2023-2024学年河北省保定市12月高二上学期联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是
( )
A. B. C. D.
2.若数列的前项分别是，则该数列的一个通项公式为
( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，则( )
A. B. C. D.
4.平行六面体中，为中点，点在棱上，记，若，则( )
A. B. C. D.
5.对于正整数，，，，若数列为等差数列，则是的
( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知双曲线的离心率为，分别是的左，右两个焦点，点在双曲线右支上，且，，则双曲线的实轴长为
( )
A. B. C. D.
7.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，边、的中点分别为，若直线与所成角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
8.已知点分别是椭圆的左，右两个焦点，点为椭圆右侧直线上的一个动点．若，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆与圆，下列说法正确的是
( )
A. 与的圆心距为
B. 与的公切线恰有条
C. 与相交弦所在直线的方程为
D. 若分别是圆上的动点，则
10.下列说法正确的是( )
A. 任意向量，，满足
B. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
C. 若，，，则点在平面内
D. 已知，，若，则
11.在数列中，，，则
( )
A.
B.
C.
D.
12.已知双曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，点，直线交双曲线左支于两点在上方，直线交双曲线右支于两点在上方，则下列说法正确的有
( )
A. 的周长为
B.
C. 若直线的倾斜角为，，则
D. 若，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.椭圆的焦距为_________．
14.已知为等差数列，则_________．
15.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知平面内的动点到两定点的距离分别为和，且，则点到直线的距离的最大值为________．
16.如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点，在线段上运动不与重合，则下列结论正确的是___________．
三棱锥的体积为定值
三棱锥的外接球表面积为
的最小值为
与平面所成角的最大值为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆：，直线：．
当为何值时，直线与圆相切；
当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在多面体中，平面平面四边形为正方形，四边形为梯形，且点满足．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知数列中各项都大于，前项和为，且满足．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
20.本小题分
已知过点的直线与抛物线交于两点，且满足．
求抛物线的方程；
若点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．
21.本小题分
如图，在平面图形中，，，，，沿将折起，使点到的位置，且，，如图．
求证：平面平面；
线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
已知分别是轴，轴上的动点，且，动点满足，设点的轨迹为曲线．
求曲线的轨迹方程；
设是曲线上的两点在的左侧，，直线的斜率分别为，，且与相交于，若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．
根据 可得直线的倾斜角．
【解答】
解：直线的斜率为 ，
设倾斜角为，，
则有，
所以，
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求数列的通项公式，属于基础题．
利用观察归纳法即可求出通项公式．
【解答】
解：因为数列 的前项分别是 ，正负项交替出现，分子均为，分母依次增加，
所以对照四个选项，可知 正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
利用抛物线方程求出，利用抛物线的定义求解．
【解答】
解：因为，所以，
因为在上，
则，解得
所以，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于基础题．
根据空间向量的加法、减法和数乘的运算法则即可得解．
【解答】
解：设，
因为
所以，，．
因为，
所以．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质，考查学生的计算能力和推理能力，属于基础题．
根据等差数列的性质进行判断即可推断“”是“”之间的关系．
【解答】
解：由等差数列的性质知，
当时，有，
若为常数列，则有，而，
时，不一定成立，
“”是“”的充分不必要条件，
故选B．
6.【答案】
【解析】解：设，，则有，，可得，，
因为，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，
解得，
则双曲线的实轴长为，
故选B．
设，，运用余弦定理和双曲线的定义、双曲线的简单几何性质，化简整理，计算即可得到．
本题主要考查双曲线的定义和性质，考查余弦定理的运用．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，属于基础题．
建立空间直角坐标系，设，可得 ，再由向量的夹角公式即可求得的值，进而得解．
【解答】
解：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以，
所以，
因为直线与所成角的余弦值为，
所以 ，解得，即．
所以，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，两角差的正切公式，直线的斜率以及基本不等式，属于较难题．
设，，则，又因为，，所
以，，利用两角差的正切公式求出，用基本不等式可以得到方程，从而解出和的等量关系，也就得到椭圆的离心率．
【解答】
解：根据对称性，不妨设点在第一象限，且坐标为，
记直线与轴的交点为，直线在椭圆右侧，则，则，
设，，则，又因为，，所
以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则有，解得，故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．
由圆的标准方程得圆心，由两点间距离求得圆心距，根据圆与圆的位置关系得出公共弦所在的直线方程，计算两圆上两动点间的最大距离及判断公切线条数即可．
【解答】
解：由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，即与的圆心距为，故A正确；
，故两圆相交，
所以与的公切线恰有条，故B错误；
与相交弦的方程为，故C正确；
若，分别是圆，上的动点，则故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的运算，线面平行的向量表示，空间向量的数量积与空间向量的垂直关系，属于基础题．
