第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷-基础篇
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·江苏·高二阶段练习）已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2021·福建·高二阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．或 D．
4．（5分）（2022·河北·高二阶段练习）已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
5．（5分）（2022·吉林·高二阶段练习）经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）在中，已知点，，且边的中点M在轴上，边的中点N在轴上，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）若过点的直线截圆的弦长为8，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（5分）（2022·安徽·高三开学考试）已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外离 C．外切 D．相交
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（5分）（2022·吉林·高二阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 B．倾斜角为的直线的斜率为
C．一条直线的倾斜角为，则其斜率为 D．直线斜率的取值范围是
11．（5分）（2022·江苏·高二开学考试）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为-2
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
12．（5分）（2022·江苏·高二阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知点满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为
D．过直线上的一点向圆引切线，则四边形的面积的最小值为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·江苏·高二开学考试）已知直线：，：，若，则实数的值为 .
14．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知为圆的直径，点的坐标为，则点的坐标为 ．
15．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）从点出发的一束光线l，经过直线反射，反射光线恰好通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为 ．
16．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）若圆上恰有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程.（精确到0.01m）
18．（12分）（2022·广西·高二阶段练习）已知点.
(1)求直线的倾斜角
(2)过点的直线与过两点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围.
19．（12分）（2022·河北·高二阶段练习）已知直线过点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程.
20．（12分）（2022·山东·高一阶段练习）已知直线和直线，试确定的值，使得：
(1)与相交；
(2)与平行，并求出两条直线的距离；
(3)与垂直，并求出点关于与垂足的对称点D.
21．（12分）（2022·四川·高二开学考试（文））已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点.
(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程.
22．（12分）（2022·辽宁·高二阶段练习）已知圆，圆.
(1)求圆与圆的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.第二章 直线和圆的方程全章综合测试卷-基础篇
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022·江苏·高二阶段练习）已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】直接根据斜率和倾斜角的关系即 得到答案.
【解答过程】由直线的倾斜角与斜率的关系得，
所以直线 的斜率为 ；
故选：B.
2．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据圆的方程即得.
【解答过程】因为圆的圆心为，
则圆的圆心坐标是.
故选：C．
3．（5分）（2021·福建·高二阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C．或 D．
【解题思路】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案．
【解答过程】解：直线，，
若，则，解得：或
当时，与重合，故“” “”，
故“”的必要不充分条件是“或”，
故选：C．
4．（5分）（2022·河北·高二阶段练习）已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
【解题思路】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．
【解答过程】解：直线与直线平行，
，解得或，
又，所以，
当时，直线与直线距离为.
故选：A.
5．（5分）（2022·吉林·高二阶段练习）经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作出线段及点，即可得出直线变化范围，即可确定斜率取值范围.
【解答过程】如图所示，，故直线的斜率的取值范围是.
故选：A.
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）在中，已知点，，且边的中点M在轴上，边的中点N在轴上，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，，，先利用中点坐标公式求出相关点坐标，再求出直线方程即可.
【解答过程】设，，，
因为，，
所以且，
解得，，，，
即，，，
所以MN所在直线方程为，
即．
故选：A．
7．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）若过点的直线截圆的弦长为8，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】对直线的斜率是否存在分类讨论，根据圆心到直线的距离、弦长和半径构成的直角三角形得到关于斜率的方程，解方程得到方程的斜率，进而得到直线方程.
【解答过程】若直线l的斜率不存在，则l的方程为，
圆心到l的距离为3，易求得弦长为8，符合题意；
若直线l的斜率存在，设l的方程为，即，
故圆心到l的距离，
解得，
则l的方程为.
综上所述，直线l的方程为或.
故选：C.
8．（5分）（2022·安徽·高三开学考试）已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外离 C．外切 D．相交
【解题思路】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【解答过程】易知直线即过定点，因为，故在圆内.
故弦最短时直线垂直，又，所以，解得，
此时圆的方程是.
两圆圆心之间的距离，半径分别为5，3
又，所以这两圆外离.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·全国·高二课时练习）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.
【解答过程】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），
则，解得a＝0或a＝1，
∴所求圆的方程为或,
故选：AD．
10．（5分）（2022·吉林·高二阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 B．倾斜角为的直线的斜率为
C．一条直线的倾斜角为，则其斜率为 D．直线斜率的取值范围是
【解题思路】由倾斜角与斜率的关系即可判断.
【解答过程】对A，每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，A正确；
对B，，B错误；
对C，倾斜角为时，斜率不存在，C错误；
对D，直线斜率，直线斜率的取值范围是，D正确.
故选：AD.
11．（5分）（2022·江苏·高二开学考试）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为-2
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
【解题思路】根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行线间的距离公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解答过程】对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确；
经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故B错误，
当时，可整理为：，恒过定点；
当时，即为，过点；
故直线 必过定点，C正确，
直线与直线平行，则，
此时即，也即，
则两平行线间的距离，故D错误.
综上所述，正确的选项是：.
故选：.
12．（5分）（2022·江苏·高二阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知点满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为
D．过直线上的一点向圆引切线，则四边形的面积的最小值为
【解题思路】对于A，设点坐标，根据代入化简，可得A正确；
对于B，设切线夹角为，可得，解得B正确；
对于C，若圆上恰有三个点到直线的距离为，可判断直线与圆相切，进而可解得，故C错误；
对于D，由条件可表达四边形的面积为，求的最小值，计算可得D正确.
