2023-2024学年湖南省长沙市高三上学期模拟练习卷（一）
一、单选题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A． B．
C．2 D．
3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．20
4．函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若直线(，)截圆：所得的弦长为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足，面ABC，⊥，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且．卢卡斯数列是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中第项的系数为
D．展开式中含项的系数为
10．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数恒满足
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数在上为增函数
11．已知圆锥曲线与（，）的公共焦点为，．点M为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，则下列说法错误的是（ ）
A．的离心率为 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．的渐近线方程为
12．e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．已知正实数a，b满足，则的最小值为 .
14．我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有人与钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”则分钱问题中的人数为 ．
15．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则 .
16．已知为奇函数，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知，，．
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
18．已知数列是公差不为的等差数列，前项和为，，是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，若，求数列前项和为．
19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
20．乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，
甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域 .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在 上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在 上的概率为，在 上的概率为；对落点在 上的来球，小明回球的落点在上的概率为 ，在上的概率为 .假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
21．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与圆相切，证明：为定值
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性;
（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，求证：．
参考答案：
1．B
【分析】由已知可得出，根据交集运算结合集合的含义，即可得出答案.
【详解】解可得，，所以，
，是偶数集，
所以.
故选：B.
2．B
【分析】利用复数除法运算求得，进而求得.
【详解】，
所以.
故选：B
3．B
【分析】根据向量垂直的坐标表示得，再求向量的模；
【详解】解：由，得，则，即
所以.
故选：B
4．B
【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项．
【详解】∵，所以，故排除C，D，
当时，恒成立，排除A，
故选：B．
5．C
【分析】根据对数的运算性质可得，即可得出，则；又，即可得出.
【详解】，
所以，所以.
，所以.
所以有.
故选：C.
6．B
【分析】求出圆的圆心和半径，根据给定弦长可得m，n的关系等式，再借助“1”的妙用即可计算作答.
【详解】圆：，则圆心，半径r=，而直线截圆所得弦长为，
于是得直线过圆心C，即，
因此，，当且仅当时取“=”，
由及解得，且，
所以当且时，的最小值为.
故选：B
7．B
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，得到PB为球的直径，推导出要想该“鞠”的体积最小，只需AB最小，由得到，结合基本不等式，求出最小值，从而得到直径最小值，求出体积最小值.
【详解】因为，面ABC，⊥，
故AB为三角形ABC所在小圆的直径，取AB中点，过作，交BP于点O，则O即为球心，PB为球的直径，
要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，由于，
故只需AB最小，其中，
故，
解得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
故最小值为2，此时直径最小值为，
所以该“鞠”的体积最小值为.
故选：B
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
8．C
【分析】先利用数列的递推式推得，从而推得，由此得解.
【详解】因为，
所以当时，，
所以，
故，
因为，
所以，，
故，
所以.
故选：C.
9．ABD
【分析】由展开式的二项式系数和为求出，即可判断A，令即可得到展开式各项系数和，从而判断B，利用展开式的通项判断C、D.
【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；
对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为1，故B正确；
对于C，因为的展开式通项为，
令可得第4项的系数为，故C不正确；
对于D，在选项C中的通项公式中，
令，得，则，所以含项的系数为，故D正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】根据诱导公式可判断A选项；利用正切型函数的对称性可判断BC选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项， ， A正确；
对于B选项，函数无对称轴，B错；
对于C选项，由可得，
当时，可得，所以，点是函数图象的一个对称中心，C对；
对于D选项，当时，，
所以，函数在上不单调，D错.
故选：AC.
11．AD
【分析】不妨取点M为，第一象限的一个公共点，令根据两曲线有公共焦点,和圆锥曲线定义得到离心率的关系.即可求出.可以判断选项A、B；
由，解得：，求出渐近线方程，可以判断选项C、D.
【详解】不妨取点M为，第一象限的一个公共点，令则曲线的方程为,曲线的方程为.
又由两曲线有公共焦点,则,
由圆锥曲线定义可得:,
解得：.
又，所以，可得：,
整理得.
因为，所以.故A错误；B正确；
由，得：，解得：，所以渐近线方程为.
故C正确，D错误.
故选：AD
12．BC
【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为，
构造函数，则，
∵，
当时，，则，即；
当时，，则，即；
故在上单调递减，在上单调递增，
对于A：取，则
∵在上单调递增，故，
即满足题意，但，A错误；
对于B：若，则有：
当，即时，则，即；
当，即时，由在时单调递增，且，
故，则；
综上所述：， B正确；
对于C：若，则有：
当，即时，显然成立；
当，即时，令，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，所以，即，
由可得，即
又∵由在时单调递增，且，
∴，即；
综上所述：，C正确；
对于D：取，，则，
∵在上单调递减，故，
∴故，满足题意，但，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
（2）商型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
13．/
【分析】将目标式转化为，应用柯西不等式求的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，则，
又，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故答案为：.
14．195
【解析】根据题意列出关系式求解即可.
【详解】解：依题意得，初次分钱时，每人所得钱数依次构成首项为3，公差为1的等差数列，
设人数为，
则总钱数为，
平均分时每人得100，则总钱数为，可得，
解得：，
即分钱问题中的人数为195．
故答案为：195.
