1.2 空间向量基本定理【第三课】
1.2 空间向量基本定理【第三课】
扩展1 利用基底求长度的最值
利用基底求长度的最值基本步骤：（1）合理选择基底；（2）利用基底和空间向量数量积把空间两点间的距离问题转化为空间向量模的大小问题；（3）借助函数、不等式及几何性质求出最值及范围．
（2023·湖北黄石高二期末）
1．棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【方法总结】利用基底求长度最值基本思路
1．函数法：大多数情况下，把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值
2．解不等式法：利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解
3．变量分析法：在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题
（2023·江西上饶高二期末）
2．如图，在三棱锥中，平面，，，点在三棱锥的表面上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川绵阳高二期中）
3．已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是 ．
（2023·福建厦门一中高二期中）
4．已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,,若,与所成的角分别为,,则线段长度的取值范围为 .
（2023·安徽霍邱高二期末）
5．一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，AC，若点P满足且，则的最小值为 .
扩展2 利用基底求向量数量积的最值
利用基底求向量数量积的最值需注意：（1）合理选择基底；（2）利用数量积的定义及其几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
（2023·山东泰安市宁阳县高二期末）
6．在四面体中，，，，若与互余，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【方法总结】 利用基底求空间向量数量积最值基本思想
1．函数法：大多数情况下，把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值
2．解不等式法：利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解
3．变量分析法：在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题
（2023·全国高二专题练）
7．如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北宜昌三峡高级中学高二期中）
8．已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建三明一中高二期末）
9．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是 .
（2023·黑龙江省大庆二中月考）
10．已知是棱长为的正方体外接球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最小值为 .
（2001·全国高考真题）
11．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
（2007·安徽·高考真题）
12．在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ (用表示)．
（2023·贵州遵义二模）
13．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏连云港二模）
14．在中，为斜边上异于的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
（2023·河南濮阳二模）
15．已知空间向量，是相互垂直的单位向量，若向量满足，，则的最小值是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可.
【详解】由，根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，
设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则
所以,
所以
故选：A．
【点睛】本题考查空间向量基本定理，向量共面的条件，求正三棱锥的高，属于中档题.
2．D
【分析】根据题干条件得到在以O为球心，半径为的球上，故，进而求出答案.
【详解】如图，取中点，连接，，，则，又因为平面，平面，平面，所以，，
又，，由勾股定理得：，且在以O为球心，半径为的球上，故，则的取值范围是，D正确.
故选：D
3．
【分析】根据球面距离可求得三边长，利用正弦定理可求得所在小圆的半径；，根据平面向量基本定理可知四点共面，从而将所求问题变为的最大值；根据最小值为球心到所在平面的距离，可求得最小值，代入可求得所求的最大值.
【详解】间的球面距离为
同理可得：
所在小圆的半径：
设 四点共面
若取最大值，则需取最小值
最小值为球心到所在平面的距离
本题正确结果：
【点睛】本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题.
4．
【解析】由题意画出图形，分别过作底面的垂线，垂足分别为，，
根据可知，线段长度的最大值或最小值取决于的长度，而，即可分别求出的最小值与最大值．
【详解】如图所示：
分别过作底面的垂线，垂足分别为，．
由已知可得，，，，．
∵， 而，
∴当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点同侧时，长度最小，此时，最小为；
当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点异侧时，长度最大，此时，最大为．
∴线段长度的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
5．
【分析】由向量满足条件可知是平面上的动点，转化为求到平面的距离，利用补形及等体积法求解即可.
【详解】因为点P满足且，
所以四点共面，即是平面上的动点，
所以的最小值即为到平面的距离.
由题意，几何体可补成边长为6的正方体，如图，
则可知，
设到平面的距离为，
则,
即，
解得，
所以的最小值为.
故答案为：
6．B
【解析】设，可得，利用空间向量数量积的定义以及辅助角公式，结合正弦函数的有界性可求得的最大值.
【详解】设，可得，则为锐角，
在四面体中，，，，
则，其中为锐角，且.
，则，
所以，当时，取得最大值.
故选：B.
【点睛】在计算向量的数量积时，要确定好基底向量，作为基底向量的向量，长度以及向量间的夹角需已知.
7．C
【分析】运用向量加法、相等向量将与分别表示为，，代入数量积运算即可.
