成都市部分中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟训练一
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的正切值为（ ）
A． B． C． D．0
3．为深入贯彻落实习近平总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神，巩固深化党史学习教育成果，激励和动员广大教师立大志、明大德、成大才、担大任，以优异成绩迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题党史知识竞赛活动，其中初中部180名教师的竞赛成绩的平均分为90分，方差为2，高中部270名教师的竞赛成绩的平均分也为90分，方差为3，则该校全体教师的竞赛成绩的方差为（ ）
A．13 B．26 C．1.3 D．2.6
4．公司邀请用户参加某产品的试用并评分，满意度为10分的有1人，满意度为9分的有1人，满意度为8分的有2人，满意度为7分的有4人，满意度为5分和4分的各有1人，则该产品用户满意度评分的平均数 众数 中位数 85%分位数分别为（ ）
A．8分，7分，7分，9分 B．8分，7分，7分，8.5分
C．7.2分，7分，7分，9分 D．7.2分，7分，7分，8.5分
5．连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：
①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．
以上命题中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知曲线的方程为，下列说法错误的是（ ）
A．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件
B．当时，曲线是半径为2的圆
C．存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线
D．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
8．已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或2
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9．在平行六面体中，分别是的中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，，则（ ）
A．平面 B．
C．三棱锥的体积是定值 D．三棱锥的外接球的表面积是
10．已知在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上（不与原点重合），满足，坐标平面内一点满足，则（ ）
A．线段中点的轨迹方程为 B．动点的轨迹是一条线段
C．线段的中点到直线的最大距离是
D．动点到直线的最大距离是6
11．一个袋子中有3个红球，m个黑球，采用不放回方式从中依次取球，每次取1个，每个球被取出的可能性相等，已知取出2个球都是黑球的的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.若取出2球，颜色为一红一黑的概率为 C.若取出2球，颜色相同的概率为
D.若直到某种颜色的球全部被取出，最后取出的球是黑球的概率为
12．已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．若空间向量 共面， 则实数
14．已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为 .
15．某单位有甲、乙、丙三个部门，分别有职员27人、63人和81人，现按分层抽样的方法从各部门中抽取组建一个代表队参加某项活动；其中乙部门抽取7人，则该单位共抽取 人.
16．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为 ，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为，则双曲线C的方程为 .
四、解答题：本大题有6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.
(1)求x的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的
（i）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）；
（ii）中位数（结果用分数表示）.
18．如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
19．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点的坐标为(3，-3).
（1）求过点且与圆相切的直线方程.
（2）已知圆，若圆与圆的公共弦长为，求圆的方程.
20．在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录.甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为，乙每次射中十环的概率为，在每次射击中，甲和乙互不影响.已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为.
(1)求；
(2)甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环次的概率.
21．已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
22．定义椭圆C：上的点的“圆化点”为．已知椭圆C的离心率为，“圆化点”D在圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由．
（模拟训练一）
1-8 AADCD BCB
9．ACD， 10．AD 11．ACD 12．BD
13．1 14． 15．
16． 【详解】因为，所以，
作于H，如下图所示，则，.又∵，
∴，∴.∴.
因为，所以双曲线C的渐近线方程为，如下图所示，
设，因为，所以，
所以.设，点Q到两条渐近线的距离分别为，，
则四边形OMQN的面积为，
而，
所以，解得：，
∴，故双曲线C的方程为.
17．(1) (2)（i）（ii）
【详解】（1），所以；
（2）（i）：
（ii）因为，
，
所以中位数在8和12之间，
设中位数是，所以，可得.
18.(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：因为点分别为棱的中点，所以.
又平面，平面，且，所以平面ADE.
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，
得，.设平面的法向量为，
则取，则，，即.
由平面，得平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
19．（1）过点且与圆相切的直线方程为：或；（2）圆的方程为或.
【详解】（1）当直线的斜率不存在时，显然直线与圆相切，
当直线的斜率存在时，设切线方程为：，
圆心到直线的距离等于半径，解得，
切线方程为：，
综上，过点且与圆相切的直线方程为：或.
（2）圆与圆，
相减得圆与圆的公共弦所在直线方程，
圆的圆心为(1，0)，，
设到直线的距离为，∴，
又∵圆与圆公共弦长为，∴，即，解得，
∴圆的方程为或.
20．(1)(2)
【详解】（1）设事件“两人各射击一次至少有一人射中十环”，
则“两人均未射中十环”，
由题意知甲每次射中十环的概率为，乙每次射中十环的概率为，
则甲每次未射中十环的概率为，乙每次未射中十环的概率为，
由对立事件的概率公式与相互独立事件的概率乘法公式可得，
，解得；
（2）设表示事件“甲两次射击恰射中十环次”，，
设表示事件“乙两次射击恰射中十环次”，.
则，，
，.
设“甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次”，
则，且事件与互斥，则由互斥事件的概率加法公式可得，
.
故甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次的概率为.
（1）；（2）
【详解】（1）由椭圆方程可知，
，，
,
，，双曲线的方程；
（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，，
变形为，
22．(1)(2)直线l过定点
【详解】（1）由题意，所以，由得，
又点在圆上，，所以，即，，
所以椭圆C的方程为.
（2）设直线l的方程为，，，其中，联立，
消y得，，由，，，
得
，
因为，则，
即，所以直线l方程为，
即直线l过定点．
