人教版五年级数学下册同步重难点知识点
第二单元 因数与倍数
同学们，经过上个学期的学习，你一定进步了吧！今天，我们迎来了新的学期，新的学期有新的开始，为了能够在新的学期中能够取得更好的成绩，请加油吧！
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1.掌握因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数的概念，知道有关概念之间的联系和区别。
2.掌握求一个数的因数和倍数的方法。
3.掌握2、5、3的倍数的特征，并会利用特征来判断一个数是不是2、5或3的倍数。
4.能根据质数和合数的概念判断一个数是质数还是合数。
5.会运用数的奇偶性解决一些简单问题。
掌握因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数的概念，并能用其解决一些简单问题。
掌握2、5、3的倍数的特征，并会利用特征判断一个数是不是2、5或3的倍数。
根如果a×b=c(a,b,c都是不为0的自然数)，那么a和b就是c的因数， c就是a和b的倍数。
找一个数的因数从最小因数找起，一直找到它本身，哪两个数相乘的积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。
找一个数的倍数，用这个数分别去乘自然数1,2,3，…所得的积都是这个数的倍数。
个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数都是5的倍数。
个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。
3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
判断一个数是合数还是质数的方法：先找出这个数的因数，再根据质数和合数的定义去判断这个数是质数还是合数，1既不是质数也不是合数。
奇数与偶数的和的奇偶性： 奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
因为8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，8×4＝32，…所以8的倍数有( )个，由此可见，一个数的倍数的个数是( )的，其中最小的倍数是( )。
答案： 无数 无限 它本身
分析：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
详解：因为8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，8×4＝32，…所以8的倍数有无数个，由此可见，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
在0，2，9，4这四个数中，任意挑选三个数组成同时是2，3和5的倍数的三位数，其中最大的是( )，最小的是( )。
答案： 420 240
分析：能同时被2、3、5整除的数的特征：个位上是0，各个数位上的数字的和是3的倍数，据此解答。
详解：个位上的数字是0，在2、9、4中，2＋9＝11，不是3的倍数；2＋4＝6，是3的倍数；9＋4＝13，不是3的倍数；所以这个数最大是420，最小是240。
《水浒传》是我国四大著名之一，书中描述写了108位梁山好汉，“108”的最小倍数是( )，108的所有因数中，质数有( )个，合数有( )个。
答案： 108 2 9
分析：一个数的最小倍数是它本身。
运用列乘法算式的方法找108的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是108的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是108的因数。只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其他因数的数叫做合数。据此解答。
详解：通过分析可得：“108”的最小倍数是108；
108＝1×108＝2×54＝3×36＝4×27＝6×18＝9×12，则108的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、27、36、54、108，其中2和3是质数；1既不是质数，也不是合数；剩下的因数都是合数。即质数有2个，合数有9个。
张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。
答案：售货员说得不对，因为139不是3的倍数。
分析：根据3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。进行分析得出答案。
详解：139元，1＋3＋9＝13，13不是3的倍数。
答：售货员说得不对，因为139不是3的倍数。
杭州亚运会运动员报名人数是一个五位数，这个数的万位和十位上数字相同，它既不是质数也不是合数；千位上的数字是最小质数；百位上的数字是最小合数；个位上数字是这个五位数的十位、百位、千位上数字之和。请问具体有多少名运动员报名参赛？
答案：12417名
分析：除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定各数位上的数，写出这个五位数即可。
详解：1既不是质数也不是合数，万位和十位上的数是1；最小的质数是2，千位上的数字是2；最小的合数是4，百位上的数字是4；个位上数字是这个五位数的十位、百位、千位上数字之和，1＋4＋2＝7。这个数是12417。
答：具体有12417名运动员报名参赛。
乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？
答案：77或65平方分米
分析：长方形周长÷2＝长与宽的和，再结合除了1和它本身以外不在有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。
