哈工大附中2023—2024学年度第一学期高二期末试题
高二学年数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，E，F分别是BC，的中点，则EF与平面的位置关系是（ ）
A． B． EF与平面相交
C． EF与在平面内 D． EF与平面的位置关系无法判断
6．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线，直线与抛物线C相交于A，B两点，点A为x轴上方一点，过点A作AD垂直于C的准线于点D．若，则p的值为（ ）
A． B． 1 C． D． 2
8．如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是 B．点到直线l的距离是2
C．若直线，则 D．过与直线l平行的直线方程是
10．已知双曲线的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（ ）
A． B． C． D．
11．若直线与圆相交于A，B两点，则长度可能等于（ ）
A．2 B． C． D．5
12．已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ）
A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B．与圆外切、内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C．过点且与直线l相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，则的值是______．
14．已知抛物线，则其准线方程为______．
15．哈尔滨的冬天银装素裹、分外妖娆，吸引了很多南方朋友来赏冰踏雪．根据天气预报哈尔冰1月10日后连续四天，每天下雪的概率均为，利用计算机进行模拟实验，产生0-9之间的整数随机数，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雪，6，7，8，9表示当天不下雪，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3181 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
据此用频率估计四天中恰有三天下雪的概率的近似值为______．
16．双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点．如图，已知双曲线，为双曲线C的左、右焦点．某光线从出发照射到双曲线右支的P点，经过双曲线的反射后，反射光线PM的反向延长线经过．双曲线在点P处的切线与x轴交于点Q，若，且反射光线所在直线的斜率为，则双曲线的离心率是______．
(16题图)
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（满分10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求C的值；（2）若，，求的面积．
18．（满分12分）新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科．哈尔滨工业大学的某王牌专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科．
（1）甲同学从所有选科组合中随机选一种组合，若每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合哈工大该王牌专业报考条件的概率；
（2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合哈工大该王牌专业报考条件的概率．
19．（满分12分）如图：四边形ABCD是平行四边形，，，，，．（1）求证：；（2）求证：．
20．（满分12分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴．且经过点．
（1）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（2）经过焦点F且斜率是1的直线l，与抛物线交于A、B两点，求以及的面积．
21．（满分12分）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切．
（1）求双曲线M的标准方程；
（2）已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由．
22．（满分12分）椭圆的一个焦点为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线上，且NP与x轴平行，求直线MP横过的定点．
哈工大附中2023—2024学年度第一学期高二期末试题
高二学年数学试卷采分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B A A A B B BD BCD CD ABC
13． 14． 15． 16．2或
17．（1）因为，
由正弦定理得，，
又，所以，
又，所以，故，所以．
（2）由余弦定理得，
所以，故．
18．（1）依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，，
记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以．
（2）记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，事件“乙符合该大学某专业报考条件”，事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
由（1）可知，，
．
19．（1）取PA的中点N，连接DN，EN，
因为，，，
即，且，则为平行四边形，
则，且，又因为是平行四边形，则，且，
可得，且，可知为平行四边形，
则，且，，所以．
（2）在中，，，，
由余弦定理可得，即，
则，可得，
因为，，则，
且，，所以．
20．（1）由题设方程为，将代入，解得，
所以抛物线的标准方程为．该抛物线的焦点坐标为．
（2）因为直线，过点，所以直线l的方程为，
联立消y得，
设，，则，．
所以，
（或者利用焦半径公式求弦长：）．
又，所以．
21．解：（1）因为抛物线的焦点是双曲线M的一个顶点，即，，
所以双曲线M的方程是．
（2）设，联立方程得消去y得，
∵解得或*
由韦达定理，
∵∴即，
解得
不满足*式，所以不存在m符合题意．
22．（1）法一：由题意，可得，
则椭圆C的标准方程为，离心率为；
法二：设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知，
所以，又，得，
则椭圆C的标准方程为，离心率为；
（2）因为直线MN过点且斜率不为0，
所以设直线MN方程为，，，则，
联立，消去x得，，所以，
所以，直线MP方程为，
由对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，
所以令，得，且，
，
可得，直线MP恒过的定点．
