陕西省延安市富县2023-2024九年级上学期期末数学试题(含解析)

九年级期末学科素养检测
数学
注意事项:
1.满分120分,答题时间为120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的,是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若方程是关于x的一元二次方程,则的取值范围是( )
A. B. C. D.任意实数
3.风力发电机可以在风力作用下发电,如图,该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合,则的值不可能的是( )
A. B. C. D.
4.如图,这三张卡片正面绘制了不同的图案,反面则完全相同,若把这三张卡片反面朝上放置在桌面上,从中任意抽取两张,则抽到两张卡片均是中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D.1
5.如图,正六边形内接于,若的周长是,则正六边形的半径是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
6.已知抛物线,若点,,都在该抛物线上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.将一个圆心角为,半径为的扇形纸片围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为( )
A. B. C. D.
8.如图,抛物线(其中a为常数)的对称轴为直线,与轴交于两点,则的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
9.将抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到的新抛物线的解析式为 .
10.若关于的一元二次方程的一个根为,则的值为 .
11.如图,在半径为的圆盘上,的长为,若旋转圆盘中心的指针,则指针指向Ⅰ处的概率为 .
12.如图,△ABC与△A 关于点A对称,若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则B的长为 .
13.若点在二次函数的图象上,则的最大值为 .
三、解答题(本大题共13个小题,共81分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
14.解方程:.
15.已知关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围.
16.已知二次函数,将二次函数的解析式化为的形式,并写出对称轴.
17.如图,线段是的一条弦.请用尺规作图法,作出圆心.(保留作图痕迹,不写作法)

18.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,将绕原点顺时针方向旋转,得到,请在坐标系中画出,并写出点的坐标.
19.有三张正面分别标有数字,0,2的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.
(1)随机抽出一张卡片,则抽到的卡片正面数字的绝对值为2的概率为________.
(2)随机抽出一张卡片,记下数字后放回并搅匀,再随机抽出一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率.
20.如图,在中,.将绕点逆时针旋转一定角度得到,且满足,连接,求的度数.
21.今年某县三级联赛的足球比赛中,小明将在地面上的足球对着球门踢出,足球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系,其函数图象如图所示.若不考虑空气阻力,足球飞出时,足球的飞行高度是,足球从飞出到落地共用,求足球飞行的最大高度.
22.小明很喜欢钻研问题,一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片让小明求瓦片所在圆的半径.如图,小明连接瓦片弧线的两端,量得的中点到的距离,,求圆形瓦片所在圆的半径.
23.某商店销售标有“助力陕西”的文化衫,其成本为每件30元.销售大数据分析表明:当每件售价为40元时,平均每月售出600件;若售价每下降1元,其月销售量就增加200件.为了回笼资金,该商店决定降价促销,在库存只有1300件“助力陕西”文化衫的情况下,若预计月获利恰好为8400元,则每件文化衫应降价多少元?
24.已知抛物线,当自变量x的值满足时,与其对应的函数的最大值是,求h的值.
25.如图,四边形内接于,为的直径,,连接,过点作,,垂足分别为.
(1)求证:.
(2)求证:是的切线.
26.问题提出
(1)如图1,的半径为,弦,是弦所对的优弧上的一个动点,求图中阴影部分的面积之和的最小值.
图1
问题解决
(2)如图2,这是某市的一个面积为的圆形宾馆示意图.点为圆心,宾馆设计图纸中有一个四边形区域,连接,其中等边为接待区域,为休息区域,当点在的什么位置上时,四边形区域的面积最大?并求出最大值.
图2
参考答案与解析
1.C
【分析】本题考查了中心对称图形的定义,“如果一个图形绕某点旋转,和自身能够完全重合,那么这个图形叫中心对称图形”,据此即可求解.
【详解】解:下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的,是中心对称图形的是