详解：36÷2＝18（分米）
18＝11＋7＝13＋5
11×7＝77（平方分米）
13×5＝65（平方分米）
答：这幅山水画的面积可能是77或65平方分米。
一、选择题
1．下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）。
A．0.6和3 B．3和9 C．16和4 D．1和0.25
2．一个自然数的最大因数与最小倍数的和是20，这个自然数是（ ）。
A．10 B．19 C．20 D．21
3．431至少加上（ ）后是3的倍数。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．与偶数a相邻的两个偶数是（ ）。
A．a＋1和a－1 B．a＋2和a－2 C．a－1和a＋2 D．a－1和a＋3
5．如果37是3的倍数，那么里可能是（ ）。
A．2、5、8 B．1、3 C．7、9 D．3、4
6．下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是（ ）。
A．13、14、15 B．7、8、9 C．14、15、16 D．21、22、23
7．是质数，是合数，的积一定是（ ）。
A．质数 B．合数 C．偶数 D．奇数
二、填空题
8．一个四位数，千位上的数是最小的质数，百位上的数是最小的合数，十位上的数既不是质数也不是合数，个位上的数既是奇数又是合数，这个数是( )。
9．将2、17、35、46、111这五个数按要求填在括号里。奇数有( )，合数有( )。
10．一个数的最大因数是20，这个数是( )，它的因数有( )。
11．15的因数有( )；在10~20的自然数中，3的倍数有( )。
12．三个连续的偶数，中间的一个是n，其他两个分别是( )和( )，它们三个的和是( )。
13．一个杯口朝上的纸杯，翻转一次后杯口朝下，翻转两次后杯口朝上，那么翻转2022次后，杯口朝( )。
三、判断题
14．17既是奇数又是质数。( )
15．城关七小把参加“艺术节展演”的29名同学分为甲、乙两队，如果甲队人数为奇数，则乙队人数一定为偶数。( )
16．小于10的所有偶数的和是5的倍数。( )
17．一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数个位上一定是5。( )
18．因为7×8＝56，所以7和8是因数，56是倍数。( )
19．一个数的最大因数乘它的最小倍数，积是64，这个数是8。( )
四、计算题
20．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
6和9 8和25 36和18 12和15
21．用短除法将下列各数分解质因数。
56 64 84 96
五、解答题
22．一个长方形的长和宽都是以厘米为单位的质数，并且周长是48厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
23．一个长方形的长和宽都是以厘米为单位的质数，且周长是64厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
24．一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数字既是奇数又是合数，它的百位数字是1，它的个位数字是最小的质数，这个四位数是多少？写出所有可能的情况。
25．博文到三木买了3个相同的足球，售货员阿姨说应付217元。售货员阿姨算得对不对，为什么？
26．有471颗糖，现在有3种分别能装3颗、5颗、2颗的包装袋，把这些糖装到包装袋里，选用哪种包装袋刚好装完？为什么？
27．3路和9路公交车早上6时同时从同一个起点站出发，3路车每隔10分钟发一辆车，9路车每隔12分钟发一辆车，那么这两路车第二次同时发车是几时几分？
参考答案
1．C
分析：根据题意，第一个数能被第二个数整除，因为是整除，那么被除数、除数、商都必须是整数，且没有余数。
详解：A．0.6不是整数，所以0.6÷3不是整除；
B．3÷9≈0.33，商不是整数，所以3÷9不是整除；
C．16÷4＝4，16能被4整除；
D．0.25不是整数，所以1÷0.25不是整除。
故答案为：C
分析：掌握整除的判定方法是解题的关键。
2．A
分析：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，已知它的最大因数与最小倍数的和是20，用20除以2即可。
详解：20÷2＝10
一个自然数的最大因数与最小倍数的和是20，这个自然数是（10）。
故答案为：A
分析：此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
3．A
分析：根据3的倍数的特征，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，据此解答。
详解：在431中，4＋3＋1＝8，8离3的倍数9最近，则8至少加上1是3的倍数。
故答案为：A
分析：此题考查的目的是理解掌握3的倍数的特征及应用。
4．B
分析：相邻的两个偶数之间相差2， 因此中间偶数分别－2和＋2是与这个偶数相邻的两个偶数，据此分析。
详解：与偶数a相邻的两个偶数是（a＋2）和（a－2）。
故答案为：B
分析：关键是理解奇数、偶数的分类标准，整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
5．A
分析：根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数都是3倍数；据此逐项分析，进行解答。
详解：A．2＋3＋7＝12；12能被3整除，237是3的倍数，□内可以填2；
5＋3＋7＝15；15能被3整除，537是3的倍数，□内可以填5；
8＋3＋7＝18；18能被3整数，837是3的倍数，□内可以填8；
□内可以填2、5、8，符合题意；
B．1＋3＋7＝11；11不能被3整除，137不是3的倍数，□内不可以填1；
