2023-2024学年福建省福州市四校教学联盟高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．（5分）设集合A＝{x|x2+6x+8＜0}，B＝{x|x+3＞0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，+∞） D．（﹣4，﹣2）
2．（5分）已知a＞b＞a+b，则下列结论错误的是（ ）
A． B．2a＞2b C．ab＞（a+b）2 D．
3．（5分）已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx的图象如图所示，则（ ）
A．ea＜ec＜eb B．eb＜ea＜ec C．ea＜eb＜ec D．eb＜ec＜ea
4．（5分）设角α的始边为x轴非负半轴，则“角α的终边在第三、四象限”是“sinα＜0”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知tanα＝﹣2，则（ ）
A．10 B．﹣10 C． D．
6．（5分）容器中有浓度为m%的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为（ ）
A．（）10 m% B．（1）10 m%
C． m% D．（1）9 m%
7．（5分）若a，b为实数，则“a2+b2＝0”是“ab＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（ ）
A．ln（y﹣x+1）＞0 B．ln（y﹣x+1）＜0
C．ln|x﹣y|＞0 D．ln|x﹣y|＜0
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知a＞b＞0，c＞1，且a，b都是不等于1的实数，则下列不等式成立的是（ ）
A．ac＞bc B．logca＜logcb
C．ca＞cb D．
（多选）10．（5分）下列命题中正确的是（ ）
A．当x≥1时，
B．当x＜0时，
C．当0＜x＜1时，
D．当x＞2时，
（多选）11．（5分）关于函数y＝|sin（2x）|，下列叙述正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．直线x是函数图象的一条对称轴
C．函数在[]上单调递增
D．函数在[，π]上先递减，后递增
（多选）12．（5分）已知函数，若g（x）＝3f2（x）﹣mf（x）﹣2m2有6个不同的零点分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，f（x3）＝f（x4）＝f（x5），则下列说法正确的是（ ）
A．当x≤0时，
B．x3+x4的取值范围为
C．当m＜0时，f（x1）+f（x2）+3f（x3x4x5）+f（x6）的取值范围为
D．当m＞0时，f（x1）+f（x2）+3f（x3x4x5）+f（x6）的取值范围为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知扇形的圆心角为30°，面积为，则该扇形的半径为 ．
14．（5分）函数f（x）的定义域为 ．
15．（5分）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为 ．
16．（5分）对于定义在R上的函数f（x），及区间I1，I2 R，记Sk＝{f（x）|x∈Ik}（k＝1，2），若S1∩S2≠ ，则称I1，I2为f（x）的“ψ区间对”．已知函数给出下列四个结论：
①若（﹣∞，0]和（0，+∞）是f（x）的“ψ区间对”，则a的取值范围是（﹣∞，1]；
②若（﹣∞，0]和（0，+∞）不是f（x）的“ψ区间对”，则对任意m＞0，（﹣∞，m]和（m，+∞）也不是f（x）的“ψ区间对”；
③存在实数x0，使得对任意a∈R，（﹣∞，x0]和（x0，+∞）都是f（x）的“ψ区间对”；
④对任意a∈R，都存在实数x0，使得（﹣∞，x0]和（x0，+∞）不是f（x）的“ψ区间对”，
其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设集合，B＝{x|2m≤x≤1﹣m}．
（1）若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
（2）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
18．（12分）用“五点法”作出函数y＝1﹣sinx，x∈[0，2π]的大致图象，并写出使得1≤y≤2的x的取值范围．
19．（12分），_____．从①f（x）的最大值与最小值之和为0，②．
这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（1）求m的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）
20．（12分）如图，某街道拟设立一占地面积为a平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．
（1）设采样点长边为x米，采样点及周围通道的总占地面积为S平方米，试建立S关于x的函数关系式，并指明定义域；
（2）当300≤a≤700时，试求S的最小值，并指出取到最小值时x的取值．
21．（12分）已知函数y＝f（x）满足且y＝f（x）为奇函数．
（1）求m的值；
（2）判断y＝f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）当时，若对于任意的x∈[3，4]，总有成立，求实数b的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x．
（1）求f（1），f（2）的值；
