2023-2024年福建新高考高二（上）数学期末模拟卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知直线，则直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【答案】
【详解】设直线的倾斜角为，，．
则，
．
故选：．
2．（5分）已知点为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则 )
A． B． C．1 D．3
【答案】
【详解】因为点为椭圆上的一点，所以，
因为，所以．
故选：．
3．（5分）已知直线过点，方向向量为，则原点到的距离为
A．1 B． C． D．3
【答案】
【详解】根据题意，点，则，则，
设向量与的夹角为，则向量在向量上的射影为，
则原点到的距离；
故选：．
4．（5分）已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】
【详解】圆的圆心，半径为3，，
圆的圆心，半径为1，
圆与圆，若与有且仅有一条公切线，
说明两个圆内切，
可得：，解得．
故选：．
5．（5分）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点离地面，点到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以为圆心，以为半径的圆上，则管柱的高度为
A． B． C． D．
【答案】
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，
设抛物线的方程为，
因为点，
所以，解得，
所以抛物线方程为，
点在抛物线上，
所以，
解得，
所以，
所以管柱的高度为．
故选：．
6．（5分）记是各项均为正数的数列的前项和，．数列满足，且，则下列选项错误的是
A．
B．
C．数列的最大项为
D．
【答案】
【详解】由与，得，又，
所以，即．
因为，所以，，所以，
又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
则，所以，
当时，，也符合，
，选项正确；
，选项正确；
设，，当时，解得，
数列的最大项为，选项错误；
，选项正确．
故选：．
7．（5分）初中时通常把反比例函数的图象叫做双曲线，它的图象就是在圆锥曲线定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同．当时只需把反比例函数的图象绕着原点顺时针旋转，便得到焦点在轴的双曲线的图形．所以也可以理解反比例函数的图象是以轴，轴为渐近线，以直线为实轴的等轴双曲线，那么当时，双曲线的焦距为
A．8 B．4 C． D．
【答案】
【详解】函数的图象关于对称，且以轴和轴为渐近线．
同时求得函数与的交点坐标为和．
他们与原点的距离为．
同时可知直线与轴成的角，
反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后，得到的双曲线的焦点在轴上，
且以和为渐近线，
且顶点坐标为，和，
所以，所以该双曲线的焦距为：．
故选：．
8．（5分）已知数列为等差数列，为其前项和，，则
A．2 B．7 C．14 D．28
【答案】
【详解】，
．
则．
故选：．
二．多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）已知直线，直线，则下列命题正确的有
A．直线恒过点
B．直线的方向向量为，则
C．若，则
D．若，则
【答案】
【详解】把代入直线的方程，等式不成立，选项错误；
直线的方向向量为，则直线斜率，得，选项正确；
直线方向向量为，直线的方向向量为，若，则有，解得，
当时，与重合，选项错误；
若，则有，即，选项正确．
故选：．
10．（5分）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是
A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是
D．的周长不存在最大值
【答案】
【详解】由题意得半圆的方程为，
设椭圆的方程为，
，
，
椭圆的方程为，
对于，椭圆的离心率是，故正确，
对于，当时，；当时，，
所以线段长度的取值范围是，故错误，
对于，由题得面积，
设，，
，
，
设，，
，
，
，
，当且仅当时等号成立，故正确，
对于，的周长，
令，
易知函数在上单调递减，
所以当时，的周长最大，但是不能取零，
所以的周长没有最大值，故正确．
故选：．
11．（5分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱，分别交于点，，，可能共线），则下列说法中正确的是
A．存在点，使得
B．线段长度的取值范围是，
C．四棱锥的体积为2时，点只能与点重合
D．设截面，，的面积分别为，，，则的最小值为4
【答案】
【详解】如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，1，，，0，，，2，，，0，，
设点，2，，，0，，其中，．
由于，，
满足题意时，解得，不合题意，选项错误；
设，其中，，
即，0，，1，，2，，即，整理可得，
，则，所以，，选项正确；
，
其中，则，
又，故，
即，故点只能与点重合，选项正确；
，，
则点到直线的距离为，
，则点到直线的距离：
，
所以，，
故，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为4，选项正确．
故选：．
12．（5分）抛物线的光学性质为：从焦点发出的光线经过抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点处的切线．已知抛物线上任意一点，处的切线为，直线交抛物线于，，，，抛物线在，两点处的切线相交于点．下列说法正确的是
A．直线方程为
B．记弦中点为，则平行轴或与轴重合
C．切线与轴的交点恰在以为直径的圆上
D．
【答案】
【详解】设直线的方程为，，与抛物线联立得，
必有△，，，
，，代回方程整理得：，故错误；
