叙州区一中高2023级高一上期期末考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“ x＞0，都有x2﹣x+3≤0”的否定是（ ）
A. x＞0，使得x2﹣x+3≤0 B. x＞0，使得x2﹣x+3＞0
C. x＞0，都有x2﹣x+3＞0 D. x≤0，都有x2﹣x+3＞0
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C 若，则 D. 若，，则
11. 已知，，那么可能值为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减．则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. 图象的对称轴为 D. 若，则
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数，则__________．
14. 计算_____________．
15. 已知正数，满足，则最小值为___________．
16. 已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数的定义域为集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
19. 已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
20. 已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，求函数的单调递减区间．
21. 某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了平方米的矩形展位，展位由展示区（图中阴影部分）和过道（图中空白部分）两部分组成，其中展示区左右两侧过道宽度都为米，前方过道宽度为米.后期将对展位进行装修，其中展示区的装修费为元/平方米，过道的装修费为元/平方米.记展位靠墙的一条边长为米，整个展位的装修总费用为元.
（1）请写出装修总费用关于边长的表达式；
（2）如何设计展位的边长使得装修总费用最低 并求出最低费用.
22. 已知函数是偶函数．
（1）求值；
（2）设函数，判断在定义域内的单调性，并给出证明．叙州区一中高2023级高一上期期末考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合，然后用补集的定义即可求解
【详解】由可得，解得，
因为全集，所以，
所以.
故选：C.
2. 命题“ x＞0，都有x2﹣x+3≤0”的否定是（ ）
A. x＞0，使得x2﹣x+3≤0 B. x＞0，使得x2﹣x+3＞0
C. x＞0，都有x2﹣x+3＞0 D. x≤0，都有x2﹣x+3＞0
【答案】B
【解析】
【详解】命题都有的否定是：
使得
故选
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，
即，得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
5. 若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设扇形的半径为，则周长为，解得，再计算面积得到答案.
【详解】设扇形的半径为，则周长为，解得；
扇形的面积.
故选：C
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值求得正确答案.
【详解】，所以的定义域为，
，所以是奇函数，
图象关于原点对称，排除BD选项.
，排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
7. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.
【详解】由，得时，，即；
时，；，
.
故选：A.
8. 设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出的图象，结合对称性求得的取值范围.
【详解】或.
画出的图象如下图所示，
依题意有四个实数根，，，，且，
则，
，
，
函数在区间上递增，
，
所以，
即的取值范围是.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答.
【详解】对于A，函数的定义域为，，是偶函数，A不是；
对于B，函数的定义域为R，是奇函数，B是；
对于C，函数中，，解得，即的定义域为，
，是奇函数，C是；
对于D，函数的定义域为，，是奇函数，D是.
故选：BCD
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C 若，则 D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对A、B、D：根据不等式的性质结合作差法分析判断；对C：根据指数函数单调性分析判断.
【详解】对A：当时，若，则；
当时，则，A为假命题；
对B：∵，
若，则，
∴，即，B为真命题；
对C：∵在定义域内单调递增，
若，则，C为真命题；
对D：∵，
若，则，即，
当时，则；
当时，则；D为假命题.
故选：BC.
11. 已知，，那么的可能值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题干条件和同角三角函数的平方关系建立方程组，求出正弦和余弦，进而求出正切值.
【详解】因为①，又sin2α+cos2α=1②，
联立①②，解得或，
因为，所以或．
故选：BD
12. 已知定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减．则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. 图象的对称轴为 D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用偶函数性质得函数对称性可分析A项、C项，再运用函数的对称性及单调性可分析B项、D项.
【详解】∵为偶函数，
∴，
∴图象关于直线对称，故C项正确；
∴将代入得：，故A项错误；
将代入得：，
又∵在上单调递减，
∴，即：，故B项正确；
∵，图象关于直线对称，在上单调递减，
∴，即：，解得：.故D项正确.
故选：BCD.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据解析式可得，再求即可.
【详解】由题意知，
，，
所以.
故答案为：2.
14. 计算_____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案.
【详解】.
故答案为：.
15. 已知正数，满足，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】因为正数，满足，
则，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为
故答案为：
16. 已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数在R上单调递增，再利用单调性的定义求解.
【详解】因为定义域为函数在上单调递增，且，
所以函数在R上单调递增，
又，
所以，
又不等式等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数的定义域为集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A，从而利用集合的并集运算即可得解；
（2）由题意得到是的真子集，分别讨论和两种情况，根据集合的包含关系即得解.
【小问1详解】
因为，
所以，解得，所以，
当时，集合，
所以.
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，则是的真子集，
因为，
当时，，解得，符合题意；
当时，则（等号不同时成立），解得，
综上，，故的取值范围为.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）2.
【解析】
【分析】（1）（2）利用诱导公式及同角三角函数的商数关系计算即可.
小问1详解】
因为，所以.
；
【小问2详解】
.
19. 已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论，，当时，根据已知变形，当时，根据一元二次不等式解集与一元二次方程韦达定理列式即可解出答案；
（2）分类讨论，，当时，根据已知变形为，当时，根据已知得出一元二次不等式在上恒成立，即可列式解出答案.
【小问1详解】
当时，为，不满足题意；
当时，若的解集为，
即的两个解为与，
则，解得；
【小问2详解】
当时，为，在上恒成立，满足题意，
当时，的解集为，
即在上恒成立，
则，解得，
综上：，
故的取值范围.
20. 已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，求函数的单调递减区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据最值可求，根据周期可求，根据对称可得，即可求解解析式，
（2）根据平移和诱导公式得，进而根据整体法即可求解单调区间.
【小问1详解】
有题意可知,所以，又，此时，
由的图象关于直线对称可知，所以，
由于，故取，则，
故
【小问2详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数，
令,解得，
故的单调递减区间为
21. 某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了平方米的矩形展位，展位由展示区（图中阴影部分）和过道（图中空白部分）两部分组成，其中展示区左右两侧过道宽度都为米，前方过道宽度为米.后期将对展位进行装修，其中展示区的装修费为元/平方米，过道的装修费为元/平方米.记展位靠墙的一条边长为米，整个展位的装修总费用为元.
（1）请写出装修总费用关于边长的表达式；
（2）如何设计展位的边长使得装修总费用最低 并求出最低费用.
【答案】（1），其中
（2）当展位区域是边长为米的矩形区域时，装修费用最低为元
【解析】
【分析】（1）设展位靠墙的一边边长为米，则展示区靠墙的一边的边长为米，计算出展示区的面积，即可得出装修总费用关于边长的表达式；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件可得出结论.
【小问1详解】
解：设展位靠墙的一边边长为米，则展示区靠墙的一边的边长为米，
展示区另一边边长为米，由可得，
所以，
，
即，其中.
【小问2详解】
解：由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
因此，当展位区域是边长为米的矩形区域时，装修费用最小为元.
22. 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数，判断在定义域内的单调性，并给出证明．
【答案】（1）
（2）减函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；
（2）利用单调性的定义求解即可.
【小问1详解】
因为偶函数，且定义域为，
所以对于，，
即对恒成立，
所以恒成立，
因为不恒为零，所以.
【小问2详解】
由题知为减函数，
下证明：任取，且，
则，
因为，所以，故，即，
则，即，
所以在上为减函数.
