第三章 函数 检测试题
一、单选题
1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．定义在上且满足，其中，在为增函数，则
（1）不等式解集为
（2）不等式解集为
（3）解集为
（4）解集为，其中成立的是（ ）.
A．（1）与（3） B．（1）与（4） C．（2）与（3） D．（2）与（4）
3．下列每组中两个函数是同一函数的组数共有
（1)与 （2）与
（3)与 （4)与
（5）与
A．一组 B．2组 C．3组 D．4组
4．已知f（x）是定义域为[-3，3]的奇函数，且在[-3，0]上是减函数，那么不等式f（x+1）＞f（3-2x）的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设a是函数的零点，若，则的值满足
A． B．
C． D．的符号不确定
7．定义在上的连续函数满足，，，，.则下列关于的命题：①恒成立；②一定是奇函数，一定是偶函数；③；④一定是周期函数.其中真命题的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知的定义域为，且对任意，有，且当时，，则（ ）
A． B．的图象关于点中心对称
C．在上不单调 D．当时，
10．已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，则（ ）
A．是单调递增函数 B．当时，的最大值为
C．当为素数时， D．当为偶数时，
11．已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线x＝－1对称 B．在上为增函数
C． D．
12．若函数满足），则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设函数（b为常数），则“”是“为偶函数”的 条件
14．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求 ．
15．若f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，当0≤x＜1时，f（x）＝2x2+3x．若f（2a2﹣1）+f（a）＜0，则实数a的取值范围是 ．
16．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 .
四、解答题
17．设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质.
性质1：对任意，有；
性质2：对任意，有.
(1)分别判断下列两函数在区间是否具有性质；
①；②；
(2)若函数在区间（）具有性质，求的取值范围
18．求值域(用区间表示)：
(1)，①；②；
(2)；
(3).
19．证明函数在上是增函数．
20．已知函数的图像经过点，．
（1）求函数的解析式并判断函数的奇偶性；
（2）判断函数在上的单调性并证明．
21．一种药在病人血液中的含量不低于时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用个单位的药剂，药剂在血液中的含量（单位：）随着时间（单位：）变化的函数关系式近似为，其中．
(1)若病人一次服用2个单位的药剂，求有效治疗的时间；
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂，后再服用个单位的药剂，要使接下来的中能够持续有效治疗，求的最小值．
22．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线(在上).经测算，若以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则左侧曲线上的任一点在抛物线上，而右侧曲线上的任一点在以为顶点的抛物线上.
(1)求桥的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）.若桥墩每米的造价为（万元），桥墩每米的造价为（万元），则当为多少米时，两个桥墩的总造价最低？
参考答案：
1．C
【分析】根据是奇函数，求出的解析式，从而确定的单调性，由单调性解出的取值，将恒成立问题转化为求最值问题，进而求出实数的取值范围.
【详解】∵是定义在上的奇函数，且当 时，
∴当，有，，
∴，即，
∴，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足，
∵不等式在恒成立，
∴在恒成立，
∴在恒成立，
∴
解得，则实数t的取值范围是，
故选：C
2．B
【分析】根据函数满足的性质作出函数的大致图象，进而数形结合，分别求解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知定义在上且满足，其中，在为增函数，
则函数为偶函数，在上为减函数，
函数的图象可由的图象向左平移1个单位得到，
作出以即得大致图象如图，
则不等式可化为或，
由图象可知，故（1）正确，（2）错误；
由于为偶函数，故可化为，
即，解得，故（3）错误，（4）正确，
故选：B
【点睛】方法点睛：解答本题是要结合函数的性质，即单调性、奇偶性，明确函数图象的大致形状，作出图象，数形结合，即可求解问题.
3．C
【分析】根据函数的定义域和解析式依次判断函数是否相等得到答案.
【详解】（1)与 ，函数定义域和表达式均相同，是同一函数；
（2）与，定义域均为此时，是同一函数；
（3)与，定义域均为和表达式相同，是同一函数；
（4)定义域为，定义域为，不相同，故不是同一函数；
（5）定义域为 定义域为不相同，故不是同一函数.