故选:C.
2.A
【分析】此题考查一元二次方程的定义,根据二次项的系数不为0可得的取值范围.
【详解】解:方程是关于的一元二次方程,

故选:A.
3.A
【分析】本题考查旋转对称图形的概念:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角,该图形被平分成三部分,因而每部分被分成的圆心角是,并且圆具有旋转不变性,因而旋转的整数倍,就可以与自身重合,由此即可得出答案,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
【详解】解:由图可得:该图形被平分成三部分,每份的度数为,
旋转的整数倍,就可以与自身重合,
的值不可能的是,
故选:A.
4.B
【分析】本题考查中心对称图形,列表法或树状图法求等可能事件的概率,理解中心对称图形的概念,熟悉列表法或树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键.用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果,找出两张卡片均绘制中心对称图形的结果数,再利用等可能事件的概率公式求出即可.
【详解】这三张卡片分别记为A,B,C,其中B,C的正面分别绘制的是中心对称图形.
画树状图如下:
由树状图可知,一共有6种等可能的情况,其中两张卡片均绘制中心对称图形的有2种情况,
∴P(两张卡片均绘制中心对称图形).
故选:B
5.B
【分析】本题考查正多边形与圆的相关计算,连接、,根据的周长等于,可得的半径,而六边形是正六边形,即知,是等边三角形,即可得正六边形的边长为6.
【详解】解:连接、,如图:
的周长等于,
的半径,
六边形是正六边形,

是等边三角形,

即正六边形的半径为6,
故答案为:6.
6.D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,由抛物线解析式得出抛物线开口向下,对称轴为直线,再根据点距离抛物线越远,函数值越小,即可得出答案,熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键.
【详解】解:,
,抛物线开口向下,对称轴为直线,
,,,,

故选:D.
7.B
【分析】本题考查圆锥的计算,圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系,列方程求解是解题关键.根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长关系,结合圆周长公式计算即可.
【详解】解:设圆锥的底面圆的半径为r,
根据题意可得:
,解得.
故选:B.
8.C
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与轴的交点,先根据抛物线(其中a为常数)的对称轴为直线求出,从而得到抛物线的解析式为,求出的坐标,即可得出答案,熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键.
【详解】解:抛物线(其中a为常数)的对称轴为直线,


抛物线的解析式为,
令,得,
解得:,,
,,

故选:C.
9.
【分析】主要考查的是函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行求解.
【详解】解:将抛物线先向右平移3个单位长度,得:;
再向上平移5个单位长度,得:,
故答案为:.
10.2
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程,能使一元二次方程左右两边 的未知数的值是一元二次方程的解,将代入一元二次方程得:,再解关于的方程即可,熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键.
【详解】解:将代入一元二次方程得:,
解得:,
故答案为:.
11.
【分析】本题考查了几何概率,求出该圆盘的周长,再根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”,即可解答.
【详解】解:根据题意可得,
该圆盘的周长,
∵的长为,
∴指针指向Ⅰ处的概率,
故答案为:.
12.4
【分析】∵根据对称的性质得到A=AB,利用直角三角形30°角的性质求出AB=2AC=2,即可求出B.
【详解】解:∵△ABC与△A 关于点A对称,
∴△ABC≌△A,
∴A=AB,
∵∠C=90°,∠B=30°,AC=1,
∴AB=2AC=2,
∴A=2,
∴B=AB+A=2+2=4,
故答案为:4.
【点睛】此题考查了对称的性质,全等三角形的性质,直角三角形30° 角的性质,正确理解对称的性质是解题的关键.
13.
【分析】本题考查了二次函数的性质,将代入二次函数解析式可得,从而得出,由此即可得出答案,熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键.
【详解】解:点在二次函数的图象上,


当时,的值最大,最大为,
故答案为:.
14.,
【分析】先移项得到,然后利用因式分解法解方程.
【详解】解:
移项得:,
分解因式得:,
∴或,
解得:,.
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
15.的取值范围为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程的根与有如下关系:①,方程有两个不相等的实数根,②,方程有两个相等的实数根,③,方程没有实数根.根据关于的一元二次方程有两个实数根可得,计算即可得出答案,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个实数根,
,即,
解得,
故的取值范围为.
16.,对称轴是直线
【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式,二次函数的性质,用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式,由此即可得出对称轴,熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键.
【详解】解:,对称轴是直线.
17.见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线,在圆上任取一点(异于、两点),连接,分别作出、的垂直平分线,交于点,点即为所作,熟练掌握作线段垂直平分线的方法是解此题的关键.
【详解】解:如图,圆心即为所求,

18.图见解析,点的坐标为
【分析】本题主要考查了作图—旋转变换,坐标与图形,先根据旋转的性质分别作出点对应的点,再顺次连接即可,由图即可得出点的坐标,熟练掌握旋转的性质是解此题的关键.
【详解】解:如图,即为所作,

