1.1.1 空间向量及其线性运算【第三课】
1.1.1 空间向量及其线性运算【第三课】
扩展1 证明三个向量共面
（1）共面向量：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
（2）向量共面的充要条件：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
例1 （2022·全国·高二专题练习）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面.
【思路分析】判断向量共面目标是向量共面的充要条件，关键是根据题意，运用空间向量线性运算，得到，即可得证.
【解析】因为在上，且，所以.
同理.所以=++
=.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面.
【方法总结】
1.目标意识：空间向量共面的充要条件；
2.运算能力：熟练运用空间向量的线性运算准确化简、运算是解答的关键.
【举一反三1-1】（2023·福建莆田一中高二期末）
1．已知A B C D E是空间中的五个点，其中点A B C不共线，则“平面ABC”是“存在实数x y，使得的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【举一反三1-2】（2023·山东济南市历城二中期中）
2．给出下列四个命题：
①若存在实数x，y，使，则与，共面；
②若与，共面，则存在实数x，y，使；
③若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面；
④若点P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使．
其中 是真命题.（填序号）
【举一反三1-3】（2023·全国高二专题）
3．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ．
【举一反三1-4】（2023·四川南充高二期末）
4．如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
扩展2 判断四点共面
例2下列向量关系式中，能确定空间四点P，Q，R，S共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路分析】判断四点共面，可根据四个点所在的向量，运用向量线性运算，得到，因为存在公共点，即可得证.
【解析】由，得，
即，所以为共面向量，故四点共面.故选：.
【方法总结】证明空间四点P，M，A，B共面的基本方法
（1）；
（2）对空间任一点O，；
（3）对空间任一点O，(x＋y＋z＝1)；
（4）(或或).
【举一反三2-1】（2023·河北唐山高二期末）
5．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
【举一反三2-2】（2023·河北黄石高二期中）
6．已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【举一反三2-3】（2023·山西师大附中高二期中）
7．已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数 ．
【举一反三2-4】（2023·山东泰安一中高二月考）
8．已知在正方体中，为空间任意两点，如果有，那么点必在平面 内.
（2001·全国高考真题）
9．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
（2023·河南信阳二模）
10．已知非零向量，不共线，若，则A，B，C，D四点（ ）
A．一定共圆 B．恰是空间四边形的四个顶点
C．一定共面 D．一定不共面
（2023·江西南昌高考模拟）
11．已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
（2023·湖南师大附中高考模拟）
12．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北邯郸一模）
13．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合向量共面的判定定理即可得出答案.
【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x y，使得.
若存在实数x y，使得，则，，共面
则平面ABC或平面ABC.
所以“平面ABC”是“存在实数x y，使得的充分而不必要条件.
故选：A.
2．①③
【分析】利用空间向量共面定理判断.
【详解】①由共面向量定理知，正确；
②若，共线，则不与，共线，则不存在实数x，y，使，故错误；
③由共面向量定理知，正确；
④若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故错误．
故答案为：①③
3．
【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可.
【详解】法一：由题意，
，，
因为，，共面，
所以存在实数唯一实数对，使得，
即，
所以，解得．
法二：由，，共面得四点共面，
则根据四点共面的充要条件可得，，即．
故答案为：.
4．(1)；
(2)是.
【分析】（1）利用向量的线性运算得出和，进而由，得到向量与向量和的关系；
（2）由（1）结合共面向量基本定理，即可得出结论.
【详解】（1）解：∵，
，
∴.
（2）解：由（1）可知，，
∴向量与向量，共面.
5．B
【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案.
【详解】由，得，
即，故共面.
又因为三个向量有同一公共点，所以共面.
故选：B.
6．D
【分析】根据四点共面结论：若四点共面，则且，
【详解】若，，，四点共面，则，则
故选：D．
7．##
【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得出关于的两个表达式，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.
【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得，
所以，，
所以，，
因为，即，所以，，
因为，即，
所以，，可得，解得.
故答案为：.
8．
【分析】由向量线性运算，把已知式变形为用表示的形式，由空间向量共面定理的推论得四点共面，得出结论．
【详解】因为
，，
所以四点共面，即点必在平面内．
故答案为：．
9．A
【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.
【详解】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.
10．C
【分析】先利用共面向量定理得到，知C 正确，B、D错误；再由作为基底，判断四点位置形成凹四边形，四点不共圆，A错误．
【详解】因为非零向量不共线，，，，
所以，所以，
由共面向量定理可知，A，B，C，D四点共面，故A 正确，B、D错误；
不妨设是该平面内向量的单位正交基底，易知A、B、C、D四点构成一个凹四边形，此时四点不共圆，故A错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属于中档题.
