2023-2024学年四川省成都市武侯区玉林中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.下列方程是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
3.下列各组数是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.下列命题是假命题的是( )
A. 同角或等角的余角相等 B. 三角形的任意两边之和大于第三边
C. 三角形的内角和为 D. 两直线平行，同旁内角相等
5.下列图形中，由，能得到的是( )
A. B.
C. D.
6.估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
7.上体育课时，小明次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数和中位数分别是
( )
成绩
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.一次函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9.若，则的值为______ ．
10.点到轴的距离是______．
11.某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试满分均为分，规定笔试成绩占，面试成绩占，应聘者张华的笔试成绩和面试成绩分别为分和分，她的最终得分是______分．
12.已知是方程组的解，则的值是______．
13.将一副直角三角尺如图摆放，点在上，经过点，已知，，，，则的度数为______．
14.在中，，，分别是，，的对边，若，则这个三角形一定是______．
15.已知一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于，则该一次函数表达式为______．
16.关于、的方程组与有相同的解，则的值为______．
17.正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，和点，，分别在直线和轴上，已知点，，则点的坐标是______，点的坐标是______．
18.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图，在中，，若点是斜边的中点，则，运用：如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到连接，，，则的长为______．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19.计算；
计算；
解方程组：；
解方程组：．
20.如图，，平分，，求的度数．
21.在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，三点在格点上．
在图中作出关于轴对称的．
求的面积．
22.某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数单位：个进行统计，结果如下：经过计算，甲进球的平均数为，方差为
甲
乙
求乙进球的平均数和方差
如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？
23.已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数交轴于点，交轴于点，点是点关于轴对称的点，过点作轴平行的射线，交直线与点，点是射线上的一个动点．
求点，的坐标．
如图，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求点的坐标．
若直线与直线有交点，不妨设交点为不与点重合，连接，是否存在点，使得，若存在，请求出对应的点坐标；若不存在，请说明理由．
24.九年级学生到距离学校千米的百花公园去春游，一部分学生步行前往，分钟后另一部分学生骑自行车前往，设分钟为步行前往的学生离开学校所走的时间，步行学生走的路程为千米，骑自行车学生骑行的路程为千米，、关于的函数图象如图所示．
求关于的函数解析式；
步行的学生和骑自行车的学生谁先到达百花公园，先到了几分钟？
25.在等腰中，，
如图，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接
求证：≌；
当，时，求的长；
如图，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，求的长．
26.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于点，且
．
求直线的解析式；
点为线段上一点，点为线段延长线上一点，且，设点横坐标为，求点的坐标用含的式子表示，不要求写出自变量的取值范围；
在的条件下，点在轴负半轴上，且，若，求直线的解析式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是：．
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，即可得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、，含有两个未知数，不合题意；
B、，是一元一次方程，不合题意；
C、，是二元一次方程，符合题意；
D、，分母中含有未知数，不合题意；
故选：．
直接利用二元一次方程的定义分析得出答案．
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确掌握“元”和“次”的确定方法是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、，这组数不是勾股数；
B、，但不是整数，这组数不是勾股数；
C、，这组数是勾股数；
D、，这组数不是勾股数．
故选：．
根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形．
4.【答案】
【解析】解：、同角或等角的余角相等，正确，是真命题；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题；
C、三角形的内角和为，正确，是真命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，
故选：．
利用余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质，难度不大．
5.【答案】
【解析】解：、不能判定任何直线平行，故本选项错误；
B、不能判定任何直线平行，故本选项错误；
C、，，符合平行线的判定定理，故本选项正确；
D、不能判定任何直线平行，故本选项错误．
故选：．
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键，又利用了不等式的性质．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了众数和中位数，属于基础题．
将小明投球的次成绩按从小到大的顺序排列，根据数的特点结合众数和中位数的定义即可得出结论．
【解答】
解：按从小到大的顺序排列小明次投球的成绩：
，，，，．
其中出现次，出现次数最多，排在第三，
这组数据的众数与中位数分别是：，．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：分两种情况：
当时，，一次函数经过第一、三、四象限，选项A符合；
当时，，一次函数图象经过第一、二、四象限，无选项符合．
故选：．
因为的符号不确定，故应分两种情况讨论，再找出符合任一条件的函数图象即可．
本题考查了一次函数的性质，根据图象能正确判断一次项系数以及常数项的符号；根据符号判断判断图经过的象限．
9.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
根据立方根的定义即可求得答案．
本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点到轴的距离是，
故答案为：．
根据点的坐标表示方法得到点到轴的距离是纵坐标的绝对值即，然后去绝对值即可．
本题考查了点的坐标：在平面直角坐标系中，过一个点分别作轴和轴的垂线，用垂足在轴和轴上的坐标分别表示这个点的横纵坐标．
11.【答案】
【解析】解：分
故答案为：．