【详解】由题意知，，
设正方形的中心为，连接、、，如图所示，
则，，，面，面，
∴，
∴，，
又∵，，
∴
∵，
∴当时， ，
∴.
故选：C.
8．C
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解.
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小值为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：C.
9．
【分析】由列方程，利用已知条件化简，结合基本不等式求得的最大值.
【详解】依题意是空间单位向量，
且，
，，
，
，
当且仅当时等号成立，
所以，
所以.
故答案为：
10．
【分析】根据已知条件及正方体的体对角线为正方体外接球的直径，再利用平面向量的数量积的运算，结合平面向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意可知，为棱长为的正方体外接球的一条直径，为球心，为正方体表面上的任意一点，如图所示
则球心也就是正方体的中心，
所以正方体的中心到正方体表面任意一点的距离的最小值为正方体的内切球半径，它等于棱长的一半为,的长为正方体的对角线长为.
所以的最小值为.
故答案为：.
11．A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
12．
【详解】因为在四面体中，为的中点，为的中点， ，故答案为.
13．B
【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，
易得，，，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又因为平面，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，
又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.
因为，
所以，，.
所以
.
因为，所以.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.
14．A
【分析】依题意作出相应图形，得到，记，，利用空间数量积的运算性质可得出，从而求得的最小值.
【详解】过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，如下图所示：
，，
在中，，所以，
记，且，则，
所以，，
因为二面角的大小为，即为向量，的夹角为，
，
且，
所以
，
则，当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，线段长度的最小值为4.
故选：A.
15．3
【分析】利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】分别以，为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设，则，
，所以，
所以，所以，
所以，
所以当，时，取得最小值3．
故答案为：3.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.2 空间向量基本定理【第三练】
1.2 空间向量基本定理【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.运用基底的概念判定三个向量组成的向量组能否作为基底，发展数学运算和逻辑推理能力，如第1题、第5题、第9题；
2.运用基底表示空间向量，锻炼直观想象和数学运算素养，如第2题、第2题、如第15题、如第16题；
3.运用空间向量基本定理解决简单立体几何问题，提升逻辑推理和数学运算能力，如第5题、如第3题、如第5题、如第13题、如第14题；
4.利用空间向量基本定理求立体几何中的最值与范围问题，提升直观想象和数学运算素养，如第6题、第8题、第10题、如第14题、第16题.
一、单选题
（2023·河南周口高二校联考期末）
1．三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽阜阳太和中学高二期末）
2．在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
（2023·福建三明一中高二期末）
3．在三棱柱中，平面ABC，，M是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国·高二专题练习）
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
（2023·江西宜春高二期中）
5．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
（2023·湖北黄石高二期末）
6．已知球的半径为，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南长沙一中高二月考）
7．在正四棱锥中，若，，平面与棱交于点，则四棱锥与四棱锥的体积比为（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川泸州高二期中）
8．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（ ）
A．若，则∥平面 B．若，则
C．当最小时， D．当最大时，
二、多选题
（2023·福建莆田一中高二月考）
9．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N共面
D．已知向量是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
（2023·江苏淮安高二期末）
10．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题
（2023·安徽芜湖一中高二期中）
11．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距 米.
（2023·辽宁沈阳十中高二期末）
12．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 .
（2023·安徽六安一中高二月考）
13．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .
（2023·湖北恩施高二期中联考）
14．如图，已知正方体的棱长为4，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是 ；的最大值为 ．
四、解答题
（2023·山东菏泽高二期中）
15．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
（2023·广东佛山高二期末）
16．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在AB，，上，并满足．设，，．
(1)用，，表示，；
(2)设的重心为G，用，，表示；
(3)当时，求a的取值范围．
【易错题目】第6题、第8题、第10题、第14题
【复盘要点】利用空间向量基本定理解决立体几何中最值与范围问题的基本思路
（1）函数法：:大多数情况下，把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值
（2）解不等式法：利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解
（3）变量分析法：:在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题
典例（2023·安徽亳州涡阳一中高二期末）
17．已知点是棱长为2的正方体的底面上一点（包括边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【复盘训练】
（2023·福建福州三中高二期末）
18．已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南洛阳高二期中联考）
19．棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
（2023·湖北武汉武昌实验中学高二期末）
20．如图，在棱长为2的正四面体中，、分别为、上的动点（不包含端点），为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为；
B．的最小值为；
C．若四棱锥的体积为，则的取值范围是
D．若，则
（2023·江西景德镇高二期末）
21．在直角，中上有一动点P，将沿折起使得二面角，则当最小值最小时，为（ ）
A． B． C．2 D．
（2023·辽宁大连二十四中高二期末）
22．已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
（2023·河北沧州高二期末）
23．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，设的二面角为.