3＋3＋7＝13；13不能被3整除，337不是3的倍数，□内不可以填3；
□内不可以填1、3，不符合题意；
C．7＋3＋7＝17；17不能被3整除，737不是3的倍数，□内不可以填7；
9＋3＋7＝19；19不能被3整除，937不能被3整除，□内不可以填9；
□内不可以填7、9，不符合题意；
D．3＋3＋7＝13；13不能被3整除，337不是3的倍数，□内不可以填3；
4＋3＋7＝14；14不能被3整除，437不是3的倍数，□内不可以填4；
□内不可以填3、4，不符合题意。
如果□37是3的倍数，那么□内可能是2、5、8。
故答案为：A
分析：熟练掌握3的倍数特征是解答本题的关键。
6．C
分析：除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
详解：A．13是质数，排除；
B．7是质素，排除；
C．14、15、16都是合数，符合；
D．23是质数，排除。
三个连续自然数都是合数的是14、15、16。
故答案为：C
7．B
分析：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；质数与合数相乘的积至少有5个因数，所以它们的积一定是合数，据此解答。
详解：根据分析可知，a是质数，b是合数，a×b的积一定是合数。
故答案为：B
分析：本题考查质数、合数的意义，要熟练掌握。
8．2419
分析：除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
详解：最小的质数是2，千位上的数是2；最小的合数是4，百位上的数是4；1既不是质数也不是合数，十位上的数是1；一位数中既是奇数又是合数的是9，个位上的数是9，这个数是2419。
9． 17、35、111 35、46、111
分析：根据奇数、合数的意义：整数中，不是2的倍数的数叫奇数；一个自然数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，据此解答。
详解：在2、17、35、46、111五个数中，奇数有：17、35、111，合数有：35、46、111。
10． 20 1、2、4、5、10、20
分析：一个数的最大因数是这个数本身，所以这个数是20；求一个数的因数可以列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数，也可以列除法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出以这个数为被除数的所有除法算式，除法算式中的除数和商就是这个数的因数。
详解：20＝1×20＝2×10＝4×5
则20的因数有：1、2、4、5、10、20。
这个数是20，它的因数有1、2、4、5、10、20。
分析：此题主要考查一个数的因数的求法，明确一个数的最大因数是本身是解题的关键。
11． 1、3、5、15 3、6、9、12、15、18
分析：找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；从自然数1开始依次乘3，积是20以内的都是3的倍数。
详解：15÷1＝15
15÷3＝5
则15的因数有：1、3、5、15；
3×1＝3
3×2＝6
3×3＝9
3×4＝12
3×5＝15
3×6＝18
则在10~20的自然数中，3的倍数有：3、6、9、12、15、18。
分析：本题考查求一个数的因数和倍数，明确求因数和倍数的方法是解题的关键。
12． （n－2） （n＋2） 3n
分析：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。相邻的两个偶数之间相差2，中间偶数－2＝较小偶数，中间偶数＋2＝较大偶数，将三个偶数相加即可。
详解：（n－2）＋n＋（n＋2）＝（3n）
三个连续的偶数，中间的一个是n，其他两个分别是（n－2）和（n＋2），它们三个的和是（3n）。
13．上
分析：翻转一次杯口朝下，再转一次杯口恢复原来的方向，也就是2次一个周期，翻转偶数次杯口方向不变，2022是偶数，杯口方向不变，还是朝上。
详解：由分析可知：
一个杯口朝上的纸杯，翻转一次后杯口朝下，翻转两次后杯口朝上，那么翻转2022次后，杯口朝上。
14．√
分析：奇数：不是2的倍数的数叫做奇数；质数：一个自然数，只有1和它本身两个因数；这样的数叫做质数。
详解：17是奇数，17是质数。
17既是奇数又是质数。
原题干说法正确。
故答案为：√
15．√
分析：不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。总人数－甲队人数＝乙队人数，根据奇数－奇数＝偶数，进行解答即可。
详解：总人数29是奇数，甲队人数为奇数，根据奇数－奇数＝偶数，所以乙队人数一定为偶数。
故答案为：√
分析：此题考查的目的是理解掌握偶数与奇数的运算性质及应用。
16．√
分析：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；
2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；
5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
详解：小于10的偶数有：0、2、4、6、8；
由5的倍数特征可知，20是5的倍数，所以原题说法正确；
故答案为：√
17．×
分析：2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，据此解答即可。
详解：由分析可知：
一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数个位上一定是0。原题干说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查2、5的倍数，明确2、5的倍数特征是解题的关键。
18．×
分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。由此可知：因数和倍数是相互依存的关系。