利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
考查平均数、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义是解决问题的为前提，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
12.【答案】
【解析】解：把代入方程组，得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则，
故答案为：
把与代入方程组求出与的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，
，，
．
故答案为：．
根据已知条件和等腰三角形的性质得到的度数，又由三角形外角的性质，可得，继而求得答案．
本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟知三角板个角的度数是解题的关键．
14.【答案】解：原式
；
原式
；
，
得：，
解得：，
将代入得，
解得：，
故原方程组的解为；
，
得：，
解得：，
将代入得，
解得：，
故原方程组的解为．
【解析】利用有理数的乘方法则，立方根的定义，绝对值的性质及零指数幂计算即可；
利用二次根式的运算法则计算即可；
利用加减消元法解方程组即可；
利用加减消元法解方程组即可．
本题考查实数的运算及解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则及解方程组的方法是解题的关键．
15.【答案】解：，
，
平分，
，
，
，
，，
．
【解析】证明，求出即可解决问题．
本题考查平行线的判定，方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】解：如图所示：，即为所求；
的面积为：．
【解析】直接利用关于轴对称点的性质得出答案；
利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
17.【答案】解：乙的平均数为：个
，
答：乙进球的平均数为个，方差为；
应选择乙参加比赛，因为甲、乙的平均数相同，而乙的方差较小，比较稳定，因此选择乙比较合适．
【解析】根据平均数、方差的计算公式进行计算即可；
通过平均数、方差的大小进行比较得出结论，选择平均数较大、方差较小的参加比较合适．
考查平均数、方差的意义和计算方法，理解平均数反应一组数据的集中水平和整体情况，而方差则反应一组数的离散程度，方差越小越稳定．
18.【答案】解：令，则，
，
令，则，
，
；
点是点关于轴对称的点，
，
轴，
时，，
，
，，，
由折叠知，，
，
设，
，，
在中，，
，
；
设，
，，
，
，
，
或，
或，
直线的解析式为，
当点坐标为时，直线的解析式为，
联立得：
解得，
，
当点坐标为时，直线解析式为，
联立得：
解得，
，
即：满足条件的点或．
【解析】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称性，勾股定理，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论；
先求出，，进而求出，，，由折叠知，，，再用勾股定理即可得出结论；
利用三角形面积关系求出点坐标，再联立直线解析式求出交点坐标即可得出结论．
19.【答案】直角三角形
【解析】解：，
，，，
，
为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
依据非负数的性质求得、、的值，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题主要考查的是非负数的性质、勾股定理的逆定理的应用，求得、、的值是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，
令，有，
令，有，，
直线与坐标轴的交点为和，
，
，，
一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于，
，解得
该一次函数表达式为：．
故答案为：．
先求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式列出方程求即可．
本题考查的是求一次函数解析式，求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，根据三角形面积公式列出方程是解答此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：由题意联立得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
方程组的解为，
将代入原方程组中含、方程组成：，
即，
得：，
解得：，
把代入得：，
则，
故答案为：
联立不含与的方程组成方程组，利用加减消元法解方程组求出与的值，进而得到关于，的二元一次方程组，解方程组确定出与的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
22.【答案】；
【解析】解：的坐标为，点的坐标为，
正方形边长为，正方形边长为，
的坐标是，的坐标是：，
代入得，
解得：．
则直线的解析式是：．
，点的坐标为，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
据此可以得到的纵坐标是：，横坐标是：．
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
的横坐标是：，纵坐标是：．
则的坐标是
故答案为：，
首先求得直线的解析式，分别求得，，的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：如图，连接交于，作于．
在中，，，，
由勾股定理得，
由题可得，
，
，
，，
点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
垂直平分线段，
，
，
，
在中，．
故答案为．
根据，可得，根据垂直平分线的性质可得，得，再根据，运用勾股定理可得．
本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．解题时注意：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
24.【答案】解：设关于的函数解析式是，
，得，
即关于的函数解析式是；
由图象可知，
步行的学生的速度为：千米分钟，
步行同学到达百花公园的时间为：分钟，
当时，，得，
，
答：骑自行车的学生先到达百花公园，先到了分钟．
【解析】根据函数图象中的数据可以求得关于的函数解析式；
根据函数图象中的数据和题意可以分别求得步行学生和骑自行车学生到达百花公园的时间，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
25.【答案】解：如图中，
≌，
，，
，，
，
，
在与中，
≌．
如图中，设，则．
，，
，
，
，
≌，
，
在中，由勾股定理得：
，，
，
，
．
当点在线段上时，如图中，连接．
，
，
，，
在与中，
≌，
，，
，
，
．
当点在的延长线上时，如图中，连接．
同法可证是直角三角形，，，
，
综上所述，的值为或．
【解析】想办法证明，由，，即可证明．
如图中，设，则在中，由，，推出，解方程即可．
分两种情形当点在线段上时，如图中，连接由≌，推出，，推出，推出，即可解决问题．
当点在的延长线上时，如图中，同法可得．
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
点，点
，，
，，
，
点，
设直线解析式为：，则，解得：
直线解析式为：；
如图，过点作于点，过点作于点，
点横坐标为，
点，
，
，
，，
≌，
，
故点的纵坐标为：，
直线的表达式为：，
即，解得：，
故点；
如图，连接，，过点作，
，，
是的垂直平分线，
，且，，
≌
，，
，，，
≌
，
，且，
，且，
，
，
，，
，且，，
≌
，，
，
，
，
设直线的解析式为：，
，解得：
直线的解析式为：．
【解析】先求出点，点坐标，由等腰三角形的性质可求点坐标，由待定系数法可求的解析式；
证明≌，则，故点的纵坐标为：，而点在直线上，即可求解；
由“”可证≌，≌，可得，，，由“”可证≌，可得，，可求的值，可得点，点的坐标，即可求直线的解析式．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
第1页，共1页