故选：
【点睛】本题考查了相等函数，确定函数的定义域和解析式是解题的关键.
4．C
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
【详解】∵f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，且在[﹣3，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，3]上为减函数，
由f（x+1）＞f（3﹣2x）
可得，
解可得，0，
故不等式的解集为{x|0}，
故选C．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
5．A
【分析】分段讨论最小值即可.
【详解】由于函数的最小值为，
当时，，
当时，，解得，
故选: A．
6．C
【详解】试题分析：∵函数和在上均为增函数，∴在上为增函数，又∵是函数的零点，∴，∴当时，，故选C ．
考点：函数零点的判定定理．
7．B
【分析】合理利用赋值法，结合函数的基本性质，逐项进行判定，即可求解.
【详解】由题意，令，可得，，
因为，∴，
所以，①正确且；
由，解得或，由于，可得，又由，可得，
令，则，，
两式相加可得：
，
所以，
两边同时平方得，
即，所以对任意都成立，从而为奇函数，又由，
所以，所以为偶函数，故②正确；
由于，故③正确；
函数，满足条件，但显然它们不是周期函数，故④错误.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的基本性质的综合应用，其中解答中合理利用赋值法和函数的基本性质，进行推理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8．B
【解析】易得，即，再根据表示不超过的最大整数求解.
【详解】由函数的解析式得，
即，
∵为整数，
∴，
即，
∴即，
则，
故选：B
9．AD
【分析】由赋值法与函数单调性，对称性的定义对选项逐一判断
【详解】法一：取特殊函数
取函数符合题意，验证A，D正确，B，C错误
法二：抽象函数运算
对于A，令，可得，因，所以，故A正确，
对于C，令可得，
设，令
所以，即
即在上单调递增，故C错误，
对于B，令，可得，因
所以，所以的图象没有关于点中心对称，故B错误，
对于D，当时，令，此时，
因，所以，故D正确，
故选：AD
10．BC
【分析】写出的前8项，可判断ABD；当为素数时，与前个数均互素，从而可判断C.
【详解】由题意知，，，，，，，，，
对于A，不是单调递增函数，故A错误；
对于B，当时，的最大值为，故B正确；
对于C，当为素数时，与前个数均互素，所以，故C正确；
对于D，当时，,故D错误.
故选:BC.
11．AD
【分析】根据题意结合偶函数的性质可得的图象关于直线x＝－1对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可
【详解】因为为偶函数，且函数在上为增函数，
所以的图象关于直线x＝－1对称，且在上为减函数，所以A正确，B不正确；
因为的图象关于直线x＝－1对称，，所以C不正确；
因为的图象关于直线x＝－1对称，所以，，又在上为增函数，所以，即，所以D正确.
故选：AD.
12．ACD
【分析】根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】解：因为，，均为奇函数，
所以，，均满足，故A、C、D正确；
对于B：，则，即为偶函数，
则，故B错误．
故选：ACD
13．充分必要
【分析】先将代入得，判断其为偶函数，再由是偶函数，求得，得出结论.
【详解】当时，,所以为偶函数；
所以“”是“为偶函数”的充分条件；
当为偶函数时，对任意的恒成立，
而，
所以，得对任意的恒成立，从而.
所以“”是“为偶函数”的必要条件；
综上可得：“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故填：充分必要.
【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和充分条件与必要条件，属于基础题．
14．1
【分析】根据“狄利克雷函数”得出，，的值，代入即可得出答案.
【详解】根据“狄利克雷函数”可得：
，，，
则，
故答案为：1.
15．﹣1＜a＜0或0
【分析】由已知条件求解并判断函数在定义域(-1,1)上单调递增,然后结合奇函数的性质将,转化为求解即得实数的取值范围.