由空间向量的数量积是实数，可判断；由线面平行的向量表示，可判断；由空间向量基本定理，可判断；由空间向量的数量积与空间向量的垂直关系，可判断．
【解答】
解：对于，，不一定共线，则不一定成立，故A错误
对，，所以或，B错误
因为，故C正确
因为，，所以
，
又，所以，解得，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查数列的递推关系，数列的函数性质，数列前项和，属于中档题．
由递推关系得数列是以为周期的周期数列，结合各选项，逐项判断即可．
【解答】
解：对于，，，
，，，，
，
所以数列是以为周期的周期数列，
，故A正确
对于，，故B正确
对于， ，故C错误．
对于，，，
．故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义、直线与双曲线位置关系的应用、利用余弦定理解三角形，属较难题．
利用双曲线定义判断；利用直线与双曲线的交点位置判断；利用焦点三角形中的余弦定理建立关于、、的方程，求解判断；结合的结论求解判断．
【解答】
解：由双曲线定义可知，，
故的周长为
，故A错误；
依题意得，，
在中，，
而，，
则，
因为直线交双曲线左支于，两点，
则，，故B正确
若直线的倾斜角为，，
设，则，，，
在中，由余弦定理得，
化简得
在中，由余弦定理得，
化简得
则有，化简得，故C正确
若，，，
，化简得，或，
则或，
由，得，故，故D正确，
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．
直接利用椭圆的标准方程化简求解即可．
【解答】
解：椭圆的方程是，，故，
从而焦距为．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，先计算数列的公差，再利用数列的通项公式，即可得到结论．
【解答】
解：设数列的公差为，
两方程相减可得，，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轨迹方程求解，属于中档题．
首先设点，求出轨迹方程，再得出圆心到直线的距离，可得结果．
【解答】
解：设动点为，由题意可得，
整理得，
故动点的轨迹是半径为，圆心为的圆，
因为圆心到直线的距离，
所以点到此直线的最大距离为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是棱锥的体积，球的表面积，线面角考查空间想象能力，属于中档题．
到平面的距离为定值，可判断，三棱锥中，是直角三角形，所以外接圆圆心为中点，半径为，即可判断，由，所以，，可判断，连接，交于，所以平面，连接，所以为所求，，
，所以最小时，最大，可判断
【解答】
解：因为，分别为和的中点，所以，的轨迹为，
到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故正确
三棱锥中，是直角三角形，所以外接圆圆心为中点，半径为，
球心到底面的距离为，所以外接球半径为，
表面积为，故错误
将平面翻折到与平面重合，
，，
所以，
所以，，所以的最小值为，故正确．
连接，交于，所以平面，连接，所以为所求，，
，所以最小时，最大，，所以的
最大值为，所以最大为，故正确．
17.【答案】解：将圆的方程进行配方，
得标准方程为，则此圆的圆心为，半径为．
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，
则有，解得；
过圆心作，垂足为，则根据题意和圆的性质，
得
解得或．
故所求直线方程为或．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系及其应用，属于中档题．
由圆的方程求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解；
根据题意和圆的性质，得，再解方程即可求解．
18.【答案】解：因为平面，，平面，所以，，
又，故AB，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，，
所以，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，故，
则，平面，
故CE平面，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，
则，
，
设直线与平面所成角的大小为，
则．
【解析】本题主要考查利用空间向量证明线面垂直以及线面角的求法，属于中档题．
建立空间坐标系，分别表示出点的坐标，然后求出平面的法向量为，利用，即可得证；
利用空间向量夹角公式求出结果．
19.【答案】解：由，即，
当时，，
两式相减得：，整理得：，
即，数列中各项都大于，
，，
当时，，解得：，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
数列的通项公式
，
数列的前项和，，
，
，
，
．
【解析】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法及其应用，考查“裂项法”求数列的前项和，考查计算能力，属于中档题．
由，当时，，
，由，，
当时，，根据等差数列的通项公式，即可求得数列的通项公式；
，利用“裂项相消求和法”即可求得数列的前项和．
20.【答案】解：由题意可设直线的方程为：，、，
联立抛物线方程，
所以，
又，，
化简得，即，
解之得，
所以抛物线的方程为
证明：设点，，，
以为切点的抛物线的切线方程为，
由，联立可得，
由判别式，即，
即，显然，可得，
因此，以为切点的抛物线的切线方程为，
同理可得，以为切点的抛物线的切线方程为，
由于这两条切线都经过点，代入可得，，
则直线的方程为，
可得直线过定点．
【解析】本题考查抛物线与直线的位置关系，属于较难题．
设点，的坐标，联立直线与抛物线方程，利用，可以求出的值即可；
利用导数求出切线方程，这两条切线都经过点，代入可得直线的方程，可以得到定点坐标．
21.【答案】解：证明：因为，所以，
又，所以
因为，，，
所以四边形为等腰梯形，且，
所以，
所以，所以，即，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
由知，，两两互相垂直．
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，四边形是矩形，所以，
即，，，．
，，，
设平面的一个法向量为，
则令，则，
假设线段上存在点满足题意，
设平面的一个法向量为，令，则，
，
则令，则，
设平面与平面的夹角为，
则
所以舍或，即．
综上，线段上存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，且．
【解析】本题考查面面垂直的判定和证明，空间向量法求二面角，属于较难题．
先由线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明．
根据空间向量的方法，求解平面与平面的法向量，可得，即可求得的值．
22.【答案】解：不妨令，，，则
又，所以，即，
解得代入上式可得，即
已知，的斜率为，，设，的斜率为，，
因为，在椭圆上，所以，，
所以，
同理，
易知，由，所以，
设的方程为：，的方程为：，
联立，则，
解得：，
联立，可得：，
因为直线与椭圆交于，两点，
即，解得：，
联立，可得：，
因为直线与椭圆交于，两点，
即，解得：，
由，可得，
，即，则，
所以，
因为，所以，
的取值范围为
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系、与椭圆有关的轨迹问题，是难题
不妨令，，，结合可求得代入的表达式可得答案
设的方程为：，的方程为：，与椭圆的方程联立，可求得，结合，可得，利用，可求得的取值范围．
第1页，共1页
