仁寿一中北校区 2022 级高二上期末考试数学试卷
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 直线 x 3y 3 0的倾斜角是（ ）
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
1 2
2. 某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别 , , p，已知每个人
2 3
7
投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为 ，则 p （ ）
8
1 1 1 2
A. B. C. D.
5 4 3 5
3. 已知向量 a 0,1,1 ，b 1,2,1 ，则b 在 a上的投影向量为（ ）
1 ,1, 1 0, 3 3
3 2 3 2 2 2
A. B. , C. 0, , D. , 2,
2 2
2 2 2 2 2 2
4. 若直线 l1 : y k x 2 与直线 l2关于点 1,2 对称，则直线 l2恒过的定点为（ ）
A. 4,0 B. 4,2 C. 4,4 D. 2, 4
5. 若等轴双曲线 C过点 1, 3 ，则双曲线 C的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
6. 已知空间直角坐标系中的点 P 1,1,1 ， A 1,0,1 ， B 0,1,0 ，则点 P到直线 AB的距离为（ ）
A. 6 B. 3 C. 3 D. 6
6 6 3 3
7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心
有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向
外每环依次增加 9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多 9块，向外每环
依次也增加 9 块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不
含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（ ）
A. 1125块 B. 1134块 C. 1143块 D. 1152块
8. 椭圆具有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点,已知椭圆
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C : x
2 y2
1(a b 0)，从一个焦点 F1发出的一条光线经椭圆C内壁上一点 P反射后经过另一个焦点a2 b2
F 32，若 F1PF2 60 ，且 PF1 a，则椭圆C的离心率为（ ）2
1
A. B. 3 C. 3 D. 7
2 2 4 4
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9. 已知 a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 2b a c是 a，b，c成等差数列的充要条件
B. b ac 是 a，b，c成等比数列的充要条件
1 1 1
C. 若 a，b，c成等比数列，则 ， ， 成等比数列
a b c
1 1 1
D. 若 a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等差数列
a b c
10. 下列说法中正确的是（ ）
2 2
A. 方程 x2 y2 2x 1 0 x y表示的曲线是圆 B. 椭圆 1的长轴长为 2，短轴长为 3
4 3
x2 y2 3 1
C. 双曲线 1的渐近线方程为 y x D. 抛物线 x 2y2的准线方程是 x
16 9 4 8
11. 如图，三棱柱 ABC - A1B1C1 是各条棱长均等于 1的正三棱柱，D,E ,F ,G
分别为CC1,CB, A1C1, A1B的中点，下列结论正确的是（ ）
A. GF //DE B. GF B1C
π
C. 异面直线GF 与 AA1所成角为 3
D. 42直线DE与平面 A1BC所成角的正弦值为
14
12．已知曲线C : y 4x x2 ，直线 l :mx y 2 2m 0 ，点 A为曲线 C上的动点，则下列说法正确的是
（ ）
A．直线 l恒过定点 (0, 2)
B．当m 1时，直线 l被曲线 C截得的弦长为 2 2
C 4．若直线 l与曲线 C有两个交点，则 m的范围为 ( , 1]
3
D．当m 1时，点 A到直线 l距离的最小值为3 2 2
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三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. 已知向量 a 2,1,5 ,b 1, 3,m ，且 a b，则 b __________．
14. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无
1
平局），乙每局比赛获胜的概率都为 ，则最后甲获胜的概率是___________．
3
15. 如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度 AB为 6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为 1米，旱
季时水位下降了 1米，则此时水面跨度增大到_________米．
16. 一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳
一格．记跳到第 n格可能有 an 种情况， an 的前 n项和为 Sn ，则 S8 ___________．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，解答应写出文
字说明证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S7 28， S15 120．
S
（1 n）求等差数列 an 的首项 a1和公差d ；（2）求证：数列 n 是等差数列，并求出其前 n项和Tn ．
18. 已知圆 C过点M ( 3,2)，圆心 C在直线 x y 3 0上，且圆 C与 x轴相切．
（1）求圆 C的标准方程；
（2）过点 P(2,3)的直线 l与圆 C相交于 A、B两点，若 ABC为直角三角形，求直线 l的方程．
19. 为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛．比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛
2
通过后将代表学校参加市级比赛．在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为 ，乙教师晋级决赛的概率为
3
a 1 1．若甲 乙能进入决赛，在决赛中甲 乙两人能胜出的概率分别为 和 ．假设甲 乙初赛是否晋级和在决
3 2
第 3页/共 4页
5
赛中能否胜出互不影响．（1）若甲 乙有且只有一人能晋级决赛的概率为 ，求 a的值；
12
（2）在（1）的条件下，求甲 乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率．