15．2
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得的长.
【详解】解：如图，由题可知，的坐标为，设，
联立方程组，可得，
则，.
因为为线段的中点，所以的坐标为.
又以为直径的圆与相交于两点，所以，所以，
解得，又，所以，
所以，故.
故答案为：2.
16．
【分析】根据函数的奇偶性求得，再根据题意推得的关系式，结合的范围，即可求得答案.
【详解】因为为奇函数，
故，
即，由于,故，则，
由于，故，所以，
由，可得，
即
或，
对任意，存在，满足，
故，则,，，k取负值，
则只能，此时，
或，则，则,
综合可得或，
即实数的取值范围是，
故答案为：
17．（1）最小正周期为，单调递减区间为，，（2）最大值2，最小值．
【分析】（1）用向量的数量积的坐标运算求出的解析式，利用周期公式求函数的最小正周期，整体代换的方法求出单调区间；（2），时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得的最大值和最小值．
【详解】，
的最小正周期．
由，．
得：
的单调递减区间为，，．
（2），时，
可得：，
当时，函数取得最小值为．
当时，函数取得最大值为．
所以函数在区间，上的最大值2，最小值．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）由等比中项定义可得，利用表示出和，解方程组可求得，由等差数列通项公式可求得；
（2）由（1）可得，进而得到，利用错位相减法即可求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
是与的等比中项，，又，
，解得：，.
（2）由（1）得：，，，
则
两式作差得：
，
．
【点睛】方法点睛：当数列通项公式满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接AC,BD交于O，取AD的中点F，连接EF，利用面面垂直性质定理证得PF⊥AC，然后利用菱形证得BD⊥AC,利用线面垂直的判定定理证得AC⊥面EFP，从而证得结论；（2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，写出各点坐标和向量的坐标，设出平面的法向量，利用空间向量数量积求解即可.
【详解】解：（1）连接AC,BD交于O，取AD的中点F，连接EF，
∵PA=PD,∴PF⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，AD面ABCD，
∴PF⊥面ABCD，∴PF⊥AC，
又∵EF为△ABD中BD边的中位线
∴平行且等于
又菱形的对角线相互垂直平分，则BD⊥AC,
∵PF,EF面EFP，PFEF=F，
∴AC⊥面EFP，又PE面EFP，
∴
（2）连接BF，∵，则△ABD为正三角形，
∵F为AD的中点，则BF⊥AD
又∵面PAD⊥面ABCD，AD平面PAD,
∴BF⊥平面PAD，
又DF平面PAD，∴BF⊥DF
以F为原点如图所示建立空间直角坐标系F-，
设AD=2，则PA=AD=BP=2
则，
∴,
∴,,
设平面EPC的法向量为，
∴,即，令，得，
同理，设平面PCB的法向量为，
∴,即，令，得，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
，
故二面角的余弦值为.
20．（I）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（II）机变量的分布列为：
数学期望
【详解】试题分析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（ ）
则，
记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （ ）
则，
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，即可得到小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率.
（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，
由事件的独立性和互斥性，得
可得随机变量的分布列为：
利用数学期望的计算公式得到
试题解析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（ ）
则，
记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （ ）
则，
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，
,
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.
（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，
由事件的独立性和互斥性，得
,
,
,
,
,
,
可得随机变量的分布列为：
所以数学期望
考点：随机变量的分布列与数学期望，互斥事件、独立事件的概率.
21．（1）（2）详见解析
【分析】（1）根据椭圆的有关知识可得，从而可得椭圆的方程；
（2）分直线的斜率存在与否两种情况求解．①当的斜率不存在时，其方程为，可得、的坐标，由向量的数量积可得；②当的斜率存在时，设其方程为，由直线与圆相切得．然后将直线方程与椭圆方程联立、消元，根据根与系数的关系由数量积可得，从而可得．综上可得为定值．
【详解】（1）由题意得，
∴椭圆的方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，所以直线方程为．
当时，可得M、N两点坐标分别为，
，.
当时，同理可得；
②当的斜率存在时，设，
由题意得，，
由，消去整理得，
∵直线与圆相交，∴
设，则，，
，
.
综上（定值） ．
【点睛】直线与圆的综合问题的求解策略
（1）利用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决，解题中要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用．
（2）直线与圆和平面几何联系十分紧密，解题时可考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．
22．（1）见解析
（2）证明过程见解析.
【分析】（1）根据实数的正负性，结合导数的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据零点的定义，结合指数的运算法则，通过构造新函数，利用导数的性质进行证明即可.
【详解】（1）由，可得，
当时，，函数是实数集上的增函数，
当时，令，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
综上所述：当时，函数是实数集上的增函数，
当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；
（2）由（1）可知：当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以函数有最小值，
最小值为：，
因为函数有两个不同的零点，不妨设，
因为当时，，当时，，
所以有，即，
，
因为函数有两个不同的零点，
所以，
因此
令，构造函数，
因为，所以，因此，
所以当时，函数单调递减，故有，而，
所以.
【点睛】关键点睛：通过零点得到，根据指数的运算性质得到的表达式，结合构造新函数是解题的关键.
