圆心为 M，半径为 MA 的圆上,且 B,M,N不共线,则 的面积的最大值为
高三数学 第 2 页(共6 页)
(10)设函数. 对于下列四个判断：
①函数 f(x)的一个周期为π;
②函数 f(x)的值域是
③函数 f(x)的图象上存在点 P(x,y),使得其到点(1,0)的距离为
④当 时，函数 f(x)的图象与直线 y=2有且仅有一个公共点正确的判断是
A.① B.② C.③ D. ④
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25分。
(11)函数 的定义域为 .
(12)已知双曲线 则双曲线 C的渐近线方程是 ；直线 x=1与双曲线相交于 M,N两点,则|MN|= .
(13)已知函数f(x)=sin(x+∞)(φ>0),若 则φ的一个取值为 .
(14)设函数
①若a=-2,则f(x)的最小值为 ;
②若f(x)有最小值，则实数a 的取值范围是
(15)一般地，对于数列{an}，如果存在一个正整数 t，使得当n取每一个正整数时，都有 那么数列{an}就叫做周期数列，t叫做这个数列的一个周期. 给出下列四个判断：
①对于数列{an},若 a ∈{1,2}(i=1,2,3,…),则{an}为周期数列；
②若{an}满足:( 则{an}为周期数列；
③若{an}为周期数列，则存在正整数 M，使得|a。|
其中所有正确判断的序号是 .
高三数学 第 3 页(共6 页)
三、解答题共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(16)(本小题 14 分)
如图，在直三棱柱 中, E,F 分别为AB, 的中点.
(Ⅰ)求证:EF∥平面 ACC A ;
(Ⅱ)若点 P 是棱. 上一点，且直线 AP 与平面BEF 所成角的正弦值为 求线段BP 的长.
(17)(本小题 13 分)
在 中,
(Ⅰ)求∠B;
(Ⅱ)若 D为BC 边上一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 的面积.
条件①:
条件②:
条件③:△ABD的周长为
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
高三数学 第 4 页(共6 页)
(18)(本小题 13 分)
某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从 2022年和 2023 年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取 100 位考生，获得数据如下表：
2022 年 2023 年
通过 未通过 通过 未通过
第一次 60 人 40 人 50 人 50 人
第二次 70 人 30 人 60 人 40 人
第三次 80 人 20 人 m 人 (100-m)人
假设每次考试是否通过相互独立.
(Ⅰ)从2022年和2023 年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；
(Ⅱ)小明在2022 年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；
(Ⅲ)若 2023 年考生成绩合格的概率不低于 2022 年考生成绩合格的概率，则 m 的最小值为下列数值中的哪一个 (直接写出结果)
m的值 83 88 93
高三数学 第 5 页(共6 页)
(19)(本小题 15 分)
已知椭圆 的右焦点为 F，左、右顶点分别为 A，B，
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)设O是坐标原点，M，N 是椭圆 C 上不同的两点，且关于x轴对称，E，G 分别为线段 OM,MB 的中点,直线 AE 与椭圆C 交于另一点 D.证明:D,G,N三点共线.
(20)(本小题 15 分)
已知函数
(Ⅰ)若k=1,求曲线 y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)若1≤k<2,求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上有极大值 m,且-3
若有穷数列 满足： 则称此数列具有性质 Pc.
(Ⅰ)若数列 A:-2,a ,a ,2,6具有性质 P.,求a ,a ,c 的值;
(Ⅱ)设数列 A 具有性质 P ,且( n为奇数，当 时,存在正整数 k，使得 求证：数列 A 为等差数列；
(Ⅲ)把具有性质 P。，且满足 m为常数)的数列 A 构成的集合记作 Tf(n,m).求出所有的 n,使得对任意给定的 m,c,当数列 A∈T (n,m)时，数列 A中一定有相同的两项，即存在
高三数学 第 6 页(共 6 页)
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测
高三数学参考答案及评分标准 2024.1
一、选择题(共 10 小题, 每小题4分, 共40分)
(1) C (2) D (3) C (4) D (5) B
(6) A (7) C (8) B (9) A (10) D
二、填空题(共5 小题，每小题5分，共25分)
(11)(0,1)∪(1,+∞) (答案不唯 一 )
(14)①-2 ② (-∞,-1] (15) ②③
三、解答题(共6小题，共85分)
(16)(共 14分)
解: (I)取A C 中点G, 连接FG, AG.
在直三棱柱. 中,
因为E,F,G 分别为AB,B C , A C 的中点,
所以
所以GF ∥AE, GF =AE.
所以四边形EFGA为平行四边形，所以EF ∥AG.
