成都市2021级高三第一次诊断性检测数学（理科）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二项式设集合的展开式中x的系数为（ ）
A 1 B 3 C 5 D 15
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件求出展开式中x的系数就可得出选项。
【详细解答】==，由5-r=1解得r=4，二项式设集合的展开式中x的系数为=35=15，D正确，选D。
2、普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为1-2000，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽取的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为（ ）
A 52 B 82 C 162 D 252
【解析】
【考点】①系统抽样法定义与性质；②系统抽样法的基本方法。
【解题思路】根据系统抽样法的性质，运用系统抽样法的基本方法，结合问题条件求出从第三个号码段中抽出的号码就可得出选项。
【详细解答】=80，第一个号码段中随机抽取的号码是2， 从第三个号码段中抽出的号码为162，C正确，选C。
3、已知复数Z= （i为虚数单位），则Z的虚部为（ ）
A -1 B 1 C -i D i
【解析】
【考点】①复数定义与性质；②复数代数表示的基本方法；③复数运算法则和基本方法。
【解题思路】根据复数的性质和复数的代收表示方法，运用复数运算法则和基本方法，结合问题条件求出复数Z的代数表示式，从而求出复数Z虚部的值就可得出选项。
【详细解答】 Z=====-i，Z的虚部为-1，A正确，选A。
4、若数列{}满足=3，=2-n+1，++=（ ）
A 6 B 14 C 22 D 37
【解析】
【考点】①数列定义与性质；②数列递推公式定义与性质；③运用数列递推公式求数列项的值的基本方法。
【解答思路】根据数列和数列递推公式的性质，运用数列递推公式求数列项的值的基本方法，结合问题条件分别求出，，的值，从而求出++的值就可得出选项。
【详细解答】=3，=2-n+1，=23-1+1=6，=26-2+1=11，=211-3+1
=20，++=6+11+20=37，D正确，选D。
5、已知向量=（-1，），=（2，0），则cos<，>=（ ）
A B C - D -
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出cos<，>的值就可得出选项。
【详细解答】向量=（-1，），=（2，0），.=-2+0=-2，||==2， ||=
=2，.=||||cos<，>，cos<，>===- ，C正确，选C。
6、若实数x，y满足约束条件 2x-y≥0，则x+y的最小值为（ ）
A 0 B x-2y≤0， C D 1
【解析】 3x+y-1≥0，
【考点】①简单线性规划定义与性质；②确定二元一次不等式表示平面区域的基本方法；③确定二元一次不等式组表示可行域的基本方法；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据确定二元一次不等式表示平面区域和确定二元一次不等式组表示可行域的基本方法求出约束条件的可行域，运用求目标函数最优解的基本方法就可求出z=x+2y的最大值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，由
2x-y=0，解得：x=0，A（0，0），由 2x-y=0， B
x-2y=0， y=0， 3x+y-1=0， C
解得：x=，B（，），由x-2y=0，解得：x=， 0 A x
y=， 3x+ y-1=0， y=，C（，），
当目标函数z=x+y经过点A时，z=0+0=0， 当目标函数z=x+y经过点B时，
z =+=，,当目标函数z=x+y经过点C时，z=+=，0＜＜， x+y的最小值为0，A正确，选A。
7、已知函数f(x)的大致图像如图所示，则f(x)的解析式可以为（ ）
A f(x)= B f(x)= C f(x)= D f(x)=
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②指数函数定义与性质；③对数函数定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性，指数函数和对数函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合函数的大致图像对各选项的解析式进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+）与图像不符，A错误；对B，f(x)==，定义域为R，f(0)==0，f(-x)==-f(x)，函数f(x)是奇函数，图像关于原点对称，当x→+时，函数f(x)的图像与x轴无限逼近，函数 f(x)=的大致图像与已知图像吻合，B正确，选B。