20. 世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美，譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．在 ABC中，
AB BC 2, ABC 120 ．将 ABC绕着 BC旋转到△DBC的位置，如图所示．
（1）求证：BC AD；（2）当三棱锥D ABC体积最大时，求平面 ABD和平面 BDC的夹角的余弦值．
21. 已知抛物线 E : x2 2py 的焦点 F 关于直线 l : 2x y 4 0的对称点Q恰在抛物线 E的准线上．
（1）求抛物线 E的方程；
（2）M 是抛物线 E上横坐标为 2的点，过点M 作互相垂直的两条直线分别交抛物线 E于 A,B两点，
证明：直线 AB恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
x2 y2
22. 已知双曲线 C： 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为 F 3,0 ，点 P 4, 15a b 在双曲线 C上．
（1）求双曲线 C的标准方程；（2）设 A、B分别为双曲线 C的左、右顶点，若过点 F的直线 l交双曲线 C
的右支于 M、N两点，设直线 AM、BN的斜率分别为 k1、 k2，是否存在实数λ使得 k1 k2？若存在，求
出λ的值；若不存在，请说明理由．
第 4页/共 4页仁寿一中北校区高二上期末考试数学试卷参考答案
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 直线 x 3y 3 0的倾斜角是（ ）A
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
1 2
2. 某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别 , , p，已知每个人
2 3
7
投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为 ，则 p （ ）B
8
1 1 1 2
A. B. C. D.
5 4 3 5
3. 已知向量 a 0,1,1 ，b 1,2,1 ，则b 在 a上的投影向量为（ ）B
1 1 3 3 ,1, 0, , 0, 3 2 , 3 2 2 2
A. B. C. D. , 2,2 2 2 2 2 2
2 2
4. 若直线 l1 : y k x 2 与直线 l2关于点 1,2 对称，则直线 l2恒过的定点为（ ）C
A. 4,0 B. 4,2 C. 4,4 D. 2, 4
5. 若等轴双曲线 C过点 1, 3 ，则双曲线 C的顶点到其渐近线的距离为（ ）A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
6. 已知空间直角坐标系中的点 P 1,1,1 ， A 1,0,1 ，B 0,1,0 ，则点 P到直线 AB的距离为（ ） D
A. 6 B. 3 C. 3 D. 6
6 6 3 3
7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有
一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环
依次增加 9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增
加 9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402
块，则中层共有扇面形石板（ ）B
A. 1125块 B. 1134块 C. 1143块 D. 1152块
8. 在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反
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x2 y2
射后必经过另焦点,已知椭圆C : 2 1(a b 0)，从一个焦点 F1发出的一条光线经椭圆C内壁上一a b2
3
点 P反射后经过另一个焦点 F2，若 F1PF2 60 ，且 PF1 a，则椭圆C的离心率为（ ）D2
1
A. B. 3 C. 3 D. 7
2 2 4 4
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9. 已知 a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）AC
A. 2b a c是 a，b，c成等差数列的充要条件
B. b ac 是 a，b，c成等比数列的充要条件
1 1 1
C. 若 a，b，c成等比数列，则 ， ， 成等比数列
a b c
1 1 1
D. 若 a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等差数列
a b c
10. 下列说法中正确的是（ ）CD
2 2
A. 方程 x2 y2 2x 1 0 x y表示的曲线是圆 B. 椭圆 1的长轴长为 2，短轴长为 3
4 3
x2 y2 3 1
C. 双曲线 1的渐近线方程为 y x D. 抛物线 x 2y2的准线方程是 x
16 9 4 8
11. 如图，三棱柱 ABC - A1B1C1 是各条棱长均等于 1的正三棱柱， D,E ,F ,G分别为CC1,CB,A1C1,A1B的
中点，下列结论正确的是（ ）ABD
A. GF //DE B. GF B1C
C. 异面直线GF 与 AA
π
1所成角为 3
D. 直线DE与平面 A1BC
42
所成角的正弦值为
14
12．已知曲线C : y 4x x2 ，直线 l :mx y 2 2m 0 ，点 A为曲线 C上的动点，则下列说法正确的是
（ ）BC
A．直线 l恒过定点 (0, 2)
B．当m 1时，直线 l被曲线 C截得的弦长为 2 2
C 4．若直线 l与曲线 C有两个交点，则 m的范围为 ( , 1]
3
D．当m 1时，点 A到直线 l距离的最小值为3 2 2
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三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. 已知向量 a 2,1,5 ,b 1, 3,m ，且 a b，则 b __________. 11
14. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无
1 20
平局），乙每局比赛获胜的概率都为 ，则最后甲获胜的概率是______________．
3 27
15. 如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度 AB为 6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为 1米．早
季时水位下降了 1米，则此时水面跨度增大到_________米．8
16. 一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳
一格．记跳到第 n格可能有 an 种情况， an 的前 n项和为 Sn ，则 S8 ___________．87
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，解答应写出文
字说明证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S7 28， S15 120 .
