宜川中学2023学年第一学期高一年级数学期末
2024.01
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 设集合，集合，则 ；
2. 不等式的解集为 ；
3. 若，则 ；
4. 已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为 .
5. 历史上著名的狄利克雷函数那么 .
6. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，且，则实数n的值为 .
7. 已知函数的图像关于点P中心对称，则点P的坐标是 .
8. 已知是第三象限角，则= .
9. 已知的则实数m的值为 .
10. 已知函数且则实数m的取值范围是 .
11.已知函数的值域为，则实数m的取值范围是 .
12.已知函数的表达式分别为
设现有如下四个命题：
①对任意实数都有 ②存在实数都有
③存在实数都有④对任意实数使得其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）
二．选择题（共18分 第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ）
B. C. D.
某家庭购买了一套三居室的房子，需要对三居室进行粉刷，粉刷方案要求:每个居室只用一种颜色，且三个居室各不相同，已知三个居室的粉刷面积（单位：）分别为三种颜色涂料的粉刷费用（单位：分别为在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A. B. C. D.
下列命题中，真命题为（ ）
若点；
同时满足有且仅有一个；
如果角是第二象限的角；
存在函数满足对任意都有（ ）
B.
C. D.
三．解答题（本题共5大题，满分78分 ）
17. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知集合
（1）若求
（2）若充分非必要条件，求实数a的取值范围.
18.（本大题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在，内角A,B,C所对边的边长分别为，且
（1）若求A和外接圆半径R的值.
（2）若的面积为，求
19．（本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元.
（1）设半圆的半径(米)，试建立塑胶跑道面积与的函数关系式；
（2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低 （精确到元）.
20．（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题8分）
已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义给出证明；
（2）解不等式；
（3）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．
21.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题8分）
如果实数x、y∈[0，2π]，且满足，则称x、y为“余弦相关”的．
（1）若，请求出所有与之“余弦相关”的实数y；
（2）若两数x、y为“余弦相关”的，求证：；
（3）若不相等的两数为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数z∈[0，2π]，使得为“余弦相关”的，也为“余弦相关”的．
宜川中学2023学年第一学期高一年级数学期末
2024.01
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 设集合，集合，则 ；
【答案】{1，2，3，4}
2. 不等式的解集为 ；
【答案】
3. 若，则 ；
【答案】
4. 已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为 .
【答案】
5. 历史上著名的狄利克雷函数那么 .
【答案】1
6. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，且，则实数n的值为 .
【答案】5
7. 已知函数的图像关于点P中心对称，则点P的坐标是 .
【答案】
8. 已知是第三象限角，则= .
【答案】
9. 已知的则实数m的值为 .
【答案】45
10. 已知函数且则实数m的取值范围是 .
【答案】
11.已知函数的值域为，则实数m的取值范围是 .
【答案】[1,2)
分析：在同一坐标系中，作出两段函数的完整图像，左右移动直线即可.
12.已知函数的表达式分别为
设现有如下四个命题：
①对任意实数都有 ②存在实数都有
③存在实数都有④对任意实数使得其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）
【答案】②③
【解析】①此时取错误；
②取； ③取
④对于P=Q,则，即
令取则
故只要，故④错误，故答案为②③
二．选择题（共18分 第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ）
B. C. D.
【答案】B
某家庭购买了一套三居室的房子，需要对三居室进行粉刷，粉刷方案要求:每个居室只用一种颜色，且三个居室各不相同，已知三个居室的粉刷面积（单位：）分别为三种颜色涂料的粉刷费用（单位：分别为在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
下列命题中，真命题为（ ）
若点；
同时满足有且仅有一个；
如果角是第二象限的角；
【答案】D
存在函数满足对任意都有（ ）
B.
C. D.
【答案】C
三．解答题（本题共5大题，满分78分 ）
17. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知集合
（1）若求
（2）若充分非必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）若a＝2，则集合
，故．
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分非必要条件，∴B是A的真子集．
而集合
18.（本大题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在，内角A,B,C所对边的边长分别为，且
若求A和外接圆半径R的值.
若的面积为，求
【答案】（1）A＝． R＝5． （2）c＝4或．
【解析】（1）若，则B，故sinB＝＝，
由于，由正弦定理得：，解得sinA＝，
由于a＜b，所以A，故A＝．
所以外接圆的半径，故R＝5．
（2）由于，所以，故．
当cosC＝时，，解得c＝4；
当时，，解得c＝．
所以c＝4或．
19．（本大题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元.
