2023-2024学年云南省昆明重点中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并使用负数进行运算的国家当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，节日当天妈妈收到微信红包元记作元，则妈妈微信转账支付元可以表示为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2.根据有关部门测算，年春节假期期间，云南省共接待游客的数量大约为人次数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，该几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，直线，若，则为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值是( )
A. B. C. D.
7.一个多边形的内角和等于外角和的倍，这个多边形是( )
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 十边形
8.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
9.不等式组的解集是( )
A. B. C. D.
10.如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若的半径为，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形个数是( )
A. B. C. D.
12.随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图四次参加模拟考试的学生人数不变，下列四个结论不正确的是( )
A. 共有名学生参加模拟测试
B. 从第月到第月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C. 第月增长的“优秀”人数比第月增长的“优秀”人数多
D. 第月测试成绩“优秀”的学生人数达到人
13.关于方程四种的说法正确的是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根
C. 两实数根的和为 D. 两实数根的积为
14.如图，在平行四边形中，点在边上，：：，连接交于点，则的面积与的面积之比为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
15.“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是：，结果甲比乙提前到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.若根式有意义，则实数的取值范围为 ．
17.分解因式： ．
18.如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交边于点，连接，，，则的度数是 ．
19.如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ．
三、解答题：本题共6小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
计算：．
21.本小题分
如图，已知平分，求证：．
22.本小题分
“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐小文将它们背面朝上放在桌面上邮票背面完全相同，让小乐从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张．
请用列表法或树状图法列出所有可能出现的结果总数；
请你求出小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是多少？
23.本小题分
某公司招聘一名职员，先对应聘者进行笔试考核，笔试进入前两名的选手再进入面试方面的考核，最终在参加面试的两人中录取一人该公司将应聘者的笔试成绩划分了个等级：设应聘者的成绩为单位：分，当时为不合格；当时为合格；当时为良好；当时为优秀下面是参加笔试的名应聘者的成绩：
，，，，，，，，，，
这名应聘者的笔试成绩的中位数是______，众数是______；
请将下面表示上述个等级的统计图补充完整；
该公司对进入笔试前两名的甲、乙二人进行了面试考核，面试中包括形体、口才、人际交往、创新能力，他们的成绩百分制如下表：
候选人 面试项目
形体 口才 人际交往 创新能力
甲
乙
如果公司根据经营性质和岗位要求，以面试成绩中形体占，口才占，人际交往，创新能力占确定成绩，那么你认为该公司应该录取谁？请通过计算说明理由．
24.本小题分
如图，在中，，于，，，连接交于点．
求证：四边形是矩形；
如果，，求的长．
25.本小题分
为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积单位： 每天施工费用单位：元
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
求的值；
该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工天，且完成的施工面积不少于该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如果收到微信红包元记作元，
那么微信转账支付元记为元．
故选：．
根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
本题考查了正数和负数，理解相反意义的量是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】
【解析】解：图形为四棱台，俯视图为两个正方形，注意：看得见的轮廓线用实线．
故选：．
可根据几何体的特点，得出俯视图的形状．
此题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
，
．
故选：．
先根据平行线的性质得出的度数，再由平角的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：点和点关于轴对称，
，
在反比例函数的图象上，
，
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据求出点关于轴的对称点的坐标．
7.【答案】
【解析】解：设多边形的边数是，根据题意得，
，
解得：，
这个多边形为六边形．
故选：．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，原计算错误，不符合题意；
B.，原计算错误，不符合题意；
C.，原计算错误，不符合题意；
D.，正确，符合题意．
故选：．
直接利用分式的加减运算法则、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了分式的加减运算法则、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，的半径为，
，
，
，
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角得到，根据半径以及含度的直角三角形的性质求解即可．
本题考查的是圆周角定理，含度的直角三角形，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：第一个图案中涂有阴影的小正方形个，；
第二个图案中涂有阴影的小正方形个，
第三个图案中涂有阴影的小正方形个：；
；
则第个图案中涂有阴影的小正方形：个；
故第个图案中涂有阴影的小正方形个，
故选：．
先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第个图案中涂有阴影的小正方形个数．
本题考查图案的变化规律问题，解题的关键是找到正确的变化规律即可．
12.【答案】
【解析】解：、测试的学生人数为：名，故不符合题意；
B、由折线统计图可知，从第月到第月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐月增长，故不符合题意；
C、第月增长的“优秀”人数为人，第月增长的“优秀”人数人，故不符合题意；
D、第月测试成绩“优秀”的学生人数为：人，故符合题意．
故选：．
根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
，
有两个不相等的实数根，故A、B错误；
设方程的两个根为，，
，，
故C错误，D正确．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系计算后即可作出判断．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程的根与系数以及根的判别式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【解答】
解：四边形为平行四边形，
，，
：：，
：：，
即：，
，
∽，
，
的面积与的面积之比：：．
故选：．
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
先根据平行四边形的性质得到，，则：：，再证明∽，利用相似比得到，然后根据三角形面积公式求的面积与的面积之比．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，甲的速度为，则乙的速度为，
，
即，
故选：．
根据甲、乙的速度比是：，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前到达基地，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
16.【答案】
【解析】解：根式有意义，
，
解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
17.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】
根据三角形的内角和得出，根据等腰三角形两底角相等得出，进而根据角的和差得出．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】解：连接，则，
由折叠得，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积．
此题重点考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：
．
【解析】根据二次根式的化简，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质绝对值的定义计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】证明：平分，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由是角平分线，再结合已知条件利用“”即可证明两个三角形全等．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
22.【答案】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，列树状图如下，
由可得，一共有种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性是种，
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
【解析】根据题意，可以画出相应的树状图；
根据画出的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：，；
如图所示：
甲的平均成绩为：．
乙的平均成绩为：．
，
应该录取甲．
【解析】解：从小到大排列为，，，，，，，，，，这名应聘者的笔试成绩的中位数是，
出现次数最多，众数是．
故答案为：；．
合格人，，
良好人，，如图所示：
见答案．
利用中位数及众数的定义回答即可；
根据题干的数据得到合格和良好的人数，求出所占百分比，再把统计图补充完整即可；
利用加权平均数的计算方法计算即可得到答案．
本题考查了中位数、众数及加权平均数的知识，解题的关键是了解有关定义和计算方法．
24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
解：，，
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形即可．
先证，然后解直角三角形即可．
本题考查了矩形的判定，解直角三角形等知识点，角度之间的准确转换是解题关键．
25.【答案】解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为；
设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，
根据题意得：，
解得：，
设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用．
【解析】利用工作时间工作总量工作效率，结合甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出的值；
设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据天完成的施工面积不少于，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，利用总费用甲工程队施工时间乙工程队施工时间，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
第1页，共1页