详解：通过分析可得：因为7×8＝56，所以7和8是56的因数，56是7和8的倍数。原题说法错误。
故答案为：×
19．√
分析：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数。由此解答。
详解：8的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。
8×8＝64
原题说法正确。
故答案为：√
分析：此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确：一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身。
20．6和9的最大公因数是3，最小公倍数是；8和25的最大公因数是1，最小公倍数是
36和18的最大公因数是18，最小公倍数是36；12和15的最大公因数是3，最小公倍数是
分析：第2组的两个数是互质的，所以最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积；第3组的两个数成倍数关系，所以最大公因数是其中较小的数最小公倍数是其中较大的数36；第1、4两组可以先分别列举两个数的因数和倍数，再找到最大公因数和最小公倍数，也可以用短除法或分解质因数法。
详解：
6和9的最大公因数是3，
6和9的最小公倍数是。
8和25的最大公因数是1，
8和25的最小公倍数是。
36和18的最大公因数是18，
36和18的最小公倍数是36。
12和15的最大公因数是3，
12和15的最小公倍数是。
21．56＝2×2×2×7；
64＝2×2×2×2×2×2；
84＝2×2×3×7；
96＝2×2×2×2×2×3
分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
详解：
56＝2×2×2×7；
64＝2×2×2×2×2×2；
84＝2×2×3×7；
96＝2×2×2×2×2×3。
分析：此题主要考查用短除法分解质因数，要注意分解质因数的书写形式。
22．143平方厘米
分析：根据长方体的周长＝（长＋宽）×2，用48÷2即可求出长与宽的和，也就是24厘米，将24拆分成2个质数相加，然后求出所有可能的长方形的面积，最后再比较即可。
详解：48÷2＝24（厘米）
24＝5＋19＝7＋17＝11＋13
5×19＝95（平方厘米）
7×17＝119（平方厘米）
11×13＝143（平方厘米）
143＞119＞95
答：这个长方形的面积最大是143平方厘米。
分析：本题主要考查了质数的应用以及长方形面积公式的灵活应用。
23．247平方厘米
分析：先用周长÷2，求出长宽的和，根据除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，确定长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，求出面积比较即可。
详解：64÷2＝32＝29＋3＝19＋13
29×3＝87（平方厘米）
19×13＝247（平方厘米）
87＜247
答：这个长方形的面积最大是247平方厘米。
分析：关键是理解质数、合数的分类标准，掌握并灵活运用长方形周长和面积公式。
24．9102、9132、9162、9192
分析：质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答。
详解：10以内（不包括10）的奇数有1、3、5、7、9，合数有4、6、8、9；所以既是奇数又是合数的数是9，即千位上的数是9；
百位上的数是1；
最小的质数是2，即个位上的数是2；那么这个四位数就能被2整除；
十位上是0时，9＋1＋0＋2＝12，12是3的倍数，满足条件；
十位上是1时，9＋1＋1＋2＝13，13不是3的倍数，不满足条件；
十位上是2时，9＋1＋2＋2＝14，14不是3的倍数，不满足条件；
十位上是3时，9＋1＋3＋2＝15，15是3的倍数，满足条件；
十位上是4时，9＋1＋4＋2＝16，16不是3的倍数，不满足条件；
十位上是5时，9＋1＋5＋2＝17，17不是3的倍数，不满足条件；
十位上是6时，9＋1＋6＋2＝18，18是3的倍数，满足条件；
十位上是7时，9＋1＋7＋2＝19，19不是3的倍数，不满足条件；
十位上是8时，9＋1＋8＋2＝20，20不是3的倍数，不满足条件；
十位上是9时，9＋1＋9＋2＝21，21是3的倍数，满足条件；
所以十位上的数是0、3、6、9，均符合题意。
答：这个四位数是9102、9132、9162、9192。
分析：此题主要考查偶数与奇数、质数与合数的意义以及2、3的倍数的特征。
25．不对；见详解
分析：由题意可知，博文买了3个相同的足球，足球价格是整元数，那么总价＝3×一个足球的价格，总价应该是3的倍数，判断217是否是3的倍数即可解答本题。
详解：3个相同的足球，价格应该是3的倍数；
2＋1＋7＝10，10不是3的倍数，所以217不是3的倍数；
答：售货员阿姨算得不对，因为217不是3的倍数。
分析：此题考查了3的倍数特征在实际生活中的运用。
26．能装3颗的包装袋；理由见详解
分析：要把这些糖都装到包装袋且恰好装完，那么糖的总数应该是2、3或5的倍数。用471分别除以2、3、5，没有余数的一项就是我们需要的答案。
详解：471÷2＝235（袋）……1（颗）
471÷3＝157（袋））
471÷5＝94（袋）……1（颗）
答：选用能装3颗包装袋刚好装完，因为471是3的倍数，能被3整除。
分析：本题考查2、3、5的倍数的特征。
27．7时
分析：先求10和12的最小公倍数是60，也就是在60分钟的时候再次同时发车，也就是距离第一次发车的时间6时，经过了1个小时，所以第二次同时发车是在7时。
详解：10和12的最小公倍数是60。
60分＝1小时
6时＋1时＝7时
答：这两路车第二次同时发车是7时整。
分析：考查最小公倍数的应用，重点是能够准确的求出10和12的最小公倍数。
