兴化市2023年秋学期高二年级期末调研测试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．ABD 10．AD 11．AC 12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：（1），所以， ……2分
所以，， ……3分
所以切线方程为：，整理得. ……5分
（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，
则切线方程为：， ……7分
又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，……9分
所以切线方程为：，整理得. ……10分
18. 解：（1）选①
因为，所以当为奇数时，； ……2分
同理，当为偶数时，. ……4分
所以. ……6分
选②
因为，（*）所以当时，，（**） ……2分
（*）-（**），得，即， ……4分
所以数列是首项为1的常数列，
所以. ……6分
选③
因为，所以， ……2分
所以数列是首项为的常数列，所以， ……4分
所以当时，. ……5分
当时，也符合上式.所以. ……6分
（2）由（1）得，， ……8分
所以 ……12分
19. 解：（1）由坐标可知： 三点共线，
由图得直线垂直平分线段，
由圆的性质可以判断圆经过三点时，符合要求. ……2分
所以圆心在的中垂线即轴上，设圆的方程为，……3分
则解得
所以圆的方程为. ……5分
（2）设过点的直线方程为.
①当时，直线的方程为，此时可为轴上的任意一点. ……6分
②当时，联立方程组消去得，
设，则. ……7分
因为轴平分，所以，即， ……8分
化简得，即，
整理得.
所以对任意恒成立， ……10分
即恒成立，故，即.
综上，存在点，符合题意. ……12分
20. 解：（1）证明：，，，
当时，，
，， ……2分
， ……4分
是以为首项，为公比的等比数列； ……6分
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，符合的情况，， ……8分
，所以，……①
所以，……②
①-②，得，……10分
所以. ……12分
21. 解：（1）因为的焦点坐标为，所以，
所以． ……2分
因为，所以，化简可得， ……4分
又，解得，
所以椭圆的标准方程为． ……5分
（2）由（1）可知，可知过点的直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，
由，化简可得，
设，则，，
由，解得． ……7分
根据弦长公式可得
． ……8分
因为△APE的面积为的面积为，
设点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，
所以，
因此，……10分
因为，所以，则，
从而，所以的取值范围是． ……12分
22. （1）解：函数的定义域为，， ……1分
当时，，所以在上单调递增； ……2分
当时，由得，所以在上单调递增；
由得，所以在上单调递减； ……4分
故时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减； ……5分
（2）证明：，，
由（1）可知，当时，在上是增函数，
故不存在不相等的实数，使得，所以． ……6分
由得，即，
不妨设，则，则， ……7分
要证，只需证，
即证，只需证， ……9分
令，则只需证，即证，
令，则， ……11分
所以在上是增函数，所以，
从而，故. ……12分兴化市2023年秋学期高二年级期末调研测试
数学试卷
（考试用时：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1. 本试卷共分两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
2. 所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效。
第I卷（选择题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知直线：，：，若，则（ ）
A. －1 B. 3 C. D.
2.设数列是等比数列，且，，则（ ）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
3. 已知直线l：，圆C：，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，则（ ）
A. 1 B. 3 C. D. 4
4. 已知数列首项为2，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 3 D. 7
7. 已知奇函数，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知等比数列满足，，设其公比为q，前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线，圆，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．圆被轴截得的弦长为
C．当直线与圆相切时，直线的斜率是
D．当直线与圆相交时，直线斜率的取值范围是
11．已知Р是椭圆：上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别为A、B，左、右焦点分别为、.下列关于椭圆的四个结论中正确的是（ ）
A．若PA、PB的斜率存在且分别为、，则为一定值
B．若椭圆C上存在点M使，则
C．若的面积最大时，，则
D．根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第n次到达时，光线通过的总路程为4na
12．已知，，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．在上两个零点
C．当 时，恒成立，则
D．若函数只有一个极值点，则实数
第II卷（非选择题)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若圆：与圆：外切，则实数________．
14. 已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为______．
15. 过点的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值为 ．
16. 定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题10分）
已知函数.
（1）求曲线在处切线方程；
（2）若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程.
（本小题12分）
已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.
①，；②；③.
从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：
（1）求；
（2）求数列的前项和.
（本小题12分）
已知圆经过中的三点，且半径最大.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），在轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（本小题12分）
记为数列的前项和，为数列的前项和，已知．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）已知数列满足：，求数列的前项和.
（本小题12分）
已知为坐标原点，椭圆的上焦点是抛物线的焦点，过焦点与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆于两点，且，过点的直线交椭圆于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，记△APE的面积为，△BPE的面积为，求的取值范围．
（本小题12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在不相等的实数，使得，证明：．
