兴化市2023年秋学期高二年级期末调研测试
数学参考答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分.
1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.A 7.C 8.A
多项选择题:本题共4小题,每小题满分5分,共20分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.
9.ABD 10.AD 11.AC 12.ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 14. 15. 16.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解:(1),所以, ……2分
所以,, ……3分
所以切线方程为:,整理得. ……5分
(2),所以,设切点坐标为,所以切线斜率为,
则切线方程为:, ……7分
又因为切线过原点,所以将代入切线方程得,解得,……9分
所以切线方程为:,整理得. ……10分
18. 解:(1)选①
因为,所以当为奇数时,; ……2分
同理,当为偶数时,. ……4分
所以. ……6分
选②
因为,(*)所以当时,,(**) ……2分
(*)-(**),得,即, ……4分
所以数列是首项为1的常数列,
所以. ……6分
选③
因为,所以, ……2分
所以数列是首项为的常数列,所以, ……4分
所以当时,. ……5分
当时,也符合上式.所以. ……6分
(2)由(1)得,, ……8分
所以 ……12分
19. 解:(1)由坐标可知: 三点共线,
由图得直线垂直平分线段,
由圆的性质可以判断圆经过三点时,符合要求. ……2分
所以圆心在的中垂线即轴上,设圆的方程为,……3分
则解得
所以圆的方程为. ……5分
(2)设过点的直线方程为.
①当时,直线的方程为,此时可为轴上的任意一点. ……6分
②当时,联立方程组消去得,
设,则. ……7分
因为轴平分,所以,即, ……8分
化简得,即,
整理得.
所以对任意恒成立, ……10分
即恒成立,故,即.
综上,存在点,符合题意. ……12分
20. 解:(1)证明:,,,
当时,,
,, ……2分
, ……4分
是以为首项,为公比的等比数列; ……6分
(2)由(1)知,,
当时,,
当时,,符合的情况,, ……8分
,所以,……①
所以,……②
①-②,得,……10分
所以. ……12分
21. 解:(1)因为的焦点坐标为,所以,
所以. ……2分
因为,所以,化简可得, ……4分
又,解得,
所以椭圆的标准方程为. ……5分
(2)由(1)可知,可知过点的直线的斜率存在且不为0,
设直线的方程为,
由,化简可得,
设,则,,
由,解得. ……7分
根据弦长公式可得
. ……8分
因为△APE的面积为的面积为,
设点到直线的距离为,根据点到直线的距离公式可得,
所以,
因此,……10分
因为,所以,则,
从而,所以的取值范围是. ……12分
22. (1)解:函数的定义域为,, ……1分
当时,,所以在上单调递增; ……2分
当时,由得,所以在上单调递增;
由得,所以在上单调递减; ……4分
故时,所以在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减; ……5分
(2)证明:,,
由(1)可知,当时,在上是增函数,
故不存在不相等的实数,使得,所以. ……6分
由得,即,
不妨设,则,则, ……7分
要证,只需证,
即证,只需证, ……9分
令,则只需证,即证,
令,则, ……11分
所以在上是增函数,所以,
从而,故. ……12分兴化市2023年秋学期高二年级期末调研测试
数学试卷
(考试用时:120分钟 总分:150分)
注意事项:
1. 本试卷共分两部分,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题。
2. 所有试题的答案均填写在答题卡上,答案写在试卷上的无效。
第I卷(选择题)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分.
1.已知直线:,:,若,则( )
A. -1 B. 3 C. D.
2.设数列是等比数列,且,,则( )
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
3. 已知直线l:,圆C:,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1,则( )
A. 1 B. 3 C. D. 4
4. 已知数列首项为2,且,则( )
A. B. C. D.
5. 已知函数在定义域内单调递减,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在双曲线的左支上,且,,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. 3 D. 7
7. 已知奇函数,则函数的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 已知数列满足,,.设,若对于,都有恒成立,则的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
多项选择题:本题共4小题,每小题满分5分,共20分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.
9.已知等比数列满足,,设其公比为q,前n项和为,则( )
A. B. C. D.
10.已知直线,圆,下列说法正确的是( )
A.直线恒过点
B.圆被轴截得的弦长为
C.当直线与圆相切时,直线的斜率是
D.当直线与圆相交时,直线斜率的取值范围是
11.已知Р是椭圆:上的一动点,离心率为e,椭圆与x轴的交点分别为A、B,左、右焦点分别为、.下列关于椭圆的四个结论中正确的是( )
A.若PA、PB的斜率存在且分别为、,则为一定值
B.若椭圆C上存在点M使,则
C.若的面积最大时,,则
D.根据光学现象知道:从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射,当光线第n次到达时,光线通过的总路程为4na
12.已知,,是的导函数,则下列结论正确的是( )
A.在上单调递增
B.在上两个零点
C.当 时,恒成立,则
D.若函数只有一个极值点,则实数
第II卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若圆:与圆:外切,则实数________.
14. 已知定义在区间上的函数,则的单调递增区间为______.
15. 过点的直线与抛物线交于A,B两点,则的最小值为 .
16. 定义:在数列中,,其中为常数,则称数列为“等比差”数列,已知“等比差”数列中,,,则 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题10分)
已知函数.
(1)求曲线在处切线方程;
(2)若直线过坐标原点且与曲线相切,求直线的方程.
(本小题12分)
已知数列的首项为1,前项和为,且满足______.
①,;②;③.
从上述三个条件中选一个填在横线上,并解决以下问题:
(1)求;
(2)求数列的前项和.
(本小题12分)
已知圆经过中的三点,且半径最大.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆交于两点(在轴上方),在轴上是否存在定点,使得轴平分?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(本小题12分)
记为数列的前项和,为数列的前项和,已知.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)已知数列满足:,求数列的前项和.
(本小题12分)
已知为坐标原点,椭圆的上焦点是抛物线的焦点,过焦点与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆于两点,且,过点的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点,记△APE的面积为,△BPE的面积为,求的取值范围.
(本小题12分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在不相等的实数,使得,证明:.