【解答过程】对于A，因为，点满足，设，则，
化简得，，即，故A正确；
对于B，因为，设两条切线的夹角为，所以，解得，则，故B正确；
对于C，易知直线的斜率存在，设直线l的方程为，即，
因为圆上恰有三个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离，解得，故C错误；
对于D，由题意可得，故只需求的最小值即可，的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形的面积的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·江苏·高二开学考试）已知直线：，：，若，则实数的值为 .
【解题思路】分类讨论直线的斜率是否存在即可求解.
【解答过程】若直线的斜率存在，即，
直线的斜率，，所以有，
即，解得：，
若直线的斜率不存在，即，
此时，不满足.
综上：，
故答案为：.
14．（5分）（2022·全国·高二课时练习）已知为圆的直径，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【解题思路】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设，再利用中点坐标公式得到方程组，解得即可.
【解答过程】解：圆即，所以圆心坐标为，
设，又因为，所以由中点坐标公式得，解得，
所以点的坐标为．
故答案为：.
15．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）从点出发的一束光线l，经过直线反射，反射光线恰好通过点，则反射光线所在直线的一般式方程为 ．
【解题思路】利用对称性求关于直线的对称点，再应用点斜式写出直线方程.
【解答过程】设关于直线的对称点为，
所以，解得，即，
依题意：D在反射光线上，又也在反射光线上，
∴，故所求方程为，整理得：．
故答案为：.
16．（5分）（2022·河南·高二阶段练习）若圆上恰有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为 ．
【解题思路】设与直线平行且与直线之间的距离为2的直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式可求出，再求出圆心到两直线的距离，结合图象可求出实数的取值范围.
【解答过程】如图所示．
设与直线平行且与直线之间的距离为2的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即．
即实数的取值范围为，
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·全国·高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程.（精确到0.01m）
【解题思路】建系表示点B，C的坐标，利用待定系数的方法设圆的标准方程，代入求解.
【解答过程】如图所示是拱桥的简图，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建系，
由题可知，，设圆心坐标为，圆的方程为
将点B，C代入可得，解得
因此圆拱桥的拱所在的圆的标准方程为：.
18．（12分）（2022·广西·高二阶段练习）已知点.
(1)求直线的倾斜角
(2)过点的直线与过两点的线段有公共点，求直线斜率的取值范围.
【解题思路】（1）利用两点式得到直线斜率，从而可得直线的倾斜角；
（2）求出直线与直线的斜率，从而可得结果.
【解答过程】（1）
由已知得：直线的斜率
又
（2）
直线的斜率
直线的斜率
过点直线与过两点的线段有公共点，
直线斜率的取值范围为.
19．（12分）（2022·河北·高二阶段练习）已知直线过点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程.
【解题思路】（1）先设出与直线垂直的直线的方程，把点代入所设方程求解即可求得直线的方程；
（2）分直线过原点与不过原点两种情况，当过原点时，用点斜式可求；当直线不过原点时，用截距式设出直线的方程，再把点代入所设方程求解即可求得直线的方程
【解答过程】（1）
因为直线与直线垂直
所以，设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，解得，
所以直线的方程为.
（2）
当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，
即.
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，
所以直线的方程是.
综上，所求直线的方程为或.
20．（12分）（2022·山东·高一阶段练习）已知直线和直线，试确定的值，使得：
(1)与相交；
(2)与平行，并求出两条直线的距离；
(3)与垂直，并求出点关于与垂足的对称点D.
【解题思路】（1）根据是否为0,分情况讨论即可；
（2）由两直线平行得斜率相等，再通过平行线距离公式即可求解；
（3）根据是否为0,分情况讨论，得之后，先求出两直线垂足坐标，再根据中点公式即可求解.
【解答过程】（1）
当时，，，此时两直线相交，符合题意；
当时，要使与相交，则有，解得：，
综上，.
（2）
当时，由（1）知，两直线显然不平行，所以，
要使与平行，则有，解得.
此时：：， ，
所以两直线的距离.
（3）
当时，，，此时两直线垂直，符合题意；
当时，要使与垂直，则有，无解，综上.
此时与的垂足为()，而
设对称点D，根据中点公式有：解得：
所以点的坐标是.
21．（12分）（2022·四川·高二开学考试（文））已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点.
(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程.
【解题思路】（1）利用圆和直线相切的关系求出圆的半径即可求解；(2)首先当直线斜率不存在时，求出弦长，满足题意；当直线斜率存在时设出直线的方程，利用圆的弦长公式求出，然后利用点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】（1）
∵圆与直线相切，
所以到直线的距离，
故圆的方程为：.
（2）
①当直线与轴垂直时，易知直线的方程为：，
此时，圆心到直线的距离为1，
从而弦长，满足题意；
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
连接，则，
，所以，
从而，得，
故直线的方程：.
综上所述，直线的方程为：或.
22．（12分）（2022·辽宁·高二阶段练习）已知圆，圆.
(1)求圆与圆的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
【解题思路】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，
（2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.
【解答过程】（1）
将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即，化简得，
所以圆的圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以公共弦长为.
（2）
解法一：
设过两圆的交点的圆为，
则；
由圆心在直线上，则，解得，
所求圆的方程为，即.
解法二：
由（1）得，代入圆，
化简可得，解得；
当时，；当时，；
设所求圆的圆心坐标为，
则，解得；
所以；
所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为.