已知平面，，，若=a，=b，，则“a//”是“a//b”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①直线平行平面定义与性质；②直线平行平面判定定理及运用；③直线平行平面性质定理及运用；④充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；⑤判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解答思路】根据直线平行平面和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，运用直线平行平面判定定理，性质定理与判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法判断“a//”是“a//b”所属的条件就可得出选项。
【详细解答】若a//，=a，a平面，=b，a//b，“a//”是“a//b”的充分条件；若a//b，=b，当直线a在平面内，或与平面相交时，都不能推出a//，“a//”不是“a//b”的必要条件，综上所述，“a//”是“a//b”的充分不必要条件，A正确，选A。
若a=ln(ln)，b=ln，c=-，则（ ）
A c
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】e<<，1
A -3 B - C D -3或
【解析】
【考点】①任意角三角函数定义与性质；②三角函数在各个象限的符号及运用；③同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用求三角函数在各个象限的符号和同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出tan的值就可得出选项。
【详细解答】（0，），sin=，2sin-4cos=，+
4cos=2，10+4cos+3=0，cos=-，或cos=-，
sin=，或sin=，当sin=，cos=-时，2sin-4cos=
+=，sin=，或sin=，tan==-3，A正确，选A。
若x[0，+），+ax+1≤恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A e B 2 C 1 D e-2
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②求函数导函数公式和基本方法；③运用函数导函数求函数最值的基本方法；④求解恒成立问题的基本方法。
【解题思路】根据求解恒成立问题的基本方法，结合问题条件得到a≤g(x)的表示式，运用求函数导函数公式和基本方法及运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数g(x）的最小值，从而求出实数a的取值范围并求出实数a的最大值就可得出选项。
【详细解答】x[0，+），+ax+1≤恒成立，x[0，+），a≤-x-恒成立，设函数g(x）=-x-，（x）=-1+=，令（x）
=0解得：x=1，x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0，函数g(x）在（0，1）时单调递减，在（1，+）上单调递增，当x[0，+）时，= g(1)
=e-1-1=e-2，若x[0，+），+ax+1≤恒成立，则实数a的取值范围是（-，e-2]，即实数a最大值为e-2，D正确，选D。
12、已知圆C：+-4y-4=0经过椭圆：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，，圆C和椭圆在第二象限的交点为N，.=16-24，则椭圆的离心率为（ ）
A B C D
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②圆定义与性质；③平面向量数量积定义与性质；④求椭圆离心率的基本方法。
【解答思路】设N（，）（<0，>0），根据椭圆和圆的性质，结合问题条件得到焦点（-2，0），（2，0），从而得到，关于b的表示式，运用平面向量数量积的性质得到关于b的方程，求解方程求出b，a的值，利用椭圆离心率公式求出椭圆的离心率就可得出选项。 y
【详细解答】设N（，）（<0，>0），如图，
圆C：+-4y-4=0经过椭圆：+=1 N
（a＞b＞0）的两个焦点，，+0-0-4=0，
（-2，0），（2，0），圆C和椭圆在第二象限的交点为N，+-44
=0①，+=1②，=（-2-，）,=（2-，）,.=16-24，+=16-20③，联立①②③解得：=-4，=4-2，=8，a=2，
椭圆的离心率为 e===，C正确，选C。
第II卷（非选择题，共90分）
二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上。
13、设集合A={x||x|<2}，B={x| y=lgx}，则A B= 。
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②表示集合的基本方法；③求解绝对值不等式的基本方法；
④对数定义与性质；⑤求两个集合交集的基本方法。
【解题思路】根据表示集合的基本方法，集合和对数的性质，运用求解绝对值不等式和两个集合交集运算的基本方法，化简集合A，B，就可求出A B的集合。
【详细解答】集合A={x||x|<2}={x|-2
【解析】