(1)当时，求的体积；
(2)设N为的中点，，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据空间向量的共面定理计算即可.
【详解】
如图所示，因为点M在平面BCD内，可设，
则有，
即用向量，，表示，三个基向量的系数之和为1，显然A符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】利用空间向量线性运算的几何表示及空间向量基本定理求出，利用对数的运算即可得出结论．
【详解】
由题意，，
又，不共面，
则，
所以.
故选：B.
3．C
【分析】根据直三棱柱的几何性质，结合空间向量的基本定理，利用数量积的运算律，可得答案.
【详解】如图所示，
，
故，
在直三棱柱，易知，，
在中，由，则，
由，则，
则.
答案：C.
4．A
【分析】根据题意，得到，，进而求出，根据，即可判断B的大小；利用上述方法求得，，即可判断C和D的大小，进而可以判断出三角形的形状.
【详解】，，
为锐角，
同理：，，D和C都为锐角，
∴为锐角三角形.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了平面向量的加减运算法则与向量数量积的运算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
5．C
【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.
【详解】向量是不共面的三个向量，
对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底；
对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底；
对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底；
对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，
整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.
故选：C
6．B
【分析】作出图形，取线段的中点，利用向量的加法法则可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.
【详解】作出图形，取线段的中点，连接、、、、，可知，
由勾股定理可得，且有，
由向量的加法法则可得，，
.
，由向量的三角不等式可得，
，所以，.
因此，的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查向量数量积取值范围的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查数形结合思想以及计算能力，属于中等题.
7．B
【分析】利用、、、四点共面，，由锥体体积公式，求出和的值，即可得的值.
【详解】如图所示，
设，由、、、四点共面，
设，则，
即，
得，
又，，不共面，则，解得：，即，
设，分别是点到平面和点到平面的距离，则，
所以，
，，
同理，，，，
则四棱锥与四棱锥的体积比为.
故选：B
【点睛】方法点睛：
点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.
8．C
【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于A：若，则点即为点，进而可得结果；对于B：若，可得点在线段上（包括短点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断.
【详解】因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
且平面，可得，
又因为N在侧面上（包含边界），设，且，
可得
，
又因为，可得，且.
对于选项A：若，则，可得点即为点，
显然平面，故A错误；
对于选项B：若，则，可得点在线段上（包括端点），
由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误；
过作，垂足为，可得，，
因为平面，平面，则，
且，平面，所以平面，
可得，
对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时，
可得，故C正确；
对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时，
可得，故D错误；
故选：C.
【点睛】关键点睛：1. 设，且，根据空间向量基本定理分析可得，方便建立关系；
2.分析可得平面，则，将的大小转化为的大小.
9．ABCD
【分析】根据空间向量基底、空间点共面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】选项A中，根据空间向量的基底的概念，
可得任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基，所以A正确；
选项B中，根据空间的基底的概念，可得B正确；
选项C中，由不能构成空间的一组基底，可得共面，
又由过相同点B，可得A，B，M，N四点共面，所以C正确；
选项D中，由是空间的一组基底，则基向量与向量一定不共面，
所以可以构成空间的另一组基底，所以D正确.
故选：ABCD
10．AD
【分析】根据空间四点共面可得，即，判断A,B;利用均值不等式可求得的最大值，判断C,D.
【详解】由题意知
，
即共面，则为基底表示时，系数和为1，
由，可知， ，即，A正确；
由，，可知仅当时，有，
比如当时，即不成立，故B错误；
又由基本不等式可得 ， ，当且仅当，时等号成立，
故C错误， D正确．
故选：AD．
11．70
【分析】由平方即可求解.
【详解】由题意，，
，
，
米，米，米，库底与水坝所成的二面角为，
，
米.
故答案为：70.
12．1
【分析】根据给定条件，利用空间向量的一个基底表示，再利用数量积运算律计算作答.
