高 2026届高一（上）期末考试数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B B B C A C
解析：
7 7 1 1 1 1 1
5. cos 2t 1 2sin2 t sin t ，故 1 sin t 是 sin t 的必要不充分条件。
9 9 3 3 3 3 3
3 2
2 1
6. a = 25 b = 25 1,c = log log ，故a b c 1 1 =1
3 2
2 2
12 3 1 12 3 1 12
7．cos + = 3 cos cos a sin a = 3 cos ， cos a + sin a = ，
6 13 2 2 13 2 2 13
12 5 3
sin a+ = ， , + 0， ，cos a+ = sin = ， ,
3 13 3 6 3 2 3 13 5 2
4
cos = cos + + = cos + + = cos + cos sin + sin
5 3 3 3 3
5 4 12 3 56
= =
13 5 13 5 65
8.当 x ,0 , x , ，因为 f (x) 在 ,0 上单调递增，故
12 3 12 3 3 12
3 3
，则0 2；当 x , ， x , ，且
12 3 2 2 2 3 2 3 2 3
2 3 8 3
, ， , ，又因为 f (x) 在 , 上有且仅有 1 个零点，故讨2 3 3 3 2 3 3 3 2 2
2
0 0 3 2 3 2 2 2 3 3 8 14
论两种情况：① ②
3 9 3 3 9 90 2
2 3 2 3
2 2 8 14
综上： 的取值范围为 , ,
9 3 9 9
二、多选题
9 10 11 12
ACD BCD BC ACD
解析：
1
{#{QQABBYSAgggoABBAARgCQQEICEKQkAECACoOxAAEMAIAQAFABCA=}#}
2
9.根据幂函数的定义，可得a 3a +3=1 a =1或2，故 A 正确，当a = 2, f (x)为非奇非偶函数，故 B
错误，a =1或2，f (x)均为增函数，C 正确；幂函数均经过 (1，1)，D 正确
3 5 3
10.根据图像易得 T = = T = = 2 ,故 A 错误，
4 6 12 4
x = 时，2 + = + 2k = +2k ， 0 , = ，故 f ( x) = 3 sin 2x + ，故
12 12 2 3 3 3
B 正确，将 ,0 带入解析式易得是 f ( x)的一个对称中心，C正确，令 + 2k 2x + + 2k ，
6 2 3 2
5
解得 + k x + k ， k Z .故 D 正确。
12 12
2
1 1 (2ln x +1 2ln x) 1 1
11.A 选项 lg x 可能为负，B 项 2ln x (1 2ln x) = （当且仅当 ln x = 时取等），
2 2 4 8 4
故 正确， 项2sin x + 21 sin x 2 2sin x 21 sin x
1
B C = 2 2 （当且仅当 sin x =1 sin x sin x = 时取等），
2
cos2 x 1 cos2 x sin2 x + cos2 x cos2 x sin2 x
C 正确。 + = + =1+ +
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x
cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x
1+2 =3（当且仅当 = sin2 x = cos2 x 时取等），D 错误。
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x
12．对于 A. g ( 3) = f (1) =1，故 A 正确， g(x) = f (4+ x) g (x 4) = f (x)，
f (x + y)+ f (x y) = f (x) f ( y )，令 y =1，则 f (x +1)+ f (x 1) = f (x)①，故
f (x + 2)+ f (x) = f (x+1)②，①+②可得 f (x +1)+ f (x+2) = 0，故 f (x)=f (x+6)，因此T = 6 ,故
C 正确,令 x = 0, f ( y)+ f ( y) = f (0) f ( y)，令 x =1, y = 0,2 f (1) = f (1) f (0)，则 f (0) = 2 ，故
x = 0, f ( y)+ f ( y) = 2f ( y) f ( y) = f ( y)，故 f ( x)为偶函数，因为 f (x)=f (x + 6) = f ( x)，
故 f ( x)关于 x = 3对称，且 f (0) = 2 ， f (1) =1，令 x =1， y =1，则 f (2) = 1，令 x = 2，y =1，
f (3) = 2 ，则 f (4) = f (2) = 1, f (5) = f (1) =1, f (6) = f (0) = 2，一个周期的和为 0，则
2026
f (k ) = f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4) = 3，故 D 正确
k=1
三、填空题
2
{#{QQABBYSAgggoABBAARgCQQEICEKQkAECACoOxAAEMAIAQAFABCA=}#}
3 13
13. (1,+ ) 14. 7 15. 2 16. ，
2 8
解析：
1+sin 2x cos2 x + sin2 x + 2sin xcos x 1+ tan2 x + 2 tan x
15. = = = 2
cos 2x cos2 x sin2 x 1 tan2 x
1
16.由 f (a) = f (b)，易得 ln a = ln b = ln ，则ab =1， f (c) = f (d )，则c + d =12 ，则
b
3(c + d ) 9 1 9 3 13
a + = a + ，由图像易知， a 1，结合对勾函数图像，则a + ，
64a2b 16a 2 16a 2 8