11．A
【分析】根据空间向量共面可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】因为，
所以，又点D在确定的平面内，
所以，即，
所以，
所以当时，的有最小值.
故选：A.
12．B
【分析】根据向量共面定理求解．
【详解】由题意， ，，
∵，，共面，
∴存在实数唯一实数对，使得，
，
∴，解得．
故选：B．
【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．是不共面的向量，，则共面．
13．C
【详解】因为线段D1Q与OP互相平分，
所以四点O，Q，P，D1共面，
且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，
Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，
Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；
在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，
只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，
此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个
故选C.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.1.1 空间向量及其线性运算【第三练】
1.1.1 空间向量及其线性运算【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.熟练掌握空间向量线性运算，提升数学运算素养，如第1题，第6题；
2.准确判断空间向量共面，培养逻辑推理和数学运算能力，如第11题；
3.准确判断四点共面，发展逻辑推理、直观想象和数学运算素养，如第3，16题.
一、单选题
1．如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山东德州高二联考）
2．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽六安一中高二期中）
3．已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（ ）
A．点是唯一的，且一定与共面
B．点不唯一，但一定与共面
C．点是唯一的，但不一定与共面
D．点不唯一，也不一定与共面
4．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，，，，则与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
5．在四面体中，在面ABC内，在面BCD内，且满足，，若（，均不为0），则下面有关线段AQ与DP的关系的表述中，正确的是（ ）
A．与所在直线是异面直线
B．与所在直线平行
C．线段与必相交
D．线段与延长后相交
6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中
①+与1+1是一对相反向量；
②-1与-1是一对相反向量；
③1+1+1+1与+++是一对相反向量；
④-与1-1是一对相反向量．
正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·安徽滁州定远高二期末联考）
7．设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
（2023·山西大同高二校联考）
8．已知三棱锥的体积为13，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
（2023·河南周口高二校联考）
9．在平行六面体中，的重心为点，则（ ）
A．
B．若为的中点，则
C．
D．
（2023·江西赣州高二联考）
10．(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（ ）
A．P∈直线AB B．P 直线AB
C．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线
三、填空题
11．在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则 .
（2023·福建厦门集美区高二联考）
12．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 .
（2023·湖北黄石高二期末）
13．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点作一个平面分别交，，于点，，，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，，则的值为 .
（2023·重庆南岸区高二期末）
14．边长为4的正方体内（包含表面和棱上）有一点，，分别为，中点，且．若，则 ；若，则三棱锥体积为 ．
四、解答题
15．如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：平面EFGH；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有．
（2023·福建福州三中高二期末）
16．已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值．
【易错题目】第11题、第16题
【复盘要点】判断四点共面
1.证明四点共面基本思路：
（1）；
（2）对空间任一点O，；
（3）对空间任一点O，(x＋y＋z＝1)；
（4）(或或).
2.证明四点共面的关键：利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
（2023·北京大兴区高二期中联考）
17．对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【复盘训练】
（2023·安徽铜陵高二期中）
18．在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·江西宜春高二期末）
19．在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山东烟台高二期末）
20．已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面
（2023·河北衡水高二期末）
21．如图，已知正三棱锥的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面，交线段于点S，交的延长线于M，N两点．则下列说法中正确的是（ ）
A．是定值 B．不是定值
C． D．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，连接OG，
则
．
故选：A．
2．D
【解析】化简得到，得到，，得到答案.
【详解】，
故，，.
故选：.
【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
3．A
【分析】由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案.
【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，
因为，
所以，
所以共面，
所以四点共面，
因为，所以，
所以点唯一.
故选：A.
4．A
【分析】根据空间向量线性运算的几何表示对选项一一验证即可.
【详解】连接与交于点，连接，，，
，，，
对于选项A：
，故A正确；
对于选项B：
，故B错误；
对于选项C：
，故C错误；
对于选项D：
，故D错误；
故选：A.
5．C
【分析】分和且两种情况讨论，根据空间向量基本定理得到，，，四点共面，即可判断.
【详解】解：若，则，，所以，
所以，，共面，又因为，，有公共点，
所以，，，四点共面；
若且，则由得，令，则，
所以，，共面，
又因为，，有公共点，故，，，四点共面，
又因为与所在直线不平行，所以与必相交．
故选：C．
6．A
【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.
【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点，
①+与+不是一对相反向量，错误；
②-与-不是一对相反向量，错误；
③1+1+1+是一对相反向量,正确；
④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误．
即正确结论的个数为1个
故选：A
7．A
【分析】根据条件，得到，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值.
【详解】因为，
且，所以，
而，当且仅当同向时，等号成立，
而A，，，在球面上，不可能共线，即不同向，
所以
且均小于直径长2，即，
综上，.
根据选项可知A不符合.