【详解】正八面体ABCDEF中，不共面，而P，Q分别为棱AB，AD的中点，
有，，则，
，
.
故答案为：1
13．##
【分析】设，，，以构成空间的一个基底，根据，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解.
【详解】设，，，
则构成空间的一个基底，
设，
因为，
所以，
因为，，
所以，即，
即，解得.
故答案为：.
14． 12
【分析】如图，分别取，，的中点，，，连接，可证明六边形为正六边形，从而可求其面积，利用向量数量积的几何意义可求的最大值.
【详解】∵，∴点在平面上，
如图，分别取，，的中点，，，
连接，
因为为中点，故，
又由正方体可得，，
故，故四边形为平行四边形，故，
故，故四点共面，同理可证四点共面，
故五点共面，同理可证四点共面，
故六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形.
故点的轨迹是正六边形，
因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，
所以点的轨迹围成图形的面积是．
如图，
，
∴的最大值为12．
故答案为：，12．
15．(1)
(2)①②③
【分析】（1）连接由 可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
③对两边平代入已知再开方可得答案.
【详解】（1）
连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以
.
（2）选①，
因为，，所以
，所以；
选②，
因为，，所以
，所以；
③，
因为，，所以
，所以.
16．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（2）利用向量的加法运算，以及数乘运算即可表示；
（3）先用，，表示，再计算，发现其恒为零，进而可得a的取值范围．
【详解】（1）
（2）
（3）
又
即对任意，都有
即a的取值范围为.
17．B
【分析】由题设及向量加法的几何意义可得、，结合向量数量积的运算律及正方体的性质有且，即可求的范围.
【详解】
由题设，，，
∴，
又，，
∴，而在面上一点（包括边界），
∴，故.
故选：B
18．C
【分析】利用空间向量的数量积计算得，通过的范围求解即可．
【详解】设正方体为，正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为，
因为点P在正方体表面上运动，
当P为正方体的表面正方形的中心时，可取到最小值，
当P为正方体的顶点时，可取到最大值，
故，则
即
故选：C．
19．A
【分析】根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可.
【详解】由，根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，
设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则
所以,
所以
故选：A．
【点睛】本题考查空间向量基本定理，向量共面的条件，求正三棱锥的高，属于中档题.
20．BC
【分析】A将平面PAC和平面BAC沿AC边展开为平面四边形PABC即可求解；
B设，又有△△易得DF⊥PC，根据勾股定理即可求解；
C由得，又得又得，再利用余弦定理及均值不等式即可求的取值范围；
D由即可求解.
【详解】A：如下展开图，为的中点，易知，
则，又D,E不能是端点，故，没有最小值，错误；
B：设，又有△△，所以，
连接DF，则有DF⊥PC，故，正确；
C：设等边△ABC的中心为O，连接PO，
易知PO⊥平面ABC，则，为的中点，
所以得：，
所以，又，
则有，又，可得，
所以，结合对勾函数性质可得，正确；
D：设，，解得或1，即或1，错误；
故选：BC.
21．A
【分析】设，用表示，根据空间向量，整理可得，结合正弦函数的有界性以及二次函数分析运算.
【详解】分别过作，垂足分别为，连接，
设，则，
可得，
故，
∵，则，
又∵，可得，
故，
∵，则，
可得，当且仅当，即时等号成立，
又∵开口向上，对称轴，
可得当时，取到最小值，
故当，时，最小值最小.
故选：A.
22．C
【分析】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可.
【详解】
取一三棱锥，，
且，，所以，
，
设，
因为，所以，即，
所以在以为直径的球上，球半径为，设球心为，
又由同理可知在以为直径的球上，球半径为，设球心为，
球心距，所以两球相交，即点与点可以重合，
又，
所以.
故选：C.
23．(1)
(2)
【分析】（1）取中点O，中点M，连接，过点P做于点H，证得，平面，可求的体积.
（2）分别用表示，将化为的函数从而可求范围.
【详解】（1）取中点O，中点M，连接.
因为底面为直角梯形，，，，
所以，
因为O为中点，所以，因为，
所以为的二面角，即，
过点P做于点H，
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面，
因为平面⊥平面，，平面，所以平面.
因为，，所以，因为，所以，
因为直角梯形的面积，
所以的体积；
（2）因为N是的中点，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以
，
因为，所以，
所以的取值范围为.
答案第1页，共2页
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