海淀区 2023—2024 学年第一学期期末练习
高三数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）A （2）D （3）B （4）D （5）C
（6）A （7）D （8）B （9）B （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（ 11 ） 5 （12） 2
7 5
（13） 1 （14）1 1（答案不唯一）
5
（15）②④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）连接 AD1 .
在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，侧面CDD1C1 为平行四边形，
所以C1D1 // CD，C1D1 CD .
1 B B
因为 AB // CD，CD AB，M 为 AB 中点， 1
2
所以CD // AM ，CD AM .
M
所以C1D1 // AM ，C1D1 AM . C C1
所以四边形MAD1C1 为平行四边形. A
A1
所以MC1 // AD1 . D D1
因为C1M 平面 ADD1A1，
所以C1M //平面 ADD1A1．
（Ⅱ）在正方形 ABB1A1中， AA1 AB .
因为平面 ABB1A1 平面 ABCD，
所以 AA1 平面 ABCD .
所以 AA1 AD .
因为 AD B1M , B1M 平面 ABB1A1， B1M 与 AA1相交，
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）
所以 AD 平面 ABB1A1 .
所以 AD AB .
如图建立空间直角坐标系 A xyz .
不妨设 AD 1，则
A(0,0,0) ，C1(1,2,1) ，B1(0,2,2)，M(0,0,1) .
所 以 AC1 (1,2,1) ， C1B1 ( 1,0,1) ， z
MC1 (1,2,0) . B B1
设平面MB1C1的法向量为 n (x, y, z)，则
M
n C1B1 0, x z 0,
即 C C1
n MC1 0, x 2y 0.
A
令 x 2 ，则 y 1，z 2 .于是n (2, 1,2) . A1 y
D D1
AC n 6 x
因为 cos AC1,n
1 ，
| AC1 | | n | 9
6
所以直线 AC1与平面MB1C1所成角的正弦值为 .
9
高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）
（17）（共 14 分）
a b c
解：（Ⅰ）由正弦定理 及 2ccos A 2b a ，得
sin A sin B sinC
2sinCcos A 2sin B sin A . ①
因为 A B C π，
所以 sin B sin(A C) sin AcosC cos AsinC . ②
由①②得 2sin AcosC sin A 0 .
因为 A (0,π) ，所以 sin A 0 .
1
所以 cosC .
2
因为C (0, π) ，
π
所以C .
3
1
（Ⅱ）选条件②： sin B sin A .
2
π 2π
由（Ⅰ）知， B π A A .
3 3
2π
所以 sin B sin A sin( A) sin A
3
3 1 3 1
cos A sin A sin A cos A sin A
2 2 2 2
π
sin( A) .
3
π 1
所以 sin( A) .
3 2
2π π π π
因为 A (0, )，所以 A ( , ) .
3 3 3 3
π π π
所以 A ，即 A .
3 6 6
所以△ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形.
因为 c 3 ，
AB 3
所以 AC 2 .
sinC π
sin
3
高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）
所以 AC 边上的中线的长为1 .
选条件③：b2 2a2 2 .
由余弦定理得 a2 b2 ab 3 .
设AC 边上的中线长为 d ，由余弦定理得
2 b
2 ab
d a2 2cosC
4 2
2
2 b ab a
4 2
b2 a2 b2 3
a2
4 2
1.
所以 AC 边上的中线的长为1 .
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10 场比赛中，甲共获胜 3场，分别是第 3场，
第8场，第10场.
设 A表示“从10 场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则
3
P(A) .
10
（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10 分的场次有6 场，
分别是第 2场，第3场，第5 场，第8场，第9 场，第10 场，其中乙得分大于丙
得分的场次有 4 场，分别是第 2场、第5 场、第8场、第9 场.
所以 X 的所有可能取值为 0 ，1， 2．
C2C02 4 1 C
1 1 0 2
P(X 0) ， P(X 1) 2
C4 8 C C 2 ， P(X 2) 2 4 .
C2 15 C 26 6 15 C
2
6 5
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
1 8 2
P
15 15 5
1 8 2 4
所以E(X ) 0 1 2 .
15 15 5 3
（Ⅲ）D(Y2 ) D(Y1) D(Y3) .
高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页）
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由题意知 a 3 ， 2c 2 5 .
所以 c 5 ，b2 a2 c2 4．
x2 y2
所以椭圆 E 的方程为 1，其短轴长为 4．
9 4
（Ⅱ）设直线CD的方程为 x my 1， C(x1, y1) ， D(x2 , y2 )，则M ( x1, y1) .
x2 y2
1,
由 2 2 9 4 得 (4m 9)y 8my 32 0 .
x my 1
8m
所以 y1 y2 .