四、解答题
17 答案：（1） (1，2) （2） 2，+ )
x 2
解析：（1） 0 (x 1)(x 2) 0 1 x 2，所以 A = (1，2)……………….2分
x 1
当 a = 3时，解得B= ( 1,3)，则 A B= (1，2)…………………………………………5 分
（2） A = (1，2)，B= ( 1,a)， A B a 2 …………………………………………10分
2 2 4 2
18. 答案：（1） ， (2) -3
3 7
1 2 2
解析：（1）根据三角函数的定义：cos = ,sin a = ……………………………………….2 分
3 3
2 tan 4 2 4 2
则 tan a = 2 2 , tan 2a = = = …………………………………………….6分
1 tan2 7 7
7
sin + tan ( )
sin
cos
2 cos tan 1
（2） = = cos = = 3……….12 分
sin cos sin cos cos
cos cos ( )
( )
2
19. 答案：（1）见解析 （2） 2，+ )
ex e x ex + e x
解析：若选择①：由题意sinh x = ， cosh x = ，
2 2
2 2
x x x x (e2x + e 2x e + e e e + 2) (e2x + e 2x 2)2 2 4
则 cosh x sinh x= = = =1
2 2 4 4
若选择②：
3
{#{QQABBYSAgggoABBAARgCQQEICEKQkAECACoOxAAEMAIAQAFABCA=}#}
2 2 2x 2x 2x 2x
2 2 e
x + e x ex e x (e + e + 2)+ (e + e 2) e2x + e 2x
cosh x + sinh x= + = = =cosh 2x
2 2 4 2
……………………………………………………………………………………………………………5分
ex + e x 2 ex e x
（2）法一：cosh2 x + sinh2 x + cosh x=2cosh2 x 1+ cosh x ，令 t = cosh x = =1
2 2
2
当且仅当 x = 0 时取等，令 f (x) = cosh x + sinh2 x + cosh x = g (t ) = 2t 2 1+ t ，所以 g (t )在 1，+ )上
单调递增，故 g (t ) g (2) = 2 ，故 g (t )的值域为 2，+ )
e2x + e 2x ex + e x
t = ex + e x法二：cosh 2x + cosh x= + ,令 2，
2 2
t2 = e2x + e 2x + 2 e2x + e 2x = t2 2
21 2 1 1 9
令 f (x) = cosh 2x + cosh x = g (t )，则 g (t ) = (t 2+ t ) = t+ ，所以 g (t )在 2，+ )上
2 2 2 4
单调递增，故 g (t ) g (2) = 2 ，故 g (t )的值域为 2，+ )
……………………………………………………………………………………………………………12分
8 15
20. 答案：（1） ( log2 3，+ ) （2） ,
3 4
2x 1 1 x t 1 1 1
解析：(1) ，令2 = t (t 0) , 2(t 1) (t +1) t
2x +1 2 t +1 2 3
1 1
故 2x x log2 = log2 3……………………………………………………….5分
3 3
2x 1 a
(2) g (x) = log (2x x4 1) log4 2 = log4 , log4 af (x) log xx 4 (2 1) = log4 2 2x +1
x x2 1 a (2 +1)(2x 1) x
log ,故 g x = log4 = log4 a = ( )x x x 4 af (x) log4 (2 1)(a 0) 2 2 +1 2
(2x +1)(2x 1)
log x在 2 3，2 上有解，等价于a = 在 logx 2 3，2 上有解，令2 = t 3,4 ， 2
(2x +1)(2x 1) (t +1)(t 1) t2 1 1 1
y = = = = t ，t 3,4 ，故函数 y = t 在 t x 3,4 上单调递增，2 t t t t
8 15 8 15
则当 t = 3, y = ，当 t = 4, y = ，故a , ………………………….………….12 分 3 4 3 4
4
{#{QQABBYSAgggoABBAARgCQQEICEKQkAECACoOxAAEMAIAQAFABCA=}#}
k
21. 答案：（1） f (x)=2sin 2x ， x = + ,k Z （2）50 sin t ，50
6 3 2 12 6
1 cos 2 x
解析：(1） f (x)=2 0 + 2sin 2 0xcos +C = 3 sin 2 0x cos 2 0x +1+C
2 6
= 2sin 2 x0 +1+C ,所以 2+1+C = 2 C = 1 ,因为相邻两条对称轴的距离为 ，所以半周期为
6 2
T 2
= T = ，故 = 0 =1， f (x)=2sin 2x …………………………………….4 分
2 2 2 0 6
k
令 2x = +k x = + ,k Z …………………………………..……………………….6 分
6 2 3 2
24
(2) f (t )向右平移 得到 y=2sin 2t ，将横坐标伸长为原来的 倍，得到 y=2sin t ，
6 2 12 2
将纵坐标扩大为原来的 25 倍，得到 y=50sin t ，再将其向上平移 60 个单位，得到
12 2
y=50sin t +60 ………………………………………………………………………...….8 分
12 2
2
游客甲与游客乙中间隔了 3 个座舱,则相隔了 4= ，令H甲=50sin t + 60 ，则
24 3 12 2
5 5
H乙=50sin t + 60 ，则h= H甲 H乙 =50 sin t sin t
