高三数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D D B D A
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 BCD ACD AB ACD
三、填空题
题号 13 14 15 16
答案 或
四、解答题
17．（1）法一：因为，所以，
整理得，
所以，
又因为，所以；
法二：因，所以，由正弦定理得
，
整理得，
因为，所以，
又因为，
所以；
（2）由余弦定理得，，，
所以，
所以，或（舍），
所以的面积.
18．（1）因为平面，平面，所以，
又，，所以，在中，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面；
（2）（方法一）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以，设与平面所成角为，
则，，∴，
即与平面所成角的余弦值为．
（2）（方法二）过点作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，
则为与平面所成角的平面角，在中，，
在中，，∴在中，，故，
即与平面所成角的余弦值为.
19．（1）由对任意整数均有，取，得，
当时，，
当时，，符合上式，所以.
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，若，则，
若，则，
且当时，满足.
综上所述：
20．（1）当时，，，
可得，
由双曲线的定义可知，，
两边同时平方可得，，
所以 ①
又双曲线的离心率为，所以 ②
由①②可得，，，所以，
所以双曲线的标准方程为．
（2）当直线与轴垂直时，点与原点重合，
此时，，，所以，，．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，
由题意知且，
将直线的方程与双曲线方程联立，消去得，，
则，，．
易知点的坐标为，
则由，可得，
所以，
同理可得．
所以．
综上，为定值．
21．（1）由题可知，单件产品为次品的概率为0.02，所以，
所以，，
所以，
由可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.014，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的.
（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，7000，
则，，
所以，
若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为6000，8000，
则，，
所以，
所以，
则当时，，应先检测乙部件；
当时，，先检测甲部件或乙部件均可；
当时，，应先检测甲部件.
22．（1）的定义域为，，
当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，
当时，由，可得，
当时，，当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由题可得，
两式相减可得，
要证，即证，
即证，即证，
令，则，即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，故原命题成立．龙岗区2023-2024学年第一学期高三期末质量监测
数学试卷
注意事项：
1．本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。
3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。
4．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内。
5．考试结束，请将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知数列为等差数列，为其前项和，，则
A． B． C． D．
4．已知，且，则的值为
A． B． C． D．
5．已知，则
A． B．2 C． D．
6．过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为
A．2 B． C． D．
7．已知函数是偶函数，则的值是
A．1 B． C．2 D．
8．已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．关于二项式的展开式，下列结论正确的是
A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为
C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项
10．已知，是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是
A． B．
C． D．在上的投影向量为
11．下列说法中正确的是
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32
12．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最小正周期为 ．
14．有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从6人中任选4人承担 这三项任务，则共有 种不同的选法．
15．已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，，则的离心率为 ．
16．已知函数（且），若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求的面积．
18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面，，.
（1）求证：AB 平面PBC；
（2）若是的中点，求与平面所成角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知数列满足，且对任意正整数，都有
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．当时，的面积为5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线与轴交于点，且，，求证：为定值．
21．（本小题满分12分）
某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．
（1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求，并说明上述监控生产过程规定的合理性；
（2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．
参考数据：．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，且．证明：．
