2024届陕西省中职高考数学冲刺模拟卷
本试卷共三大题，共4页.满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.
答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上相应的位置上规范作答，在本卷上的作答一律无效.
一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均无分.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，
故选：A.
2.“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】充分性：若，则，故充分性成立；
必要性：若，则，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3.若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项，若，此时，A错误
B选项，若，满足，但此时，B错误；
C选项，若，此时，故C错误；
D.选项，因为在R上单调递增，，所以，D正确；
故选：D
4.某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（ ）
A．0.8元 B．0.5元
C．1元 D．1.1元
【答案】B
【解析】设杂志的价格降低了x个0.1元，
则此时价格为元，卖出万本，
设总销售收入为y万元，
则，
要使，即，即，解得，
当时，价格最低，为(元).
故选：B.
5.已知，且，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为，所以的终边可能在第二、三象限；
因为，所以的终边可能在第二、四象限.
要同时满足,，则为第二象限角.
故选：B.
6.要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】因为，
且，
所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
故选：C.
7.下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
故选：C.
8.已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（ ）
A．-23 B．-31 C．-33 D．-43
【答案】C
【解析】由等差数列知数列首项为，公差为，故数列通项为，
分别使取选项中的值，发现仅当时，，其它没有对应的n.
故选：C.
9.下列关于空间几何体的叙述，正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【答案】B
【解析】对于A，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱，而以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；
对于B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；
对于C，如图所示，若，，满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故C错误；
对于D，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台.若截面与底面不平行，则不是梭台，故D错误.
故选：B.
10.在核酸检测中，“10合1”混采检测是指将10个人的样本混合在一个采集管中进行检测．采集时，将采集管发放给10人中的第一个人．某同学参加“10合1”混采，他拿到采集管的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为某同学参加“10合1”混采，他在10人组中的位置是等可能的，
有10个位置可排，成为第一个人的可能性为，
所以他拿到采集管的概率为.
故选：D
11.已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足，
这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为，
所以该切线方程为，化为一般式得.
故选：B.
12.下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】D
【解析】对A：当时，，当且仅当，即时取等号，
但当时不成立，故A错误；
对B：，当且仅当，即取等号，
又因为，故B错误；
对C：当时，，当且仅当，即时取等号，
但当时不成立，故C错误；
对D：由题知，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：D
13.（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】，
故选：D.
14.在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】由正弦定理和可得.
因为所以，所以，
因为，所以为.
故选：A
15.设向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，所以.
故选：D
16.若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式的解集是：，
所以和是方程的两个实数根，
由，解得：，
故不等式，即为，
解不等式，得：，
所求不等式的解集是：.
故选：C．
17.在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与所成的角为 B．与所成的角为
C．与所成的角为 D．与所成的角为
【答案】A
【解析】
如图正方体中，设其棱长为1，
易知直线与直线平行，所以与所成的角即为与所成的角，
即为，而三角形为正三角形，所以，所以A正确；
同理与平行，与所成的角即为与所成角，即为，三角形为正三角形，所以，所以C错误；
因为，，，平面，平面，
所以平面，所以与所成的角即为，则B错误；
因为与平行，所以与所成角与与所成的角相等，
即为，三角形中，， ，
所以不为，则D错误；
故选：A
18.在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由，令可得各项系数之和为，
又各二项式系数之和为，因为，则，
解得或（舍去），所以，
故选：B
19.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．32
【答案】C
【解析】从到共有条最短路径，从到共有条路径，
故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.
故选：C
20.若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的两个焦点为，
由题意可得：则，即，
不妨设，则，解得，
可得，解得，
则，解得.
对于A：可知，则，故A错误；
对于B：因为，即，
可知，则，故B正确；
对于C：可知，则，故C错误；
对于D：可知，则，故D错误；
故选：B.
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
21. 已知是定义在上的奇函数，，则
【答案】
【解析】因为，
则.
故答案为：
22. 数在第一象限的图象如图所示，若，则 ．
【答案】
【解析】由幂函数的图象可得，函数在单调递增，且增长趋势越来越缓慢，
又由，则只有满足条件．
故答案为：
23. 已知直线与圆没有公共点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为方程表示圆，
所以，解得（负值舍去），
圆可化为，
所以圆心为，半径，
因为直线与圆没有公共点，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：.
24. 已知集合，若，则实数
【答案】0
【解析】若，则，而，不满足集合元素的互异性；
若，则，故，满足题设，
所以.
故答案为：0
25. 已知双曲线的方程为,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】为双曲线方程,
解得或
的取值范围是.
故答案为：
26. 杭州2022年第19届亚运会会徽（图1）象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手 紧密相拥 永远向前.图2是会徽抽象出的几何图形.设的长度是的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，则 .
【答案】
【解析】设，则，，.
故答案为：
27. 已知实数x、y满足，则的最小值为
【答案】
【解析】，当且仅当，即时取等号，
所以目标式的最小值为.
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答题应写出文字说明及演算步骤.
28.(本小题7分)
【分析】由指数运算和对数运算的法则逐项求解即可；
【解析】原式.
29.（本小题8分）在中，．
(1)求；（4分）
(2)若，且的周长为，求的面积．（4分）
【分析】（1）根据二倍角公式，即可求得，从而解得.
（2）根据已知条件，结合余弦定理以及三角形的面积公式，即可求出的面积.