又因为EF 平面ACC A , AG 平面ACC A ,所以EF∥平面ACC A .
(Ⅱ) 在直三棱柱 中,BB ⊥平面ABC.
而BA平面ABC, BC 平面ABC,
所以BB ⊥BA, BB ⊥BC
因为∠ABC=90°, BA⊥BC,
所以BA, BC,BB 两互相垂直.
如图，建立空间直角坐标系B-xyz.
则A(0, 2, 0), B(0, 0, 0), C(2, 0, 0), E(0, 1, 0), r\1, U, ∠).
设P(0, 0, m) ,m∈[0,2],
则
设平面 BEF的一个法向量为n=(x,y,z),
高三数学参考答案及评分标准 第 1 页 (共6 页)
所以 即
设z=-1, 则n=(2,0,-1)
设AP与平面BEF所成的角为θ，
则
解得 .因为m∈[0,2], 所以m=1.
于是, BP=1. ……………………………………………………………14分
(17) (本小题13分)
解: (I)在△ABC中,由余弦定理得
又因为
所以
又B∈(0,π),所以 ……………………………………………………5分
(Ⅱ) 选择条件①:
在△ADB中，由正弦定理 得 所以
所以sin∠BAD=sin(∠B+∠ADB)
=sin Bcos∠ADB+cos B sin∠ADB
所以
……………………………………………………13分
高三数学参考答案及评分标准 第 2 页 (共6页)
选择条件③：由余弦定理 得
解得 BD=2,
所以 …13分
(18)(本小题13分)
解：(I) 由表格中的数据可 知 ：
2022 年 100 名参加第一次考试的考生中有60 名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为
2023 年 100 名参加第一次考试的考生中有50 名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为
从 2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为 ………………………………………4分
(Ⅱ) 记“2022年考生在第i次考试通过”为事件A (i=1,2,3),
“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件 A，
则
小明一次考试该科目成绩合格的概率
小明两次考试该科目成绩合格的概率
所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率
…………………………10分
(Ⅲ) 88. .13 分
(19)(本小题 15分)
解: (Ⅰ) 由题意得
解得
所以椭圆C的标准方程为 ………………………………………………5分
高三数学参考答案及评分标准 第 3 页 (共6 页)
(Ⅱ) 证明: 由(Ⅰ) 得, A(-2,0),B(2,0).
设M(m,n), 则N(m,-n), 且满足;
因为E为线段OM的中点，所以
所以直线AE
设D(x ,y ),
由 得
因为 所以
所以 解得 则
所以
因为G为线段MB的中点，所以
所以直线 GN的方程为
代入D点坐标，得
左式
右式
所以左式=右式.
所以D,G,N三点共线. ……………………………………15分
(20)(本小题 15分)
解: (I) 若k=1, 则
所以
所以
又因为
所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y-(-2)=(x-0),
高三数学参考答案及评分标准 第 4 页 (共6 页)
即y=x-2. .6分
(Ⅱ) 若1≤k<2, 因为
设函数
则
所以 为(0,+∞)上的减函数.
当时1≤k<2时,
所以存在 使得 即
当x变化时有
x (0,x ) x (x ,+∞)
f'(x) + 0 —
f(x) ↗ 极大值 >
所以当1≤k<2时, 函数y=f(x)在(0,+∞)上有极大值.
由 得
因为 所以
得-3
解: (I) 由于数列A:-2, a , a ,2,6具有性质 Pc,所以
高三数学参考答案及评分标准 第 5 页 (共 6 页)
由 以及 得
由 得 ………………4分
(Ⅱ)由于数列A具有性质P ，且 n为奇数, 令n=2k+1,可得 设
由于当 时，存在正整数k，使得
所以 这k-1项均为数列A中的项，
且 因此一定有
a
即: 2 ,
这说明： 为公差为ak+ 的等差数列，再由数列A具有性质 P ，以及 可得，数列A为等差数列.………………………………………………………………9分
(Ⅲ)(1) 当 时,
设A ·
由于此数列具有性质 Pr，且满足
由 和 得c=±m.
① c=m时, 不妨设 此时有： 此时结论成立.
② c=-m时, 同理可证.
所以结论成立.
(2)当 时, 不妨设c=0, m=1. 反例如下:
-2k,2k-1,-2k+2,2k-3,…,1,-1,2,…,-2k+3,2k-2,-2k+1,2k.
(3)当 时, 不妨设c=0, m=1. 反例如下:
(-1) .(k+1),(-1) ·k,(-1) .(k-1), ,-1,0,1,-2, ,(-1) .(k-1),
综上所述， 符合题意. ………………………………15分.
