2023-2024学年浙江省杭州市八县区高二（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．（5分）设集合，，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣3＜x≤﹣1} B．{x|﹣3≤x≤﹣1} C．{x|x≤﹣1} D．{x|x＞﹣3}
2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝2，（i为虚数单位），则（ ）
A．|z|＝2
B．复数z的共轭复数为1﹣i
C．复数z的虚部为﹣i
D．复数z是方程x2﹣2x+2＝0的一个虚根
3．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PD＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，则BN与MC所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若将函数y＝sin（2x）的图象变为函数y＝sin（2x）的图象，则需将第一个函数的图象（ ）
A．向左移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
5．（5分）半衰期为衡量放射性物质变质速度的一个概念，其定义为当放射性物质的质量减少到原来的一半时所用的时间．以14C为例，其半衰期约为5730年，那么如原有1kg的14C在5730年后还剩下0.5kg14C．现从某废弃的核反应堆中取出一块含有1kg14C的石墨块，科学家预测其在20000年后能衰变到可接受的放射性强度（即14C少到可接受的程度），那么如果取出含有2kg14C的石墨块，（ ）年后该石墨块的放射性能衰变到可接受的放射性强度．
A．40000 B．25730 C．31460 D．30000
6．（5分）已知圆O：x2+y2＝4与圆C：x2+y2﹣4x+3＝0相交于A，B两点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知抛物线的焦点与椭圆的左焦点F1重合，点M为抛物线C1与椭圆C2的公共点，且MF1⊥x轴，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）函数的零点为x0，则不等式x﹣x0＞2的最小整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1，则（ ）
A．若m＝n＝4，则曲线C是圆，其半径为2
B．若m＞n＞0，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上
C．若曲线C过点（），（），则C是双曲线
D．若mn＝0，则曲线C不表示任何图形
（多选）10．（5分）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、…，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子系梁上，设事件A＝“表示的四位数能被3整除”，B＝“表示的四位数能被5整除”，则（ ）
A． B．
C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立
（多选）11．（5分）△ABC中，a＝4，b＝5，面积S＝5，则边c＝（ ）
A． B． C． D．
（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）为偶函数，且在[﹣2，+∞）上单调递减．则下列判断正确的是（ ）
A．f（﹣4）＞f（0）
B．f（﹣3）＞f（0）
C．f（x）图象的对称轴为x＝﹣2
D．若f（a）＞f（1），则﹣5＜a＜1
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知x＞y＞0，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
14．（5分）若，，则在方向上的投影向量是 ．（用坐标作答）
15．（5分）三棱锥D﹣ABC中，DC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝CD＝1，点P在三棱锥D﹣ABC外接球的球面上，且∠APC＝60°，则DP的最小值为 ．
16．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，M是双曲线C渐近线上一点，|MF1|＝2|MF2|，点N满足，且∠MF2N＝120°，则该双曲线的离心率等于 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）定义在R上的偶函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递增，函数f（x）的一个零点为，求满足f（logx）≥0的x的取值集合．
18．（12分）已知函数．从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，①f（x）在（a，b）上单调递增，则b﹣a的最大值为；②y＝f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点间的距离为；③y＝f（x）的对称轴间的最小距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）+2＝0在上的所有解的和．
19．（12分）根据空气质量指数（AQI，为整数）的不同．可将空气质量分级如表：
AQI [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300]
级别 一级 二级 三级 四级 五级（A） 五级（B）