12 6 12 2 12 6
3 1
=50 sin t cos t = 50 sin t ， = ，T =24，0 t 24，故
2 12 2 12 12 6 12
11 3
故 t ，当 t = 或 t = 8或20 时，hmax = 50 ………………..12 分
6 12 6 6 12 6 2 2
3
22. 答案：（1） f (2) =1,证明见解析 （2） 0， 2
2
f (2) f (x + y) x + y f (x + y) f (x) f ( y )
解析：（1）令 x = y =1, = 2 f (2) =1， = = 2 ， f (1) f (x) f ( y) xy x + y x y
则 g(x+y)=g (x) g ( y)，令 x1 x2 0，则 g (x1 ) g (x2 ) = g (x1 x2 + x 2 ) g (x2 )=
=g (x1 x2 ) g (x2 ) g (x2 )=g (x2 )(g (x1 x2 ) 1)，因为 x1 x2 0，所以 g (x1 x2 ) 1，又因为 x2 0，
故 g (x2 ) 0，所以 g (x2 )(g (x1 x2 ) 1) 0，所以 g (x1 ) g (x2 )，因为 g(x) 在 (0，+ )上单调递增
5
{#{QQABBYSAgggoABBAARgCQQEICEKQkAECACoOxAAEMAIAQAFABCA=}#}
……………………………………………………………………………………………………………………5 分
（2）由（1）可知， g(x)在 (0，+ )上单调递增， g( sin 2x0 + a (sin x0 + cos x0 )+ b+1) g (t )，
故任意的a 2，b R ，总存在 x0 , ， sin 2x0 + a (sin x0 + cos x0 )+b+1 t …………..6 分
4 2
令m = sin x0 + cos x0 = 2 sin x + 0 1, 2 ，m
2 =1+ 2sin x0 cos x0 sin 2x0 = m
2 1
4
sin 2x0 + a (sin x0 + cos x0 )+ b+1 = m
2 + am +b ，则任意的a 2，b R ，存在m 1, 2 ，使得
m2 + am+ b t ，则令 (m) = m2 + am+ b ，只需 (m) t ，…………………………………8 分
max
a
因为a 2，所以m对=- 1，故 y = m
2 + am+b 在 1, 2 上单调递增， 2
ymax = 2+ 2a +b, ymin =1+ a +b，则当：
① 2+ 2a + b+1+ a + b 0 时， (m) = 2+ 2a + b =2+ 2a + b max
② 2+ 2a + b+1+ a + b 0 ， (m) = 1+ a +b = 1 a b max
( 2 +1)a + 3
2+ 2a + b,b
2
则： (m) = ，将其视为关于b 的函数，令其为h (b)， max
( 2 +1)a + 3
1 a b,b
2
( 2 +1)a + 3 ( 2 +1)a +3
则 h (b)在 , 上递减，在 ，+ 上递增
2 2
( 2 +1)a +3
2 1 1 2 1 1 3 3则 h (b) = h = a + (-2)+ = 2 ，故0 t 2 …12 分
min 2 2 2 2 2 2 2
6
{#{QQABBYSAgggoABBAARgCQQEICEKQkAECACoOxAAEMAIAQAFABCA=}#}高2026届高一（上)期末考试
数学试卷
注意事项：
1,答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。满分150分，考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
7
l.sin-π=(
6
2
B月
D.
2
2.若a>b,c∈R,则下列不等式一定成立的是()
B.ac2>bc2
C.ea
A
B.
2π
C.π
D.
4π
3
3
4.函数f(x)=1g2（-x2+2x)的单调递增区间为()
A.(-oo,1)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(1,+o)
5“-1≤n1<兮是“c0s2>写”的(
·)条件
A充分不必要
B必要不充分
C充分必要条件
D.既不充分也不必要
6已知a=2,b
则a,b,c的大小关系为(
A.c>a>b
B.a>c>b
C.a>b>c
D.c>b>a
1已蜘aq(r引，B5小且调是oa+引-5coa贵血9
3
高一数学第1页（共4页）
0000000
则cosa++到}()
56
B.-16
C16
D.
56
A.
65
65
65
65
8.已知函数f()=sin(or-
上单调递增，且在
r3π
上有且仅
2’2
有1个零点，则)的取值范围为(
))c引[6》
A
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分)
9.已知幂函数f(x)=(a2-3a+3)x,则下列说法正确的有()
A.a=1或2B.f(x)一定为奇函数C.f(x)一定为增函数D.f(x)必过点(1,1)
10.下图是函数f(x)=Asin(aox+p)(0
B9号c(后0是f()的-个对称中心
D了的单调运推区同为[侣+，音+e2
11.下列说法正确的有（
Af(x)=gx+的最小值为2
lgx
B.f(x)=lnx(1-2lnx)的最大值为
C.∫(x)=2im*+2-ix的最小值为2√2
D./(x)=os1
sin2x cos2x
一的最小值为2
12.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且g(x)=f(4+x),
∫(x+y)+f(x-y)=g(x-4)f(y),g(-3)=1,则下列说法正确的有()
A.f()=1
B.f(x)为奇函数C.f(x)的周期为6
k=l
高一数学第2页（共4页）
0000000