（2）求函数f（x）的周期；
（3）求1≤x≤3时，f（x）的解析式．
2023-2024学年福建省福州市四校教学联盟高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：A＝{x|﹣4＜x＜﹣2}，B＝{x|x＞﹣3}，
∴A∩B＝（﹣3，﹣2）．
故选：B．
2．【解答】解：由a＞b＞a+b得b＜a＜0，
所以，
A正确；
由a＞b，
根据指数函数性质，2a＞2b，
B正确；
取a＝﹣1，b＝﹣2，
则ab＝2，（a+b）2＝9，
则ab＜（a+b）2，
C错误；
，
所以，
D正确．
故选：C．
3．【解答】解：由图象可知：a＜0＜b＜1＜c，
∴ea＜eb＜ec．
故选：C．
4．【解答】解：角α的终边在第三、四象限，则sinα＜0，
反之，若sinα＜0，则角α的终边在第三、四象限或者y轴的非正半轴，
所以“角α的终边在第三、四象限”是“sinα＜0”的充分不必要条件．
故选：C．
5．【解答】解：因为tanα＝﹣2，
所以10．
故选：A．
6．【解答】解：每次倒出原有溶质的倍，每次倒出后，溶质为上次溶质的（1）倍，
原有溶质为a m%，
所以倒10次后所剩溶质为，
则溶液浓度为，
故选：B．
7．【解答】解：由a2+b2＝0，可得a＝0，b＝0，
由ab＝0，可得a＝0或b＝0，
故由a2+b2＝0可推出ab＝0，所以“a2+b2＝0”是“ab＝0”的充分条件，
由ab＝0推不出a2+b2＝0，所以“a2+b2＝0”是“ab＝0”的不必要条件，
综上，“a2+b2＝0”是“ab＝0”的充分不必要条件，
故选：A．
8．【解答】解：方法一：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，
令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），
所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，
故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0．
方法二：取x＝﹣1，y＝0，满足2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，
此时ln（y﹣x+1）＝ln2＞0，ln|x﹣y|＝ln1＝0，可排除BCD．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：∵y＝xc，c＞0时，函数y＝xc在（0，+∞）上是增函数，
又a＞b＞0，
∴ac＞bc，故A正确；
∵y＝logcx，c＞1时，函数y＝logcx在（0，+∞）上是增函数，
又a＞b＞0，
∴logca＞logcb，故B错误；
∵y＝cx，c＞1时，函数y＝cx在（0，+∞）上是增函数，
又a＞b＞0，
∴ca＞cb，故C正确；
∵y，c＞1时，函数y在（0，+∞）上是减函数，
又a＞b＞0，
∴，故D错误．
故选：AC．
10．【解答】解：当x≥1时，x2，当且仅当x即x＝1时取等号，A正确；
当x＜0时，x[（﹣x）+（）]≤﹣2即最大值为﹣2，B正确；
当0＜x＜1时，2，C中等号取不到，C错误；
x＞2时，2，D中等号取不到，没有最小值D，错误；
故选：AB．
11．【解答】解：作出函数的图象，如图示：
根据函数的性质可知，选项A，B，C正确，
函数在[，π]上先递减，再递增，再递减，故选项D错误；
故选：ABC．
12．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝x ex，此时f'（x）＝（x+1） ex，令f'（x）＞0，解得﹣1＜x≤0，
令f'（x）＜0，解得x＜﹣1，可得f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，
且，
∴当x≤0时，，故A正确；
作出如图所示图像：
由g（x）＝3f2（x）﹣mf（x）﹣2m2有6个不同的零点，
等价于3f2（x）﹣mf（x）﹣2m2＝0有6个不同的实数根，
解得f（x）＝m或，
∵x3 x4＝1，∴若，可得，而当m＞0时，，可得，而；
当m＜0时，，可得，而，
故x3的范围为的子集，x3+x4的取值范围不可能为，故B选项错误；
该方程有6个根，且f（x3）＝f（x4）＝f（x5），知x3 x4＝1且f（x1）＝f（x2）＝f（x6），
当m＜0时，，，联立解得，，故C正确；
当m＞0时，，f（x3）＝f（x4）＝f（x5）＝m∈（0，1），联立解得，．故D错误．
故选：AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：扇形的圆心角为30°，设扇形的半径为r，
所以，
解得r＝2．
故答案为：2．
14．【解答】解：要使原函数有意义，则1﹣log2x≥0，即log2x≤1，
解得0＜x≤2．
∴函数f（x）的定义域为（0，2]．
故答案为：（0，2]．
15．【解答】解：因为幂函数在（0，+∞）上单调递增，
所以，解得m＝2．
故答案为：2．
16．【解答】解：题意得，
对于①，若（﹣∞，0]和（0，+∞）是f（x）的“ψ区间对”，不妨设I1＝（﹣∞，0]，I2＝（0，+∞），
∴S1∩S2≠ ，当x∈（0，+∞），
又∵f（x）＝2﹣x+a＜f（0）＝1+a，即a＜f（x）＜a+1，S1＝（a，a+1），
当x∈（﹣∞，0]，f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1≤1，即f（x）≤1，S2＝（﹣∞，1]，
∵S1∩S2≠ ，∴a＜1，
则a的取值范围为（﹣∞，1），故①错误；
对于②，若（﹣∞，0]和（0，+∞）不是f（x）的“ψ区间对”，则S1∩S2＝ ，
即a＞1，∴对任意的m＞0，当x∈（﹣∞，m]，
