2023-2024学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学
考试时间120分钟 满分120分
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
3．某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为( )米．
A．2.03×10﹣8 B．2.03×10﹣7 C．2.03×10﹣6 D．0.203×10﹣6
4．如图，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
5．下列计算错误的是（ ）
A．a3．a2＝a5 B．a3＋a3＝2a3 C．（2a）3＝6a3 D．a8÷a4＝a4
6．如图，，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点和关于y轴对称，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
8．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不改变
9．若，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．5
10．如图，在中，，过点作，分别为线段和射线上的点，且．若以为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不对
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
11．使得分式有意义的条件是 ．
12．已知一个边形的内角和等于1980°，则 ．
13．分解因式：x2y-4y= ．
14．如图，中，， 的垂直平分线分别交 ， 于点 D，E，连接， 则的大小为 ．
15．如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为 ．
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16．计算：．
17．化简：．
四、解答题（二）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题：
(1)画出关于轴的对称图形；
(2)求的面积．
19．如图，已知，，与相交于点O．
(1)求证：．
(2)若，求的大小．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)作∠CAB的角平分线，交BC于D点（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)若CD=5，AB=18，求△ABD的面积．
22．如图，在等边中，线段为边上的中线，，且在下方，点、分别是线段、射线上的动点，且点不与点重合，点不与点重合，．
(1)求的度数；
(2)连接，求证：是等边三角形．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题9分，共18分）
23．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
(1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元；
(2)若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？
24．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，
，即，
又，
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
六、解答题（四）（本大题1小题，每小题12分，共12分）
25．如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，．
(1)若，求证：垂直平分；
(2)若点在线段上运动．
①请判断与的数量关系，并说明理由；
②求证：平分．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别；利用轴对称的概念判断即可，轴对称图形是沿着一条直线对折后两边可以重合的图形．
【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
3．B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000000203=2.03×10﹣7．
故选：B．
【点睛】此题考查用科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．C
【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角和求解．
【详解】解：由题意可得：
故选：C．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和正确计算是解题关键．
5．C
【分析】根据同底数幂乘除法，整式的加法以及积的乘方公式进行计算判断即可．
【详解】解：A、a3．a2＝a5，计算正确，不符合题意；
B、a3＋a3＝2a3，计算正确，不符合题意；
C、（2a）3＝8a3，计算错误，符合题意；
D、a8÷a4＝a4，计算正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂乘除法，整式的加法以及积的乘方法则，熟练地掌握计算法则是解题的关键．
6．D
【分析】根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等的性质．
7．B
【分析】根据关于y轴对称点的特点，求出，，然后代入求值即可．
【详解】解：∵点和关于y轴对称，
∴，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，代数式求值，乘方运算，解题的关键是熟记关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．
8．D
【分析】根据分式的性质：分子分母都乘以10，分式的值不变．
【详解】解：由分子分母都乘以，分式的值不变得
分式中的x，y都扩大10倍，则这个分式的值不变，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
9．C
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而得出的值.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C.
【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题的关键.
10．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，分两种情况：当时，；当点运动到与点重合时，，，分别证明三角形全等即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：当时，，
在和中，
，
，
即；
当点运动到与点重合时，，，
在和中，
，
，
即；
综上所述，或，
故选：C．
11．x≠﹣3
【分析】根据分式有意义的条件可得：x+3≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为零是解题的关键．
12．13
【分析】由题意可知多边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，以此列方程即可求解．
【详解】解：依题意有：
（n-2） 180°=1980°，
解得n=13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，注意掌握解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
13．y(x+2)(x-2)
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．
14．##80度
【分析】由线段的垂直平分线交于D，交于E，可得，继而求得的度数，再由三角形的外角性质则可求得答案．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于D，交于E，
∴，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
15．3
【分析】连接，根据轴对称的定义可得，，最后根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：连接，
∵点与点关于对称，
∴为的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形中角所对的边等于斜边的一半，解题的关键是正确画出辅助线，构建含有角的直角三角形求解．
16．3
【分析】先求出算术平方根、去绝对值、计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、去绝对值、零次幂、负整数次幂等知识点，属于基础题，解题的关键是熟记各项运算法则并正确计算．
17．
【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，再进行计算即可解答．
【详解】
．
18．(1)见解析
(2)的面积是4
【分析】本题考查了画轴对称图形，求三角形面积，掌握关于轴对称的点的坐标特点，利用割补法求面积是解本题关键．
（1）根据关于轴对称的点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，先做出、、三点关于轴对称的点、、，依次连接，，所得即为所求；
（2）利用割补法，用正方形的面积减去周围的3个小三角形，即，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：，，关于轴对称的点为，，，
如图，依次连接，，所得即为所求．
（2）解：由图可得，
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据（1）全等三角形的性质得到，推出，再根据三角形内角和定理求出的大小．
【详解】（1）证明：和中
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形等边对等角的性质，熟记各知识点并应用是解题的关键．
20．，4
【分析】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．先把括号内通分和除法化为乘法，再把因式分解，然后约分，再最后把x的值代入计算即可．
【详解】解：
当时，原式
21．(1)见解析
(2)45
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理求出DE，然后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线AD即为所求；
；
（2）解：过点D作DE⊥AB于E，
，
又∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=DC，
又CD=5，
∴DE=5，
∵AB=18，
∴．
【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得，再根据即可求解；
（2）先证明，得，，再证，即可证明结论成立
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴；
（2）如图，连接，
∵，，线段为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形
23．(1)A，B两种学习用品的单价分别为20元和30元
(2)80
【分析】（1）设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元，由题意得，然后解分式方程解即可；
（2）设最多购买B型学习用品件，则购买A型学习用品件，由题意得，，解不等式即可．
【详解】（1）解：设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元
由题意得
去分母得，
移项合并得，
系数化为1得，
经检验，是原分式方程的解
∴元
∴A、B两种学习用品的单价分别为20元和30元．
（2）解：设最多购买B型学习用品件，则购买A型学习用品件
由题意得，
解得
∴最多购买B型学习用品80件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查完全平方公式的变形求值．熟记公式的形式是解题关键；
（1）先计算的值，再由即可求解；
（2）设，可得的值，由即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即．
又∵，
∴，
所以，即的值为．
（2）解：设，，则．
由题意得．
∵，
∴，
∴，
所以图中阴影部分的面积为．
25．(1)证明见解析
(2)①，理由见解析；②证明见解析
【分析】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用证明得到，即可推出为的垂直平分线；
（2）①利用同角的余角相等得到，利用证明，即可得到；②作交于点N，先证明，，，再利用证明，推出是等腰直角三角形，据此即可证明，从而得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的垂直平分线；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵在等腰直角中，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②作交于点N，
∴，
∴，
∵，，且，
∴，
∵等腰直角中，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴平分．