4m2 9
y
由 A(3,0) 得直线 AM 的方程为 y 1 (x 3) .
x1 3
y
y
1 (x 3), 2y
由 x 3 得 y 1 1 .
3 x1 my1
x my 1
因为 x1 my1 1，
y1 y 2 my所以 y ， x m( 1 ) 1 1 .
2 2 2
2 my y
所以 N( 1 , 1 ) .
2 2
因为Q为OD 的中点，且 x2 my2 1，
my 1 y
所以Q( 2 , 2 ) .
2 2
所以直线 NQ的斜率
y 8m2 y 1
y y 4m22 2 8mk 2 1 9 .
my 22 1 2 my1 m(y2 y1) 1 8m 12m
2 9
1
2 2 4m2 9
当m 0时， k 0 .
高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）
当m 0时，
9 3
因为12m 2 12 9 12 3 ，当且仅当m 时，等号成立.
m 2
8m 2 3
所以 k .
12m2 9 9
3 2 3
所以当m 时， k 取得最大值 ．
2 9
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）①当 a 1时， f (x) x2 xsin x b x(x sin x) b .
记 g(x) x sin x（ x 0 ），则 g '(x) 1 cos x 0 .
所以 g(x)在[0, ) 上是增函数.
所以当 x 0 时， g(x) g(0) 0 .
所以当 x 0 时， f (x) x(x sin x) b b .
②由 f (x) x2 xsin x b得 f '(x) 2x sin x xcos x，且 f '(0) 0 .
当 x 0 时， f '(x) x(1 cos x) x sin x .
因为1 cos x 0 ， x sin x 0 ，
所以 f '(x) 0 .
因为 f '( x) f '(x) 对任意 x R 恒成立，
所以当 x 0 时， f '(x) 0 .
所以 0 是 f (x) 的唯一极值点.
（Ⅱ）设曲线 y f (x) 与曲线 y cos x的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标
分别为 x1， x2 ，其斜率分别为 k1， k2 ，则 k1k2 1 .
因为 ( cos x) ' sin x，
所以 sin x1 sin x2 k1k2 1 .
所以{sin x1 ,sin x2} { 1,1} .
不妨设 sin x1 1，则 x1 2k ， k Z .
2
因为 k1 f '(x1) 2ax1 sin x1 x1 cos x1，
由“优切线”的定义可知 2ax1 sin x1 x1 cos x1 sin x1 .
高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）
1 2
所以 a ， k Z .
x1 4k
1
由“优切线”的定义可知 x21 x1 sin x1 b cos x1，
x1
所以b 0 .
2
当 a ， k Z ，b 0 时，取 x1 2k ， x2 2k ，则
4k 2 2
f (x1) cos x1 0， f (x2 ) cos x2 0， f '(x1) sin x1 1， f '(x2 ) sin x2 1，
符合题意.
2
所以 a ， k Z ，b 0 .
4k
（21）（共 15 分）
解：
（Ⅰ） f (A1) 10 ,H(A1) 12； f (A2 ) 12，H (A2 ) 15．
由定义可知：将数表 A中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），H(A) ， f (A)
的值不变. 因为m 为奇数，aij { 1,1}，所以 r(1),r(2), ,r(m)，c(1),c(2), ,c(m)均
不为 0 .
（Ⅱ）当 s {0,m}或 t {0,m}时，不妨设 s 0，即 r(i) 0， i 1,2, ,m .
若 t 0 ，结论显然成立；
若 t 0，不妨设 c( j) 0， j 1,2, ,t ，则 (i, j) H ，i 1,2, ,m， j 1,2, ,t .
所以H(A) mt ，结论成立.
当 s {0,m}且 t {0,m}时，不妨设 r(i) 0 ，i 1,2, ,s，c( j) 0， j 1,2, ,t ，
则当 s 1 i m时， r(i) 0；当 t 1 j m时， c( j) 0 .
因为当 i 1,2, ,s， j t 1,t 2, ,m时， r(i) 0， c( j) 0，
所以 (aij r(i)) (aij c( j)) a
2
ij r(i) c( j) 0 .
高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）
所以 (i, j) H . 1 1 1 1 1
同 理 可 得 ： (i, j) H ， i s 1,s 2, ,m ， 1 1 1 1 1
j 1,2, ,t .
1 1 1 1 1
所以H(A) s(m t) (m s)t mt ms 2st .