抛物线在点处的切线切线，在两点处的切线，
设点，，则满足方程组，
则可知，，，是一元二次方程的两组解，
由经过两点，的直线有且仅有一条，故方程为，变形为，
又直线方程为，
两式对应系数得，，所以平行轴或与轴重合，故正确；
如图，记切线与轴的交点，，，
，，
所以，，，四点共圆，且为直径，故正确；
如图，记切线与轴的交点为，过作轴平行线，由抛物线光学性质，，
由等腰、直角、，，，四点共圆（对同弦圆周角相等），可得如图五个角相等；同理，五个角相等．
则，，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知直线经过点，其纵截距为正，且纵截距比横截距大1，则直线的方程为 ．
【答案】
【详解】由题意知，直线的斜率存在，
由题意设直线的方程为，
将代入直线方程，可得，
解得或（舍去），
所以直线的方程为，即．
故答案为：．
14．（5分）已知数列满足，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】，，，，
由累加得，
所以，
，
在上单调递减，在上单调递增，
在，上单调递减，在，上单调递增，且，
或5时最小，时，；时，，
所以的最小值为．
故答案为：．
15．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是 ．
【答案】
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，1，，
可得，
设，，，，，，，则，
可得，即，
故，0，，
同理可得：，，，
则，
当且仅当时，等号成立，
对，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当，即时等号成立，
即直线与之间的距离是．
故答案为：．
16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，△的面积为，，则椭圆的长轴长为 ．
【答案】7
【详解】是椭圆上的一点，，
又由余弦定理可得，
，，
△的面积为，，，
，，
，，
，，又，，
，．
故答案为：7．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知空间三点，0，，，1，，，0，，设，．
（1）若，且，求向量；
（2）求向量与向量的夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求实数的值．
【答案】（1），1，或，，；（2）或
【详解】（1）点，0，，，1，，，0，，
，，，
由，且，设，，，
，解得，
，1，或，，．
（2），1，，，0，，
，
，，
，．
（3），1，，，0，，
若与互相垂直，则，
，
即，
化简得，
解得或．
18．（12分）已知平行四边形的三个顶点坐标为，，．
（1）求所在的直线方程；
（2）求平行四边形的面积．
【答案】（1）；（2）16
【详解】（1）设，
，，，
则，，
为平行四边形，
，即，解得，
故点的坐标为，
即直线所在的直线方程为；
（2），，
则，即直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
又，
平行四边形的面积为．
19．（12分）在①，，成等比数列，②，③数列的前10项和为55这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
已知等差数列的前项和为，公差，且 _____．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前100项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】见解析
【详解】（1）若选①：由题意有，则，解得，又，
所以．
若选②：由得，解得，又，
所以．
若选③：，
由题意得，解得，又，
那么，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）得，
所以．
20．（12分）（1）已知圆与圆．证明圆与圆相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）求圆心既在第一象限又在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：圆的圆心为，半径为，
圆化为标准方程，
所以圆心为，半径为，
所以，
因为，
所以圆与圆相交．
由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，即，
所以两圆公共弦所在直线的方程为．
（2）设所求圆圆心为，，，半径为，
则圆心到直线的距离为，
由题意，可得，解得，，，
故所求圆的方程为．
21．（12分）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：正方形中，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
，且，又，
，又，
，
，又，，
又，，平面，
平面；
（2）如图，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，
，0，，，2，，，4，，设点，，，
，，，，4，，
，，，，，
设平面的法向量为，
，取，
又易知平面的法向量为，
，
，，
，解得或（舍，
存在一点，且．
22．（12分）已知椭圆左顶点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于、两点，当取得最大值时，求面积．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由已知，可得，
，即，
，
椭圆方程为．
（2）当直线与点轴重合时，点与点重合，此时，
，
当直线与轴不重合时，设直线的方程为，设，，，，
由得，显然△，
，，
，
，
，
取得最大值为，
此时，直线为，此时，，
，，2023-2024年福建新高考高二（上）数学期末模拟卷
考生注意：
1.本场考试时间120分钟，满分150分.
