九年级期末学科素养检测
数学
注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟.
2．请将各题答案填写在答题卡上.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若方程是关于x的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
3．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，这三张卡片正面绘制了不同的图案，反面则完全相同，若把这三张卡片反面朝上放置在桌面上，从中任意抽取两张，则抽到两张卡片均是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的半径是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
6．已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．将一个圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与轴交于两点，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为 ．
10．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
11．如图，在半径为的圆盘上，的长为，若旋转圆盘中心的指针，则指针指向Ⅰ处的概率为 ．
12．如图，△ABC与△A 关于点A对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则B的长为 ．
13．若点在二次函数的图象上，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．解方程：．
15．已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．
16．已知二次函数，将二次函数的解析式化为的形式，并写出对称轴．
17．如图，线段是的一条弦．请用尺规作图法，作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点顺时针方向旋转，得到，请在坐标系中画出，并写出点的坐标．
19．有三张正面分别标有数字，0，2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．
(1)随机抽出一张卡片，则抽到的卡片正面数字的绝对值为2的概率为________．
(2)随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率．
20．如图，在中，．将绕点逆时针旋转一定角度得到，且满足，连接，求的度数．
21．今年某县三级联赛的足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用，求足球飞行的最大高度．
22．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片让小明求瓦片所在圆的半径．如图，小明连接瓦片弧线的两端，量得的中点到的距离，，求圆形瓦片所在圆的半径．
23．某商店销售标有“助力陕西”的文化衫，其成本为每件30元．销售大数据分析表明：当每件售价为40元时，平均每月售出600件；若售价每下降1元，其月销售量就增加200件．为了回笼资金，该商店决定降价促销，在库存只有1300件“助力陕西”文化衫的情况下，若预计月获利恰好为8400元，则每件文化衫应降价多少元？
24．已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值．
25．如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为．
(1)求证：．
(2)求证：是的切线．
26．问题提出
（1）如图1，的半径为，弦，是弦所对的优弧上的一个动点，求图中阴影部分的面积之和的最小值．
图1
问题解决
（2）如图2，这是某市的一个面积为的圆形宾馆示意图．点为圆心，宾馆设计图纸中有一个四边形区域，连接，其中等边为接待区域，为休息区域，当点在的什么位置上时，四边形区域的面积最大？并求出最大值．
图2
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解．
【详解】解：下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是
．
故选：C．
2．A
【分析】此题考查一元二次方程的定义，根据二次项的系数不为0可得的取值范围．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：该图形被平分成三部分，每份的度数为，
旋转的整数倍，就可以与自身重合，
的值不可能的是，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查中心对称图形，列表法或树状图法求等可能事件的概率，理解中心对称图形的概念，熟悉列表法或树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，找出两张卡片均绘制中心对称图形的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】这三张卡片分别记为A，B，C，其中B，C的正面分别绘制的是中心对称图形．
画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能的情况，其中两张卡片均绘制中心对称图形的有2种情况，
∴P（两张卡片均绘制中心对称图形）．
故选：B
5．B
【分析】本题考查正多边形与圆的相关计算，连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长为6．
【详解】解：连接、，如图：
的周长等于，
的半径，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
即正六边形的半径为6，
故答案为：6．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据点距离抛物线越远，函数值越小，即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
，，，，
，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解是解题关键．根据圆锥的底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长关系，结合圆周长公式计算即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r,
根据题意可得：
，解得．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与轴的交点，先根据抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线求出，从而得到抛物线的解析式为，求出的坐标，即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，
，
，
抛物线的解析式为，
令，得，
解得：，，
，，
，
故选：C．
9．
【分析】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得：；
再向上平移5个单位长度，得：，
故答案为：．
10．2
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，能使一元二次方程左右两边 的未知数的值是一元二次方程的解，将代入一元二次方程得：，再解关于的方程即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