即x∈（﹣∞，0]∪（0，m）时，
此时f（x）在区间（﹣∞，0]上有f（x）≤1，在（0，m）上有2﹣m+a≤f（x）＜a+1，
∴，
当x∈（m，+∞），a＜f（x）＜a+2﹣m，∴，
∴S1∩S2＝ 成立，
即（﹣∞，m]和（m，+∞）不是f（x）的“ψ区间对”，故②正确．
对于③，存在x0∈[﹣2，0]，
由①知，当x∈（﹣∞，0]，f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，关于x＝﹣1对称，
当x0∈[﹣2，﹣1]，总有f（x0）＝f（﹣2﹣x0），
∵x0∈（﹣∞，x0]，﹣2﹣x0∈（x0，+∞），即S1∩S2≠ ，符合题意；
当x0∈（﹣1，0]时，总有f（x0）＝f（﹣2﹣x0），
∵﹣2﹣x0∈（﹣∞，x0]，x0∈（x0，+∞），即S1∩S2≠ ，符合题意；
∵x0∈（﹣∞，x0]，﹣2﹣x0∈（x0，+∞），即S1∩S2≠ ，符合题意；
综上所述，存在x0∈[﹣2，0]，使得对任意a∈R，（﹣∞，x0]和（x0，+∞）都是f（x）的“ψ区间对”故③正确；
对于④，由①知，当a∈R，不妨设a＞1，由②知，存在x0∈（0，+∞）使S1∩S2＝ ，符合题意；
当0≤a≤1时，存在x0∈（﹣∞，﹣2），当x∈（﹣∞，x0]，f（x）＜0，
当x∈（x0，+∞），0≤f（x）＜a+1，∴S1∩S2＝ ，符合题意；
当a＜0，存在x0∈（﹣∞，a），当x∈（﹣∞，x0]，f（x）＜a，
当x∈（x0，+∞），a≤f（x）≤1，∴S1∩S2＝ ，符合题意；
综上所述：对任意a∈R，都存在实数x0，使得（﹣∞，x0]和（x0，+∞）不是f（x）的“ψ区间对”故④正确．
故答案为：②③④．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）由得0，
整理得0，
解得1＜x＜3，即A＝（1，3），
因为B＝{x|2m≤x≤1﹣m}，
若x∈B是x∈A的必要条件，则A B，
所以，解得m≤﹣2，
实数m的取值范围（﹣∞，﹣2]；
（2）因为A∩B＝ ，
所以或2m＞1﹣m，
解得0或m，
所以m的取值范围[0，+∞）．
18．【解答】解：用“五点法”作出函数y＝1﹣2sinx，x∈[0，2π]的简图如下：
列表为：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 ﹣1 0
1﹣sinx 1 0 1 2 1
描点连线，可得函数图象如下：
观察函数图像，可得使得1≤y≤2的x的取值范围为：{0}∪[π，2π]．
19．【解答】解：选择①：
（1）2sin（2x）﹣1+m，
∵f（x）的最大值与最小值之和为0，
∴2﹣1+m﹣2﹣1+m＝0，
∴m＝1；
（2）∵m＝1，
∴，
由，可得，
∴f（x）的单调递增区间为．
选择②：
（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴m＝2；
（2）∵m＝2，
∴，
由，可得，
∴f（x）的单调递增区间为．
20．【解答】解：（1）由题意可知S＝（x+16）×（10），（20≤x≤28），
（2）由（1）知S＝a+160+10x，
令f（x）＝10x，
∴f′（x）＝10，
令10x2﹣16a＝0，解得x，
①当300≤a＜490时，
∴2028，
此时f（x）在（20，）上单调递减，在（，28）上单调递增，
所以Smin＝a+160+10a+4160；
②当490≤a≤700时，
28，此时f（x）在[20，28]上单调递减，
所以Smin＝a+160+10440；
综上可知：当300≤a＜490时，面积的最小值为a+4160，此时x；
当490≤a≤700时，面积的最小值为440，此时x＝28．
21．【解答】解：（1）∵y＝f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴，∴1﹣m2x2＝1﹣x2，
∴m＝±1，检验m＝1（舍），∴m＝﹣1．
（2）由（1）知，令，则在（1，+∞）上单调递减．
当a＞1时，y＝f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；
当0＜a＜1时，y＝f（x）在区间（1，+∞）上的单调递增．
（3）对于任意的x∈[3，4]，总有成立，即恒成立，
令，只需b＜g（x）min，
又易知在x∈[3，4]上是增函数，∴．
b∈（﹣∞，）．
22．【解答】解：（1）因为x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x，所以f（1）＝12﹣1＝0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
所以f（2）＝f（0）＝0．
（2）因为定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），
所以f（2﹣x）＝f（x），所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数；
（3）当x∈[﹣1，0）上，则﹣x∈（0，1]，则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）＝x2+x，
f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣x，
又由f（0）＝0，
综合可得：在区间[﹣1，1]上，f（x），
当x∈[1，3]时，x﹣4∈[﹣3，﹣1]，x﹣2∈[﹣1，1]，
所以f（x）＝f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）．
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