（1）求等差数列 a Sn n 的首项 a1和公差d ；（2）求证数列 是等差数列，并求出其前 n项和T .
n
n
S 7a 7 6
7
1 d 282
【小问 1详解】解：由题意可得 ，解得 a1 d 1.
S 15 14
15
15a1 d 1202
n n 1 d n n 1 S n 1
【小问 2详解】证明：由（1）可知 a1 d 1，所以 S
n na1 ，故
n .
2 2 n 2
S S S n 1 n 1 S
当 n 1时， 1 1；当 n 2时， n n 1 n，因此数列
1 n n 1 2 2 2 n
是等差数列，首项为1，公
1 S S n n 1 1 n2 3n
差为 . n所以等差数列 的前 n项和n Tn n
1 .
2 1 2 2 4
18. 已知圆 C过点M ( 3,2)，圆心 C在直线 x y 3 0上，且圆 C与 x轴相切．
（1）求圆 C的标准方程；
（2）过点 P(2,3)的直线 l与圆 C相交于 A、B两点，若 ABC为直角三角形，求直线 l的方程．
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【小问 1详解】由题意，设圆心C(a,a 3)，由于圆 C与 x轴相切． 半径 r | a 3 |，
所以设圆 C方程为 (x a)2 (y a 3)2 (a 3)2 ，又圆 C过点M ( 3,2)，
( 3 a)2 (2 a 3)2 (a 3)2 ，解得 a 1 圆 C方程为 (x 1)2 (y 2)2 4．
【小问 2详解】由圆 C方程易知直线 l的斜率存在，故设 l : y 3 k(x 2) ，即
d | k 2 3 2k | |1 3k |l : kx y 3 2k 0，设 C到 l的距离为 d，则
k 2 1 k 2
，
1
ABC为直角三角形， | AB | 2 2 ， 2 4 d 2 2 d 2 ，
|1 3k |
2 7k 2 6k 1 0 k 1 k 1或 2 ，故直线 l得方程为 x y 1 0或 x 7y 23 0．k 1 7
19. 为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛．比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛
2
通过后将代表学校参加市级比赛．在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为 ，乙教师晋级决赛的概率为
3
a 1 1．若甲 乙能进入决赛，在决赛中甲 乙两人能胜出的概率分别为 和 ．假设甲 乙初赛是否晋级和在决
3 2
5
赛中能否胜出互不影响．（1）若甲 乙有且只有一人能晋级决赛的概率为 ，求 a的值；
12
（2）在（1）的条件下，求甲 乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率．
【小问 1详解】设事件A表示“甲在初赛中晋级”，事件 B表示“乙在初赛中晋级”，
由题意可知， P(AB AB) P(AB) P(AB)
2 (1 a) 1 2 5 3 a ，解得a .3 3 12 4
【小问 2详解】设事件C为“甲 乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，D为“甲能参加市级比赛”，E为
2 1 2 3 1 3
“乙能参加市级比赛”，则 P D ，P E ，
3 3 9 4 2 8
所以 P C 2 1
3
1 2 3 31 .
9 8 9 8 72
20. 世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美．譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．在 ABC中，
AB BC 2, ABC 120 ．将 ABC绕着 BC旋转到△DBC的位置，如图所示．
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（1）求证：BC AD；（2）当三棱锥D ABC体积最大时，求平面 ABD和平面 BDC的夹角的余弦值．
【小问 1详解】取 AD的中点 E，连接CE,BE，由题意可知 AC DC , AB DB，所以CE AD,BE AD；
因为CE BE E,CE,BE 平面 BCE，所以 AD 平面 BCE；因为 BC 平面 BCE，所以 BC AD .