【详解】解：将代入一元二次方程得：，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了几何概率，求出该圆盘的周长，再根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”，即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
该圆盘的周长，
∵的长为，
∴指针指向Ⅰ处的概率，
故答案为：．
12．4
【分析】∵根据对称的性质得到A=AB，利用直角三角形30°角的性质求出AB=2AC=2，即可求出B．
【详解】解：∵△ABC与△A 关于点A对称，
∴△ABC≌△A，
∴A=AB，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB=2AC=2，
∴A=2，
∴B=AB+A=2+2=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了对称的性质，全等三角形的性质，直角三角形30° 角的性质，正确理解对称的性质是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了二次函数的性质，将代入二次函数解析式可得，从而得出，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：点在二次函数的图象上，
，
，
当时，的值最大，最大为，
故答案为：．
14．，
【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15．的取值范围为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据关于的一元二次方程有两个实数根可得，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
，即，
解得，
故的取值范围为．
16．，对称轴是直线
【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式，由此即可得出对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，对称轴是直线．
17．见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，在圆上任取一点（异于、两点），连接，分别作出、的垂直平分线，交于点，点即为所作，熟练掌握作线段垂直平分线的方法是解此题的关键．
【详解】解：如图，圆心即为所求，
．
18．图见解析，点的坐标为
【分析】本题主要考查了作图—旋转变换，坐标与图形，先根据旋转的性质分别作出点对应的点，再顺次连接即可，由图即可得出点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，即为所作，
，
由图可得：点的坐标为．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，，，
随机抽出一张卡片，则抽到的卡片正面数字的绝对值为2的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次抽出的卡片上的数字之和是0的结果有3种，
∴两次抽出的卡片上的数字之和是0的概率．
20．
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理、平行线的性质，由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由平行线的性质可得，由三角形内角和定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转一定角度得到，
∴，，
∴，
，
，
∴，
∴．
21．足球飞行的最大高度是
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，该函数图象过坐标原点，所以对应解析式中的常数项为0，设函数解析式为，再代入，可求出解析式，配方成顶点式即可求得．
【详解】解：设y关于x的函数解析式为．
依题意，可得点，在抛物线上，
将点，代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
，
故足球飞行的最大高度是．
22．圆形瓦片所在圆的半径为
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，设圆的半径为，由题意可得延长必过圆的圆心，设圆心为，连接，则，，，由勾股定理可得，，求解即可得出答案，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设圆的半径为，
为的中点，，
∴延长必过圆的圆心，
如图，设圆心为，连接，
，
∴，，，
由勾股定理，得，即，
解得，
故圆形瓦片所在圆的半径为．
23．每件文化衫应降价3元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫应降价元，根据“月获利恰好为8400元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设每件文化衫应降价元，
根据题意，列方程得，
整理，得，
解得，，
当时，销售量为1400件，而，故（舍去）；
当时，销售量为1200件，而，故，
答：每件文化衫应降价3元．
24．h的值为8或2
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，顶点坐标为，，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
∵当时，与其对应的函数的最大值是，
∴在对称轴的同侧．
①当，时，y取得最大值，
∴，解得或（舍去）．
②当，时，y取得最大值，
∴，解得或（舍去）．
综上所述，h的值为8或2．
25．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、圆的切线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质得出，由等边对等角得出，再根据三角形外角的定义及性质得出，即可得证；
（2）由圆内接四边形的性质得出，由（1）可知，从而得到，从而得出，推出，由平行线的性质可得，即可得证．
【详解】（1）证明：四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线．
26．（1）（2）当为的中点时，四边形区域的面积最大，最大值为
【分析】（1）连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，阴影部分的面积之和最小，由此进行计算即可得出答案；
（2）连接，设相交于点，由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，由等边三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，结合为的中点，得出从而得到四边形是菱形，求出，，，，最后根据进行计算即可．
【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，阴影部分的面积之和最小，
图1
，
的半径为，，，
，
，
，
∴图中阴影部分的面积之和的最小值为；
（2）如图2，连接，设相交于点，
图2
由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，
是等边三角形，
，，
是的直径，
，
，
为的中点，
，
，
四边形是菱形，
，
，即，
在中，，，
，
，
故当为的中点时，四边形区域的面积最大，最大值为．
【点睛】本题考查圆的综合运用，涉及扇形面积的计算、菱形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