【解析】（1）由已知可得，因为，
可得，因为，因此.
（2）因为周长 ， ，所以 ①，
又因为，所以 ②，
由①②得，所以.
30.（本小题9分）已知直线与垂直,且经过点.
(1)求的方程;（4分）
(2)若与圆相交于两点,求.（5分）
【分析】（1）根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，利用直线与圆的弦长公式，即可求解.
【解析】（1）解：由直线，可得斜率，
因为，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）解：由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
又由圆的弦长公式，可得弦长.
31.（本小题9分）已知函数，且
(1)求常数的值；（4分）
(2)求使成立的实数的取值集合．（5分）
【分析】（1）根据正弦差角公式、余弦差角公式、辅助角公式化简函数并求值即可；
（2）根据题意并结合正弦函数图象相关知识列出不等式求解即可.
【解析】（1）
，所以
（2）由（1）知，，
由，即
所以，
所以，
所以，
则使成立的实数的取值集合为
32.（本小题9分）如图，四棱锥中，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且.
（1）证明:平面;（4分）
（2）求点到平面的距离.（5分）
【分析】（1）连接，分别证得和，利用线面垂直的判定，即可求解.
（2）利用等积法，即可求解.
【解析】（1）如图所示，连接，由是边长为的正方形，
因为是的中点，可得的中点，
在中，因为分别是的中点，可得，
又因为，所以，
又由，且，所以平面.
（2）如图所示，取中点，连接，
因为是边长为的等边三角形，所以且，
由（1）知平面平面，所以平面，
可得，
连接，则，所以，
又，
又，所以,
设点到平面的距离为，则，
即，解得.
33.（本小题10分）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；（5分）
(2)设，求数列的前n项和．（5分）
【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式；
（2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
【解析】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴
34.（本小题10分）2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，且已知每件产品的售价为20元且生产的该产品可以全部卖出.
(1)写出利润（万元）关于产量（万件）的函数解析式.（4分）
(2)该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？（6分）
【分析】（1）由销售额与成本费用之差，计算利润；
（2）利用配方法和函数的单调性，求最大值.
【解析】（1）当时，.
当时，.
所以
（2）当时，，
则当时，取得最大值，最大值为195；
当时，，且单调递减，
则当时，取得最大值，最大值为271.
综上，当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元.
35.（本小题10分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；（4分）
(2)已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程．（6分）
【分析】（1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程；
（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．
【解析】（1）由题可知，其中，所以,
又点在椭圆上，所以，即，解得，
所以椭圆E的方程为．
（2）由椭圆的方程，得，
所以，
设，其中，因为，
所以，
又点在椭圆上，所以，
联立方程组，得，
解得或（舍），
当时，，即或．
所以当的坐标为时，直线的方程为；
当的坐标为时，直线的方程为．
综上，直线的方程为或.2024届陕西省中职高考数学冲刺模拟卷
本试卷共三大题，共4页.满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.
答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上相应的位置上规范作答，在本卷上的作答一律无效.
一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均无分.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3.若且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4.某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（ ）
A．0.5元 B．0.8元
C．1元 D．1.1元
5.已知，且，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
6.要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7.下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
8.已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（ ）
A．-23 B．-31 C．-33 D．-43
9.下列关于空间几何体的叙述，正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台
10.在核酸检测中，“10合1”混采检测是指将10个人的样本混合在一个采集管中进行检测．采集时，将采集管发放给10人中的第一个人．某同学参加“10合1”混采，他拿到采集管的概率为（ ）
A． B． C． D．
11.已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
12.下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为
13.（ ）
A．1 B． C． D．
14.在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（ ）
A． B． C． D．或
15.设向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
16.若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
17.在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与所成的角为 B．与所成的角为
C．与所成的角为 D．与所成的角为
18.在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
19.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．32
20.若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
21. 已知是定义在上的奇函数，，则
22. 数在第一象限的图象如图所示，若，则 ．
23. 已知直线与圆没有公共点，则的取值范围是 .
24. 已知集合，若，则实数
25. 已知双曲线的方程为,则的取值范围是 .
26. 杭州2022年第19届亚运会会徽（图1）象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手 紧密相拥 永远向前.图2是会徽抽象出的几何图形.设的长度是的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，则 .
27. 已知实数x、y满足，则的最小值为
三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答题应写出文字说明及演算步骤.
28.(本小题7分)
29.（本小题8分）在中，．
(1)求；（4分）
(2)若，且的周长为，求的面积．（4分）
30.（本小题9分）已知直线与垂直,且经过点.
(1)求的方程;（4分）
(2)若与圆相交于两点,求.（5分）
31.（本小题9分）已知函数，且
(1)求常数的值；（4分）
(2)求使成立的实数的取值集合．（5分）
32.（本小题9分）如图，四棱锥中，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且.
（1）证明:平面;（4分）
（2）求点到平面的距离.（5分）
33.（本小题10分）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；（5分）
(2)设，求数列的前n项和．（5分）
34.（本小题10分）2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产万件产品，还需另外投入原料费及其他费用万元，且已知每件产品的售价为20元且生产的该产品可以全部卖出.
(1)写出利润（万元）关于产量（万件）的函数解析式.（4分）
(2)该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？（6分）
35.（本小题10分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；（4分）
(2)已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程．（6分）