现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQI数据（每个数据均不同），统计绘得频率分布直方图如图所示．
（1）请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数；
（2）若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级（B）”数据恰均被选中的概率；
（3）假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQI（记为ω）的关系式为
S
若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的概率．
20．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点D，E分别为AC，AA1的中点．
（Ⅰ）求点B1到平面BDE的距离；
（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣C1的余弦值．
21．（12分）（1）小张要做一个体积为96立方分米，高为6分米的长方体有盖纸盒，问纸盒的底面长和宽各为多少分米时，做纸盒用纸最少？此时用纸最少为多少平方分米？
（2）“劳动最光荣”．为丰富小李的课余生活，体验劳动带来的快乐，小李家开辟了一块一面靠墙的菜地，种植有机蔬菜．现准备用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园．已知墙长12米，则矩形的长和宽各为多少米时，所围成的菜园面积最大，此时菜园最大面积为多少平方米？
22．（12分）已知双曲线C1过点（4，）且与双曲线C2：1共渐近线，点P在双曲线C1上（不包含顶点）．
（1）求双曲线C1的标准方程；
（2）记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积．
2023-2024学年浙江省杭州市八县区高二（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：∵A＝{x|﹣3＜x≤0}，B＝{x|x≤﹣1}，
∴A∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣1}．
故选：A．
2．【解答】解：∵z（1+i）＝2，
∴，
对于A，|z|，故A错误，
对于B，复数z的共轭复数为1+i，故B错误，
对于C，复数z的虚部为﹣1，故C错误，
对于D，∵（1﹣i）2﹣2（1﹣i）+2＝0，
∴复数z是方程x2﹣2x+2＝0的一个虚根，故D正确．
故选：D．
3．【解答】解：如图，不妨设AD＝2，取PD的中点为Q，连接QN，QM，QC，
则QN∥CD∥MB，且QNCD＝MB，
故四边形MBNQ为平行四边形，
所以BN∥MQ，
则∠QMC即为所求异面直线BN与MC所成角．
在△QMC中，MC＝CQ，QM，
则cos∠QMC．
故选：D．
4．【解答】解：设将函数y＝sin（2x）的图象移动φ个单位变为函数y＝sin（2x）的图象，
则sin[2（x+φ）]＝sin（2x），即2x+2φ，解得φ（k∈Z），
结合选项可知，φ，
故需将第一个函数的图象左平移．
故选：A．
5．【解答】解：设放射性物质的衰变率为q，
∴，
∴，
放射性物质衰变的可以接受的质量为q2000＝[（]2000，
设n年后该石墨块的放射性能衰变到可接受的放射性强度，
则2×[（]n≤[（]2000，
∴，
所以n2000025730．
故选：B．
6．【解答】解：圆O：x2+y2＝4与圆C：x2+y2﹣4x+3＝0相交于A，B两点，
联立两圆的方程，有，相减可得直线AB：4x﹣7＝0，
所以O（0，0）到直线4x﹣7＝0的距离为，
利用圆O：x2+y2＝4与直线AB相交可得：，
所以．
故选：A．
7．【解答】解：抛物线的焦点与椭圆的左焦点F1重合，
在抛物线中M（，p），在椭圆中M（﹣c，），
故，可得b2＝2ac，
即a2﹣c2＝2ac，可得e2+2e﹣1＝0，解得e1，（舍）．
故选：C．
8．【解答】解：由x+lnx﹣5，
可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（3）＝ln3﹣2＜0，f（4）＝ln4﹣1＞0，
∴零点x0∈（3，4），则满足x＞x0+2的最小整数为6．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：对于A，若m＝n＝4，曲线C可化为x2+y2，其半径为，故A错误；
对于B，m＞n＞0时，曲线C可化为1，表示的是椭圆，而0，
所以其焦点在y轴上，故B正确；
对于C，将点（），（），代入曲线C：mx2+ny2＝1，
有 ，mn＜0，所以曲线C是双曲线，故C正确；
对于D，若m＝1，n＝0，满足条件，此时曲线C：x2＝1，表示两条直线，故D错误．
故选：BC．
10．【解答】解：现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，
基本事件总数n＝24＝16，
事件A包含的四位数有：1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6个，
选项A，P（A），正确；
事件B包含的基本事件有：1115，1155，1515，1555，5555，5115，5155，5515，共8个，
选项B， 错误；
选项C，事件A与B都包含的基本事件有：1155，1515，5115，故A与B不是互斥事件，C错误；
选项D，AB包含的基本事件有：1155，1515，5115，共3个，则P（AB）P（A）P（B），D正确．
故选：AD．
11．【解答】解：△ABC中，a＝4，b＝5，面积S＝5，
所以，
解得sinC，
即C，
当C时，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝16+25﹣20＝21，