【考点】①函数在某点的导数定义与性质；②求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解答思路】根据函数在某点的导数线的性质，运用求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件求出曲线f(x)=++1在点（1，f(1)）处的切线方程。
【详细解答】（x）=3+2x，（1）=3+2=5，f(1)=1+1+1=3，曲线f(x)=++1在点（1，f(1)）处的切线方程为y-3=5(x-1)，即5x-y-2=0。
15、记为等差数列{}的前n项和，若=14，且，，成等比数列，则的值为 。
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质；②等差数列通项公式及运用；③等差数列前n项和公式及运用；④求等差数列通项公式的基本方法。
【解答思路】根据等差数列的性质，运用等差数列通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于等差数列{}的首项和公差的方程组，求解方程组求出等差数列{}的首项和公差的值，从而求出首项和公差的通项公式就可求出的值。
【详细解答】设等差数列{}的首项为，公差为d，=14，且，，成等比数列，7+21d=14①，=（+2d）（+5d）②，联立①②解得：=2，d=0，或=-1，d=1，=2或=n-2，=2，或=2024-2=2022。
16、已知高S=2，底面半径A=4的圆锥内接于球O，则经过S和A中点的平面截球O所得截面面积的最小值为 。
【解析】
【考点】①圆锥定义与性质；②球定义与性质； ③球的表面积高三及运用；④棱锥体积公式及运用。
【解题思路】根据圆锥和球的性质，结合问题条件求出R的值，从而求出SC的值，求出以SC为直径，且垂直与球O直径的圆的面积，就可求出经过S和A中点的平面截球O所得
截面面积的最小值。 S
【详细解答】如图，设球的球心为O，半径为R，延长
AB交圆于点C，连接OC，OA，在RtOA中， A
OA=R，O=R-2，A=4，=16+，
R=5，SC==5， 以SC为直径，且垂直
于球O直径的圆的面积为SC = 50 = ，
经过S和A中点的平面截球O所得截面面积的最小值为。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
如图，已知正四棱柱ABCD-中，M为A的中点，AB=2，A=4。
（1）求证：M平面BDM；
（2）求二面角-BD-M的余弦值。
【解析】
【考点】①正四棱柱定义与性质；②勾股定理逆定理及运用；③直线垂直平面判定定理及运用；④建立空间直角坐标系的基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据正四棱柱的性质，运用勾股定理逆定理，结合问题条件证明MBM，MDM，利用直线垂直平面判定定理就可证明M平面BDM；（2）如图，根据建立空间直角坐标系的基本方法，以D为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，结合问题条件得到点A，B，D，M，，的坐标，从而得到，，运用求平面法向量的基本方法，求出平面BD的法向量，由（1）知向量是平面BDM的一个法向量，利用二面角余弦值的基本方法就可求出二面角-BD-M的余弦值。
【详细解答】（1）证明：如图，ABCD- 是正四棱柱，M为A的中点，AB=2，A=4，AM=M=2，BM=DM==2，M==2，B=D==2，BM+M=8+12=20=B，DM+M=8+12=20
=D，BMM，DM M，BM，DM平面BDM，BMDM=M，M平面BDM；（2）如图，DA DC，DAD，DCD， 以D为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），(2，0，4），(0，2，4），M(2，0，2），=(2，2，0），=(0，2，4），=(2，0，2），设平面BM的法向量为 =（x，y，z），由 ， .=2x+2y+0=0①，， .=-0+2y+4z=0②，联立①②解得：x=2，y=-2，z=1，=（2，-2，1），设平面BDM的一个法向量为=（，，），， .=2+2+0=0③，， .=2+0+2=0④，联立③④解得：=-1，=1，=1，=（-1，1，1），cos<，>
===-，二面角-BD-M是锐角，二面角-BD-M的余弦值为。
（本小题满分12分）
某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：
男生 女生 总计
参加篮球模块课程人数 60 20 80
参加羽毛球模块课程人数 40 80 120
总计 100 100 200
根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；
根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块
化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，记这俩人中来自篮球模块化课程的人数为X，求X的分布列和期望。
附：=，P（≥） 0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
【解析】
【考点】①列联表定义与性质；②随机变量定义与性质；③独立性检验的基本方法；④求随机变量概率分布的基本方法；⑤随机变量数学期望定义与性质；⑥求随机变量数学期望的基本方法。