故选：A
8．C
【分析】根据空间向量基本定理，结合四点共面性质、共线向量的性质、三棱锥体积的性质进行求解即可.
【详解】由
，
因为，所以在平面内存在一点，使得
成立，即，
，
故选：C
9．AC
【分析】设为的中点，再根据空间向量的线性运算逐一分析判断即可.
【详解】对于，设为的中点，
因为为的重心，
所以，
则
又，所以，
故，故A正确；
对于B，，
故，故B错误；
对于C，由A选项可知，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：AC．
10．ACD
【解析】由题意可得，代入向量式化简可得，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论．
【详解】解:因为，所以，
所以=，
即=n()，
即=n，所以共线.
又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
因为=m+n，故O，A，B，P四点共面.
故答案为：ACD
【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题．
11．##1.2
【分析】根据共面定理列方程组可解.
【详解】如图所示，
正方体中，，
，
，A，，四点共面，，，，四点共面，
，解得，；
．
故答案为：
12．
【分析】先构造和平面平行的截面，再根据空间向量共面确定点的轨迹形状，再求其长度.
【详解】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，则，，
由面，面，则面，
同理可证面，，面，
所以面面，
所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部，又，
所以点在侧面，故的轨迹为线段，
因为，，所以.
故答案为：
13．
【分析】解法一：以AC、BD交点O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴正方向构建空间直角坐标系，设，，，，，进而写出、、、坐标，可得，，由四点共面有，设，求值即可.
解法二：利用平面的性质作出点G的位置，再由平面几何的知识即可得解.
【详解】解法一：建立如图所示空间直角坐标系，设，，，， (a、b均不为0)，则，，，，
∴，，
由题意四点共面，有，其中，设，
∴
由方程组，即，解得：.
故答案为：.
解法二：连接AC,BD交于点O，则O是底面的中心，连接PO，PO垂直于底面ABCD，
连接AF，交PO于H，可得H为PO的三等分点（靠近O）,连接EH并延长，与PD的交点即为G，
在平面内作出三角形PBD，作,垂足分别为S，T，如图，
由题意，,所以，，
设，则，
又由三角形相似得，,
所以，解得：.
解得：
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：构建空间直角坐标系，利用四点共面有且，再设，应用空间向量线性关系的坐标表示，列方程组求参数.
14． ##
【分析】空1：以，，为基底，把向量，分别用基底表示，利用两个向量相等的条件即可算出；
空2：由得，，，三点共线，利用（1）把k求出来，即可算出体积.
【详解】如图，
空1：
,
所以，所以.
空2：
，
，
因为，
所以，
所以，所以，
所以
故答案为：（1）；（2）.
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由向量的加法性质化简即可得出结论.
【详解】（1）在中E，H分别是AB，AD的中点，
所以为的中位线，
所以，且,
因为平面，平面，
所以平面．
（2）由（1）知，且,
同理在可得，且,
所以,且
所以四边形EFGH为平行四边形，所以为EG中点，
因为E，G分别是AB，CD的中点，
所以.
16．
【分析】分别用基底和表示出,根据四点共面得出的值.
【详解】是等边三角形，是的重心，
如图，延长交于点，则为的中点，，
故
，
设，
则，
四点共面，，即，
又，，，
，．
17．BC
【分析】方法一：根据向量共面定理可得存在唯一一组数，使得，可得，根据选项依次列方程组求解可判断.
方法二：根据共面定理的推论可得.
【详解】方法一：若，，，四点共面，则存在唯一一组数，使得，
则，
整理可得，
对A，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故A错误；
对B，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故B正确；
对C，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故C正确；
对D，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故D错误.
故选：BC.
方法二：根据共面定理的推论可得，若，，，四点共面，
则对于空间中任意一点，有，且满足，
则由选项可得只有BC满足.
故选：BC.
18．C
【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】解：与，，一定共面的充要条件是，
对于A选项，由于，故不共面，错误；
对于B选项，由得，由于，故不共面，错误；
对于C选项，由得，即，由于，满足，故共面，正确；
对于D选项，由于，故不共面，错误；
故选：C
19．ABD
【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可.
【详解】A：，如下图，，
由的关系不定，则不一定在面上，满足；
B：，如下图，此时满足上式，
此时，M与A，B，C不共面，满足；
C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足.
D：，如下图，
此时，M与A，B，C不共面，满足；
故选：ABD
20．D
【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；
对于B，，，，
又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；
对于C、D，若，，，四点共面，
则有，
，即，故，
故，，，四点共面，C错误，D正确.
故选：D.
21．AD
【分析】利用四点共面可求得.
【详解】
如图，设的中点为，连接则在上且，
所以
.
故，
由于S，M，N，O四点共面，于是，
因此．
故选：AD.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