【详解】∵是定义在(-1,1)上的奇函数,
且当0≤x＜1时，单调递增,
根据奇函数的对称性可知,时,函数单调递增,即在(-1,1)上单调递增,
由f（2a2﹣1）+f（a）＜0，
得f（2a2﹣1）＜﹣f（a）＝f（﹣a），
所以可得:,解得:或.
故答案为:或.
【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用,考查了利用函数单调性解不等式,属于一般难度的题.
16．[2，4]．
【分析】根据二次函数的图象和性质可得：函数f（x）＝x2﹣4x﹣4的图象是开口向上，且以直线x＝2为对称轴的抛物线，故f（0）＝f（4）＝﹣4，f（2）＝﹣8，可得m的取值范围．
【详解】函数f（x）＝x2﹣4x﹣4的图象是开口向上，且以直线x＝2为对称轴的抛物线
∴f（0）＝f（4）＝﹣4，f（2）＝﹣8
∵函数f（x）＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，
∴2≤m≤4
即m的取值范围是[2，4]．
故答案为[2，4]．
【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
17．(1)①具有性质，②不具有性质；
(2).
【分析】（1）记当时，的值域为M，则性质1；性质2.然后求出①的值域，根据集合包含关系即可判断；注意当时，②的函数值不存在即可判断；
（2）分，和分别求出函数值域，根据集合关系讨论即可.
【详解】（1）记当时，的值域为M，
则性质1；性质2 .
对于①，当时，，即，
所以，，即函数满足性质1，具有T性质.
对于②，因为当时，函数值不存在，故函数不具有T性质.
（2）由二次函数性质知，函数在上单调递增，
在上单调递减，
当时，的值域为，显然不满足性质2，
故，要使具有T性质，则，
所以，解得（舍去）或（舍去）；
当时，，
所以的值域为，满足，即满足性质1，具有T性质；
当时，的值域为，
因为，所以不是的子集，
且，
所以，此时不具有T性质.
综上，若函数在区间具有性质，则的取值范围为.
18．(1)①[7，28]；②[3，12]
(2)
(3)(∞，1)∪(1，+∞)
【分析】（1）①②,配方后利用二次函数的性质求解即可，
（2）利用换元法求解，
（3）利用分离常数法求解
【详解】（1），
①当时，，
∴值域为[7，28]；
②当时，，
∴值域为[3，12]．
（2）令，则，
因为，所以，即，
所以函数的值域为；
（3），
因为，所以
所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).
19．见解析
【分析】利用单调性的定义证明即可.
【详解】证明：任取，且，
则
因为.
得.
所以函数在上是增函数
20．（1），函数为奇函数；（2）函数在上单调递减；证明见解析．
【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式，解方程组可得和的值，再根据函数奇偶性的定义判断即可；
（2）任取，计算可得，从而得解．
【详解】（1）由题意知，，解得，，
所以函数的解析式为，
定义域为，关于原点对称，
因为，
所以函数为奇函数．
（2）函数在上单调递减，证明过程如下：
任取，
则，
因为，
所以，，
所以，
故函数在上单调递减．
21．(1)小时
(2)的最小值为0
【分析】（1）由题意可得，则可得的解析式，求解，即可得答案；
（2）求出当时，，若药剂有效，需满足对恒成立，参变分离求的取值范围肯定答案.
【详解】（1）当时，，
当时，由得，此时，
当时，由得，此时，
综上所述，，
所以若病人一次服用2个单位的药剂，有效治疗的时间为小时；
（2）由（1）若病人一次服用2个单位的药剂，有效治疗的时间为小时，
当时，由，
因为对恒成立，
所以对恒成立，等价于，
令，
则函数在上单调递增，
所以时，有最大值，
所以的最小值为0.
22．(1)120米；
(2)32.
【分析】（1）根据A,B高度一致结合条件即得结果；
（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用二次函数的性质即得.
【详解】（1）由得，
所以，，
解得，即，
所以桥的长度为(米)；
（2）设，则，，
依题意得，由（1）得，
，
所以，
所以两个桥墩的总造价，
化简得，
所以当米时，两个桥墩的总造价最低.