（1）设半圆的半径(米)，试建立塑胶跑道面积与的函数关系式；
（2）由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低 （精确到元）.
【答案】（1）
（2） 当r＝40时，运动场造价最低为626510元．
【解析】（1）塑胶跑道面积
S＝π[r2﹣（r﹣8）2]+8×＝+8πr﹣64π（0）；
（2）设运动场造价为y元；
y＝150×（+8πr﹣64π）+30×（10000﹣﹣8πr+64π）
＝300000+120（+8πr）﹣7680π；
∵r∈[30，40]；函数y是r的减函数，∴当r＝40时，运动场造价最低为626510元．
20．（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题8分）
已知函数．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义给出证明；
（2）解不等式：；
（3）若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）单调递增；证明见解析 （2） （3）{﹣3}∪（1，+∞）．
【解析】（1）根据题意，f（x）在R上单调递增；
证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
＝；
又由x1＜x2，则有，f（x1）＜f（x2）．故函数f（x）在R上单调递增；
（2）根据题意，函数f（x）＝2x﹣2﹣x．则， ，
又函数f（x）在R上单调递增，则有,故不等式的解集为．
（3）根据题意，若关于x的方程只有一个实根，
即方程有且只有一个实数解．
令t＝2x，则t＞0，问题转化为：方程有且只有一个正数根，
①当m＝1时，，不合题意，
②当m≠1时，（i）若Δ＝0，则m＝﹣3或，若m＝﹣3，则，符合题意；
若，则t＝﹣2，不合题意，
（ii）若Δ＞0，则m＜﹣3或，由题意，方程有一个正根和一个负根，
即，解得m＞1；
综上，实数m的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）．
21.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题8分）
如果实数x、y∈[0，2π]，且满足，则称x、y为“余弦相关”的．
（1）若，请求出所有与之“余弦相关”的实数y；
（2）若两数x、y为“余弦相关”的，求证：；
（3）若不相等的两数为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数z∈[0，2π]，使得为“余弦相关”的，也为“余弦相关”的．
【答案】（1），或2π﹣＝． （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）代入，则，故﹣siny＝cosy，
从而tany＝﹣1．又y∈[0，2π]，所以，或2π﹣＝．
（2）证明：已知x，y∈[0，2π]，且满足cos（x+y）＝cosx+cosy，先证明x+y≥π，
反证，若x+y＜π，则由余弦函数单调性可知cos（x+y）≤cosx，
从而cosy＝cos（x+y）﹣cosx≤0，故，同理．
两个不等式相加可知x+y≥π，与假设矛盾，故x+y≥π．
另一方面，易知2π﹣x，2π﹣y∈[0，2π]，
且cos（2π﹣x+2π﹣y）＝cos（x+y）＝cosx+cosy＝cos（2π﹣x）+cos（2π﹣y），
故2π﹣x，2π﹣y也是余弦相关的，
从而利用上面结论x+y≥π，类比得（2π﹣x）+（2π﹣y）≥π，即x+y≤3π．
（3）证明：先证存在性，
记z＝3π﹣x﹣y，由（2）可知z∈[0，2π]，而cos（x+z）＝cos（3π﹣y）＝﹣cosy，
且cosx+cosz＝cosx+cos（3π﹣x﹣y）＝cosx﹣cos（x+y）＝﹣cosy，
从而cos（x+z）＝cosx+cosz，故x，z为“余弦相关”的，
同理，y，z也为“余弦相关”的．
下证唯一性，
x，y，z中任意两个数都“余弦相关”的，代入检验易知x，y，z均不为0和π，
故x，y，z∈（0，2π），
注意到cos（x+z）＝cosx+cosz，cos（y+z）＝cosy+cosz，x≠y，
固定x，引入关于t的三角方程cos（t+x）＝cost+cosx，
移项cos（t+x）﹣cost＝cosx，和差化积，得，
进而sin（t+）＝，
其中∈（0，π），z和y为该方程在（0，2π）内两个不同的解，
利用函数f（t）＝sin（t+），t∈（0，2π）内的图像可知，z和y关于函数在（0，2π）内的一条对称轴对称，注意到t+∈（，2π+） （0，3π），
故对称轴可能是t＝﹣或﹣或，从而z+y＝π﹣x或3π﹣x或5π﹣x，
由（2），z+y∈[π，3π]，而x∈（0，2π），故π﹣x＜π，5π﹣x＞3π，
从而只能是z+y＝3π﹣x，即x＝3π﹣z﹣y．