【小问 2详解】由题意可知三棱锥D ABC的体积最大时，平面DBC 平面 ABC；
在平面DBC内作出 DO BC，且与CB的延长线交于点O，连接OA；因为平面DBC 平面 ABC，平
面DBC 平面 ABC BC，DO BC ，所以 DO 平面 ABC；根据旋转图形的特点可知，OD,OA,OC
两两垂直，以O为坐标原点，OA,OC,OD所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
因为 AB BC 2, ABC 120 ，所以OA OD 3,OB 1；
B 0,1,0 , A 3,0,0 ,D 0,0, 3 ,C 0,3,0 ； BA 3, 1,0 ,BD 0, 1, 3 ，
n BA 0 3x y 0 r
设平面 ABD的一个法向量为 n x, y, z ，则 ， ，令 y 3，则 n 1, 3,1 ；
n BD 0 3z y 0
易知平面 BDC的一个法向量为OA 3,0,0 ,设平面 ABD和平面BDC的夹角为 ，则
OA n
cos 3 5 .所以平面 ABD 5和平面BDC的夹角的余弦值为 .
OA n 3 5 5 5
21. 已知抛物线 E : x2 2py 的焦点 F 关于直线 l : 2x y 4 0的对称点Q恰在抛物线 E的准线上．
（1）求抛物线 E的方程；（2）M 是抛物线 E上横坐标为 2的点，过点M 作互相垂直的两条直线分别交
抛物线 E于 A,B两点，证明直线 AB恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
p p x0
【小问 1详解】解：由已知得 F (0, )，设Q x , ，则 FQ中点为 R ,0 ，
2 0 2 2
Q x 、F 关于直线 l : 2x y 4 0对称， 点 R在直线 l上， 2 0 0 4 0，解得 x 4，即
2 0
Q 4, p
．又由QF l
1 p 1
，得直线QF 的斜率 kQF ， ，解得 p 2，∴ E : x2 4y． 2 2 4 2
【小问 2详解】证明：设直线 AB的方程为 y kx m， A x1, y1 、 B x2 , y2 均不与 M重合，
y kx m
由 得 x22 4kx 4m 0， x1 x2 4k， x1x2 4m．由（1）得M ( 2,1)，
x 4y
MA x1 2, y1 1 ，MB x2 2, y2 1 ，又由 MA MB 得MA MB 0，即
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x2 x2 x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 0，∴ x 1 21 2 x2 2 1 14 4 0，
x1 2 x1 2 x 2 x 2∴ x 2 x 2 1 2 2 2 0 ，4 4
x1 1 2 x∴ 2 2 0 ，∴ x1x2 2 x1 x2 20 0，∴ 4m 8k 20 0，∴m 5 2k，16
直线 AB的方程为 y kx 5 2k，即 AB : y 5 k(x 2)，∴直线 AB恒过定点 (2,5)．
x2 y2
22. 已知双曲线 C： 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点为 F 3,0 ，点 P 4, 15 在双曲线 C上．a b
（1）求双曲线 C的标准方程；（2）设 A、B分别为双曲线 C的左、右顶点，若过点 F的直线 l交双曲线 C
的右支于 M、N两点，设直线 AM、BN的斜率分别为 k1、 k2，是否存在实数λ使得 k1 k2？若存在，求
出λ的值；若不存在，请说明理由．
a2 b2 32
a2 4 2 2
【小问 1 2 x y详解】由题意得， 42 15 ，解得 2 ，故双曲线 C的标准方程为 1；
2 2 1
b 5 4 5
a b
【小问 2详解】直线 l交双曲线 C的右支于 M、N两点，故斜率不为 0，设为 x my 3，联立双曲线方程
2 2 2
化简得 5m 4 y 30my 25 0， 30m 4 25 5m2 4 400 m2 1 0，则
y y 30m 25 25M + N = - 2 , yM yN = 2 ，直线 l与右支交于两点，则 yM y =5m - 4 5m - 4 N 5m2
< 0，则
- 4
m 2 5 , 2 5
y y
， A 2,0 ， B 2,0 ， k
M N
5 5 1
= , k2= 0x 2 x ， M N 2
yM
k1 xM + 2 yM (xN - 2) yM (myN +1) myM yN + yM yM + yN 6m= y = = = ，∵ = - ，k2 N yN (xM + 2) yN (myM +5) myM yN +5yN yM yN 5
xN - 2
5
5 k - 6(y y ) y
1 5
M + N + M yM - y
1 6 6 N 1∴myM yN = - (yM + yN )，∴ =6 k 5 =(y 5 25
= - ，
2 - 5
6 M
+ yN )+ 5yN - yM + y6 6 N
1
∴存在 使得 k1 k2。5
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