由图可得:点的坐标为.
19.(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率,列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件,用到的知识点为:概率等于所求情况数与总情况数之比.
(1)直接根据概率公式求解即可;
(2)画树状图得出所有等可能的结果数,再从中找到符合条件的结果数,然后再用概率公式求解即可.
【详解】(1)解:,,,
随机抽出一张卡片,则抽到的卡片正面数字的绝对值为2的概率为,
故答案为:;
(2)解:画树状图如下:
共有9种等可能的结果,两次抽出的卡片上的数字之和是0的结果有3种,
∴两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率.
20.
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理、平行线的性质,由旋转的性质可得,,由等边对等角可得,由平行线的性质可得,由三角形内角和定理得出,即可得出答案,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
【详解】解:∵将绕点逆时针旋转一定角度得到,
∴,,
∴,


∴,
∴.
21.足球飞行的最大高度是
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,该函数图象过坐标原点,所以对应解析式中的常数项为0,设函数解析式为,再代入,可求出解析式,配方成顶点式即可求得.
【详解】解:设y关于x的函数解析式为.
依题意,可得点,在抛物线上,
将点,代入,
得,解得,
∴抛物线的解析式为.

故足球飞行的最大高度是.
22.圆形瓦片所在圆的半径为
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理,设圆的半径为,由题意可得延长必过圆的圆心,设圆心为,连接,则,,,由勾股定理可得,,求解即可得出答案,熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键.
【详解】解:设圆的半径为,
为的中点,,
∴延长必过圆的圆心,
如图,设圆心为,连接,

∴,,,
由勾股定理,得,即,
解得,
故圆形瓦片所在圆的半径为.
23.每件文化衫应降价3元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用,设每件文化衫应降价元,根据“月获利恰好为8400元”列出一元二次方程,解方程即可得出答案,理解题意,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解此题的关键.
【详解】解:设每件文化衫应降价元,
根据题意,列方程得,
整理,得,
解得,,
当时,销售量为1400件,而,故(舍去);
当时,销售量为1200件,而,故,
答:每件文化衫应降价3元.
24.h的值为8或2
【分析】本题考查二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键.根据二次函数的性质,分和,两种情况进行讨论求解即可.
【详解】解:∵,顶点坐标为,,
∴在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.
∵当时,与其对应的函数的最大值是,
∴在对称轴的同侧.
①当,时,y取得最大值,
∴,解得或(舍去).
②当,时,y取得最大值,
∴,解得或(舍去).
综上所述,h的值为8或2.
25.(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、圆的切线的判定等知识点,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
(1)由圆内接四边形的性质得出,由等边对等角得出,再根据三角形外角的定义及性质得出,即可得证;
(2)由圆内接四边形的性质得出,由(1)可知,从而得到,从而得出,推出,由平行线的性质可得,即可得证.
【详解】(1)证明:四边形内接于,







(2)证明:,,

由(1)可知,






为半径,
是的切线.
26.(1)(2)当为的中点时,四边形区域的面积最大,最大值为
【分析】(1)连接,设为优弧的中点,连接,并延长交于点E,则,此时点到的距离最大,故点与点重合时,阴影部分的面积之和最小,由此进行计算即可得出答案;
(2)连接,设相交于点,由题意得,当为的中点时,四边形区域的面积最大,由等边三角形的性质可得,,由圆周角定理可得,结合为的中点,得出从而得到四边形是菱形,求出,,,,最后根据进行计算即可.
【详解】解:(1)如图1,连接,设为优弧的中点,连接,并延长交于点E,则,此时点到的距离最大,故点与点重合时,阴影部分的面积之和最小,
图1

的半径为,,,



∴图中阴影部分的面积之和的最小值为;
(2)如图2,连接,设相交于点,
图2
由题意得,当为的中点时,四边形区域的面积最大,
是等边三角形,
,,
是的直径,


为的中点,


四边形是菱形,

,即,
在中,,,


故当为的中点时,四边形区域的面积最大,最大值为.
【点睛】本题考查圆的综合运用,涉及扇形面积的计算、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点,熟练掌握以上知识点并灵活运用,添加适当的辅助线是解此题的关键.

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