解得c，
当C时，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝16+25+20＝61，
解得c．
故选：AB．
12．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x﹣2）为偶函数，则函数f（x）关于直线x＝﹣2对称，
由此分析选项：
对于A，函数f（x）关于直线x＝﹣2对称，则f（﹣4）＝f（0），A错误；
对于B，函数f（x）关于直线x＝﹣2对称，则f（﹣3）＝f（﹣1），而f（x）在[﹣2，+∞）上单调递减．则f（﹣1）＞f（0），故有f（﹣3）＞f（0），B正确；
对于C，函数f（x）关于直线x＝﹣2对称，C正确；
对于D，若f（a）＞f（1），则有|a+2|＜3，解可得﹣5＜a＜1，D正确；
故选：BCD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：由题意，不等式恒成立，
即，∵x＞y＞0，
∴，
当且仅当（x﹣y）2＝4y2时取等号，∴m2﹣2m+2≤5，
解得﹣1≤m≤3．
故答案为：[﹣1，3]．
14．【解答】解：在方向上的投影向量为．
故答案为：（﹣3，0）．
15．【解答】解：分别取AD、AC的中点O、M，连接OM、BM，则OM∥CD，
由题意知OM⊥平面ABC，所以OM⊥AC，OM⊥BM．
因为AB＝BC，所以BM⊥AC，即OM、BM、AC两两垂直，以O为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则O（0，0，0），，，，.，
所以Rt△ACD斜边，易知O为三棱锥D﹣ABC外接球球心，且半径，
设点p（x，y，z），则，，，
由题意，
整理得，可设，
所以，
所以|PD|．
故答案为：．
16．【解答】解：如图，
由足，得M，N关于原点对称，
又F1，F2关于原点对称，∴四边形MF1NF2为平行四边形，
∵∠MF2N＝120°，∴∠F1MF2＝60°，
又|MF1|＝2|MF2|，设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m，
∴，
可得，则MF2⊥F1F2，
则tan，
∴，即3b2＝4a2，得3（c2﹣a2）＝4a2，
解得：e（e＞1）．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：因为定义在R上的偶函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递增，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为f（）＝0，
所以f（）＝0，
由f（logx）≥0得，
解得，
故答案为：[，2]．
18．【解答】解：（1）∵，
，
选均①②③均表示T＝π，则ω＝2，即．
（2）因为f（x）+2＝0，即sin（2x），
令，
∵，
∴，
即，
时，，
相加之和为8π，即所有解的和为8π．
19．【解答】解：（1）依题意：该城市30天的AQI的平均数为：（25×2+75×5+125×9+175×7+225×4+275×3）÷30＝150；
（2）一级两个数据，即为P，Q，五级（B）有3个数据，记为B，C，D，从中任选两个，PQ，PC，PD，PE，QC，QD，QE，CD，CE，DE，共有10种可能，
一级和五级（B）数据恰均被选中有PC，PD，PE，QC，QD，QE，共有6种可能，
“一级”和“五级（B）”数据恰均被选中为事件M，
故P（M）．
（3）设本月的30天中随机抽取一天，该天的经济损失不超过600元为事件N，分两种情况，
①当0≤ω≤100时，S＝0，此时的概率为，
②当100＜ω≤600时，S≤600，得到100＜ω≤250时，此时的概率为，
综上所述互斥事件的概率P（N）．
这天的经济损失S不超过600元的概率为．
20．【解答】解：（Ⅰ）取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，
∵△ABC是等边三角形，∴BD⊥AC，
以D为原点，分别以DA，DB，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），B（0，，0），E（1，0，1），B1（0，，2），C1（﹣1，0，2），
∴（0，，0），（1，0，1），（0，0，2），
设平面BDE的法向量为（x1，y1，z1），则，即，
令z1＝1可得（﹣1，0，1），
∴点B1到平面BDE的距离为．
（Ⅱ）（1，，1），（﹣2，0，1），
设平面BEC1的法向量为（x2，y2，z2），则，即，
令x2＝1可得（1，，2），
∴cos，，
∴二面角D﹣BE﹣C1的余弦值为．
21．【解答】解：（1）设底面的长和宽各为x，ydm，
则6xy＝96，可得xy＝16．
∴长方体的表面积S＝2（6x+6y+xy）＝6（x+y）+32≥1232＝80，
当且仅当x＝y＝4时取等号．
答：当纸盒的底面长和宽均为4分米时，做纸盒用纸最少，最少为64平方分米；
（2）设矩形宽为xm，面积为Sm2，
根据题意，S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，
故当x＝5时，S最大，最大为50m2，
此时20﹣2x＝10＜12满足题意，
答：当矩形长为20米，宽为5米时，菜园面积最大，最大为50平方米．
22．【解答】解：（1）∵双曲线C1与双曲线C2：1共渐近线，
∴设双曲线C1的方程为λ，
又双曲线C1过点（4，），
∴λ＝4﹣1＝3，
∴双曲线C1的标准方程为1；
（2）设P（m，n），则由题意可得1，∴n2（m2﹣12），
又由（1）知双曲线C1的两顶点A（﹣2，0），B（2，0），
∴kPA kPB．
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