1 1 1 1 1
H (A) 8
（Ⅲ）当m 5时， 的最小值为 . 对于如下的数表 1 1 1 1 1
f (A) 9
H (A) 8
A， .
f (A) 9
H (A) 8
下面证明： .
f (A) 9
设 r(1)， r(2) ，…， r(m) 中恰有 s 个正数， c(1)， c(2) ，…， c(m) 中恰有 t 个正
数， s, t {0,1,2,3,4,5} .
①若 s {0,5}或 t {0,5}，不妨设 s 0，即 r(i) 0， i 1,2, ,5 .
所以当 aij 1时， (i, j) H .
由 A中所有数不全相同，记数表 A 中1的个数为 a ，则 a 1，且
52 r(1) r(2) r(5) 25 a (25 a)
f (A) a， H(A) a .
2 2
H (A) 8
所以 1 .
f (A) 9
②由①设 s {0,5}且 t {0,5} .若 s {2,3}或 t {2,3}，不妨设 s 2，则由（Ⅱ）中
结论知：H(A) 5t 10 4t 10 t 11.
52 | r(1) r(2) r(5) |
因为0 f (A) 12，
2
H (A) 11 8
所以 .
f (A) 12 9
③由①②设 s {0,2,3,5}且 t {0,2,3,5} .
若{s,t} {1,4}，则由（Ⅱ）中结论知： H(A) 25 8 17 .
因为0 f (A) 12，
H (A) 17 8
所以 .
f (A) 12 9
高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）
H (A)
若 s t， s {1,4}，不妨设 s t 1， r(1) 0，c(1) 0，且 1，由（Ⅱ）
f (A)
中结论知： H(A) 8 .所以 f (A) H(A) 8 .
若数表 A中存在 aij （ i, j {2,3,4,5}）为1，将其替换为 1后得到数表 A' .
因为H(A') H(A) 1， f (A') f (A) 1，
H(A') H (A) 1 H (A)
所以 .
f (A ') f (A) 1 f (A)
H (A)
所以将数表 A中第 i 行第 j 列（ i, j 2,3,4,5）为1的数替换为 1后 值变小.
f (A)
所以不妨设 aij 1（ i, j 2,3,4,5）.
因为H(A) 5 5 2 8， f (A) 9，
H (A) 8
所以 .
f (A) 9
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高三数学
2024.01
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
n:
第一部分（选择题共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
(1)已知集合U=(1,2,3,4,5,6,A=(1,3,5,B=(1,2,3,则Cu(AnB)=
(A)2,4,5,6
(B)(4,6
(C)2,4,6
（D)2,5,6
(2)如图，在复平面内，复数，2对应的点分别为Z,Z2,则复数22的
虚部为
(A)-i
(B)-1
(C)-3i
(D)-3
(3)已知直线1：x+乞=1，直线h:2x-y+2=0,且4W,则a=
(A)1
(B)-1
(C)4
(D)-4
(4)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上，IMF1=4,O为坐标原点，则IMO1
(A)42
(B)4
(c)5
(D)2V5
(5)在正四棱锥P-ABCD中，AB=2,二面角P-CD-A的大小为妥，
则该四棱锥的体积为
（A)4
(B)2
(c)号
(D)号
(6)已知⊙C:x2+2x+y2-1=0,直线mx+n(y-1)=0与⊙C交于A,B两点.若△ABC为直角
三角形，则
(A）mn=0
(B)m-n=0
(C)m+n=0
(D）m2-3n2=0
高三年级（数学)第1页（共6页）
(7)若关于x的方程logax-d=0(a>0且a≠1)有实数解，则a的值可以为
(A)10
、
(B)e
·
(C)2
(D)
(8)已知直线11,12的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为a1,a2,则“cos(a1-a)>0”是
“kk2>0”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(9)已知a是公比为g（g*1)的等比数列，及为前n项和.若对任意的m∈N,8<二g恒成
立，则
(A){an}是递增数列
(B)(aJ是递减数列
(C){S}是递增数列
(D)(S)是递减数列
(10)蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用
材面积最小的结构.右图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是
正六边形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,FL均垂直于底面ABCDEF,
上顶由三个全等的菱形PGHI,PIJK,PKLG构成，设BC=1,
∠GPI=∠PK=∠KPG=0≈10928'，则上顶的面积为织
(参考数据：cos0=-子，am号-V2)
(A)2V2
(B)3V3
2
(c)92
(D)92
2
4
第二部分（非选择题共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11)在（√x-1)的展开式中，x的系数为
(12)已知双曲线x2-my2=1的一条渐近线为V3x-y=0,则该双曲线的离心率为
高三年级（数学）第2页（共6页)