【解题思路】（1）根据列联表的性质，运用独立性检验的基本方法，结合问题条件求出的值就可得出是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；（2）根据随机变量分布列，数学期望的性质，运用求随机变量分布列，数学期望的基本方法就可求出随机变量X的分布列与数学期望。
【详细解答】（1）===33.33333.333>10.828，有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；（2）这6名学生中有3名学生是来自篮球模块化课程的，随机变量X的可能取值为0，1，2， p(X=0)= = ，p(X=1) = X 0 1 2
= ，p(X=2)== ，随机变量X的 p
分布列如表所示，随机变量X的数学期望为EX=0+1+2=1。
19、（本小题满分12分）
已知函数f(x)=2sinxcosx+2cosx-1，在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足f(A)=1。
（1）求A的值；
（2）若b=1，求2+bc的取值范围。
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数辅助角公式及运用；③三角形正弦定理及运用；④三角形余弦定理及运用；⑤三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据三角函数二倍角和辅助角公式，结合问题条件得到函数f(x)正弦型三角函数的表示式，就可求出A的值；（2）根据三角形余弦定理，结合已知条件求出c关于a的表示式，从而求出b，c的值，运用三角形面积公式就可求出ABC的面。
【详细解答】（1）函数f(x)=2sinxcosx+2cosx-1=sin2x+cos2x=2sin(2x+)，
f(A)=2sin(2A+)=1，sin(2A+)=，2A+=2k+，或2A+=2k+，
A=k，或A=k+（kZ），ABC是锐角三角形，A=；（2）b=1，A=，=1+-2c=-c+1，2+bc=2-2c+2+c=2-c+2，0
=8，2+bc的取值范围是（2，8）。
20、（本小题满分12分）
已知抛物线C：=4x的焦点为F。
（1）已知过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆与直线x=-1相切；
（2）若直线：y=x+m交抛物线C于P，Q两点，当PQF的面积为2时，求直线的方程。
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②判断直线与圆位置关系的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）如图，分别过点A，B，作AC垂直直线x=-1于点C，BD垂直直线x=-1于点D，取AB的中点E，作EG垂直直线x=-1于点G，证明以AB为直径的圆与直线x=-1相切，只需证明EG=AB即可；（2）设P（，），Q（，），联立直线与抛物线C的方程，得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，得到+，.关于m的表示式，运用弦长公式，点到直线的距离公式和三角形面积公式，结合问题条件得到关系m的方程，求解方程求出m的值就可求出直线的方程。
【详细解答】（1）如图，分别过点A，B，作AC垂直 C y A
直线x=-1于点C，BD垂直直线x=-1于点D，取AB的中 G E
点E，作EG垂直直线x=-1于点G，=4x的焦点为F， D 0 B F x
|FA|=|AC|，|FB|=|BD|，点E是AB的中点，EG=（|AC|+|BD|）=（|FA|+|FB|）|AB|，
即以AB为直径的圆与直线x=-1相切；（2）设P（，），Q（，），联立直线
与抛物线C的方程得：，直线AB过焦点（1，0），直线AB的方程为x=my+1，联立直线AB和椭圆C的方程得：+（2m-4）x+=0， +=4-2m，.=，|PQ|==4，=.=，
=|PQ|=2|1+m|=2，P，Q是不同两点，.=16-16m.+4-4=16(1-m)>0，
m<1，（+2m+1）(1-m)=1，解之得：m=0或m=，直线的方程的方程为x-y=0，或x-y+=0，或x-y-=0。
21、（本小题满分12分）
已知函数f(x)=2-ax，aR。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a=e时，求证：f(x)>e（1-cosx）。