2. 作答前，考生在答题纸正面填姓名、考生号.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知直线，则直线的倾斜角为
A． B． C． D．
2．（5分）已知点为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则 )
A． B． C．1 D．3
3．（5分）已知直线过点，方向向量为，则原点到的距离为
A．1 B． C． D．3
4．（5分）已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为
A． B． C． D．
5．（5分）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点离地面，点到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以为圆心，以为半径的圆上，则管柱的高度为
A． B． C． D．
6．（5分）记是各项均为正数的数列的前项和，．数列满足，且，则下列选项错误的是
A．
B．
C．数列的最大项为
D．
7．（5分）初中时通常把反比例函数的图象叫做双曲线，它的图象就是在圆锥曲线定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同．当时只需把反比例函数的图象绕着原点顺时针旋转，便得到焦点在轴的双曲线的图形．所以也可以理解反比例函数的图象是以轴，轴为渐近线，以直线为实轴的等轴双曲线，那么当时，双曲线的焦距为
A．8 B．4 C． D．
8．（5分）已知数列为等差数列，为其前项和，，则
A．2 B．7 C．14 D．28
二．多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）已知直线，直线，则下列命题正确的有
A．直线恒过点
B．直线的方向向量为，则
C．若，则
D．若，则
10．（5分）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是
A．椭圆的离心率是
B．线段长度的取值范围是
C．面积的最大值是
D．的周长不存在最大值
11．（5分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱，分别交于点，，，可能共线），则下列说法中正确的是
A．存在点，使得
B．线段长度的取值范围是，
C．四棱锥的体积为2时，点只能与点重合
D．设截面，，的面积分别为，，，则的最小值为4
12．（5分）抛物线的光学性质为：从焦点发出的光线经过抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点处的切线．已知抛物线上任意一点，处的切线为，直线交抛物线于，，，，抛物线在，两点处的切线相交于点．下列说法正确的是
A．直线方程为
B．记弦中点为，则平行轴或与轴重合
C．切线与轴的交点恰在以为直径的圆上
D．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知直线经过点，其纵截距为正，且纵截距比横截距大1，则直线的方程为 ．
14．（5分）已知数列满足，，则的最小值为 ．
15．（5分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是 ．
16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，△的面积为，，则椭圆的长轴长为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知空间三点，0，，，1，，，0，，设，．
（1）若，且，求向量；
（2）求向量与向量的夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求实数的值．
18．（12分）已知平行四边形的三个顶点坐标为，，．
（1）求所在的直线方程；
（2）求平行四边形的面积．
19．（12分）在①，，成等比数列，②，③数列的前10项和为55这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
已知等差数列的前项和为，公差，且 _____．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前100项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）（1）已知圆与圆．证明圆与圆相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）求圆心既在第一象限又在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程．
21．（12分）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知椭圆左顶点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于、两点，当取得最大值时，求面积．2023-2024年福建新高考高二（上）数学期末模拟卷 19.（本小题满分 12分）
姓名
准考证号
考生注意：
1.本场考试时间 120分钟，满分 150分.
2. 作答前，考生在答题纸正面填写姓名、准考证号.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，
在草稿纸、试卷上作答一律不得分.
4.用 2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
第Ⅰ卷 选择题
一．选择题（1-8为单选题，9-12为多选题，每小题 5分，共 60分）
1. 5. 9 .
2. 6. 10. 18.（本小题满分 12分）
3. 7. 11.
4. 8. 12.
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题（共 4小题，满分 20分，每小题 5分）
13. 14.
15. 16.
三．解答题（共 6小题，满分 70分）
17.（本小题满分 10分）
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20.（本小题满分 12分） 21.（本小题满分 12分） 22.（本小题满分 12分）
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