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②参数分类讨论的原则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数（x），运用参数分类讨论的原则与基本方法和运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，就可得出函数f(x)的单调性；（2）根据不等式f(x) axcosx在区间（0，+）上恒成立， sinx- 2ax- axcosx0在区间（0，+）上恒成立，- ax0在区间（0，+）上恒成立，设函数g(x)= - ax，运用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数g(x)= - ax在区间（0，+）上的最大值就可得出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）（x）=2-a，①当a≤0时， （x）>0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；②当a>0时，令（x）=0解得：x=ln，x（-，ln）时，（x）<0，x（ln，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，ln）上单调递减，在（ln，+）上单调递增，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增；当a>0时，函数f(x)在（-，ln）上单调递减，在（ln，+）上单调递增；（2）证明：当a=e时不等式f(x) >e（1-cosx）, 2-ex>e（1-cosx）,2>x-cosx+1,①当x（-，
0]时，2>0，g(x)≤0恒成立，2>x-cosx+1成立；②x（0，+）时，2>x
-cosx+1,2-x+cosx-1>0,设g(x) =2-x+cosx-1，（x）=2-1-sinx≥0恒成立，函数g(x)在（0，+）上单调递增， >g(0)=-0+1-1=>0，g(x)>0在（0，+）上恒成立，2>x-cosx+1成立，综上所述，2>x-cosx+1在R上恒成立，即当a=e时，f(x)>e（1-cosx）。
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22、（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为：x=2+tcos( t为参数)，0<<，
y=t sin，以坐标原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为cos2=2。
（1）当=时，求直线的普通方程；
（2）设点P（2，0），若直线交曲线上于A，B两点，且|PA|.||PB|=4，求的值。
【解析】
【考点】①参数方程化普通方程的基本方法；②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法；③直线与曲线位置关系及运用。
【解题思路】（1）根据参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件就可求出直线的普通方程；（2）根据极坐标方程化直角坐标方程的基本方法，得到曲线的直角坐标方程，联立直线的参数方程和曲线的直角坐标方程得到关于参数t的一元二次方程，运用直线方程参数t的几何意义和设而不求，整体代入的数学思想得到关于的方程，求解方程就可求出的值。
【详细解答】（1）当=时，直线的参数方程为：x=2+t( t为参数)，直线的
y= t，普通方程为y=x
-2；（2）当x=2时，y=2-2=0，点P（2，0），在直线上，曲线的极坐标方程为cos2=2，曲线的直角坐标方程为+=2，联立直线的参数方程和曲线的直角坐标方程得cos2+4tcos+2=0，设，是方程cos2+4tcos+2=0的两个根，+=-， .=，|PA|.|PB|=|.|=||=4，cos
=，或cos=，0<<，cos=，或cos=，即=，或=。
23、（本小题满分10分）
已知函数f(x)=|2x-a|+|x+1|，aR。
当a=4时，求不等式f(x)≥7的解集；
若f(x)>2a，求a的取值范围。
【解析】
【考点】①绝对值定义与性质；②求解绝对值不等式的基本方法；③参数分类讨论的原则和基本方法；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据绝对值的性质，运用求解绝对值不等式的基本方法，结合问题条件就可求出当a=4时，求不等式f(x)≥7的解集；（2）根据参数分类讨论的原则和基本方法，分别得到a关于x的不等式，利用求函数最值的基本方法就可求出a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=4时，不等式f(x)≥7，|2x-4|+|x+1|≥7，①当x<-1时，|2x-4|+|x+1|≥7，-3x+3≥7，解之得：x≤-；②当-1≤x<2时，|2x-4|+|x+1|≥7，-x+5≥7，此时不等式无解；③当x≥2时，|2x-4|+|x+1|≥7，3x-3≥7，解之得：x≥，综上所述，当a=4时，求不等式f(x)≥7的解集为（-，-][，+）；（2）不等式f(x)>2a，|2x-a|+|x+1|>2a，①当a<0时，不等式|2x-a|+|x+1|>2a显然成立；②当a≥0时，x<-1时，|2x-a|+|x+1|>2a，
-3x-1>a，函数g(x)=-3x-1在在（-，-1）上单调递减， >g(-1)=3-1=2，0≤a≤2；
-1≤x<时，|2x-a|+|x+1|>2a，-x+1>a，函数g(x)=--x+1在在[-1，）上单调递减， >g()=-+1>a，0≤a<；，x≥时，|2x-a|+|x+1|>2a，x+>a，函数g(x)=3x+在在[，+）上单调递增， =g()=+1
0 x
C
B
O
