张家港市2023-2024学年第一学期高一期末模拟卷
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根精确度为可以是( )
A. B. C. D.
3.设正实数满足，则( )
A. 有最小值2 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
4.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于x的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于x的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.若函数有3个零点，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知和都是定义在R上的函数，则( )
A. 若，则的图象关于点中心对称
B. 函数与的图象关于y轴对称
C. 若，则函数是周期函数，其中一个周期
D. 若方程有实数解，则不可能是
10.函数是常数，，，的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D.
11.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最小值8 B. ab有最小值
C. 的最小值是4 D. 的最小值是
12.设函数，则( )
A. 是偶函数 B. 是的一个周期
C. 函数存在无数个零点 D. 存在，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使在 上的值域是，则称为“双倍函数”，若函数为“双倍函数”，则实数t的取值范围是__________.
14.将函数的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有且仅有两个实数根，则k的取值范围为__________.
15.已知函数，对任意两个不等实数都有，则实数a的取值范围是__________.
16.给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数a的值为__________；若为“函数”，则实数a的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
已知集合
若，求；
求实数a的取值范围，使___成立．
从①，②，③中选择一个填入横线处求解．
18.本小题12分
已知函数，常数
若是奇函数，求a的值;
若，在区间内有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
19.本小题12分
已知函数的图象如图所示.
求函数的对称中心；
先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变，然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数t的取值范围.
20.本小题12分
近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力．某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内按30天计，每件的销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系满足为常数，且，日销售量单位：件与时间x的部分数据如下表所示：
x 15 20 25 30
105 110 105 100
设该文化工艺品的日销售收入为单位：元，且第15天的日销售收入为1057元．
求k的值；
给出以下四种函数模型：
①；②；③；④
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
利用问题中的函数，求的最小值．
21.本小题12分
定义在R上的函数满足：对任意的都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”．
判断是否为“型函数”？并说明理由；
若存在实数k，使得函数始终是“型函数”，求k的最小值；
若函数是“型函数”，求实数a的取值范围．
22.本小题12分
已知函数
当时，求的单调递减区间；
当时，函数恰有3个不同的零点，求实数k的取值范围.
张家港市2023-2024学年第一学期高一期末模拟卷
数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了集合补集的运算，属于基础题.
先化简集合A，然后求出集合A的补集即可.
【解答】
解：由已知得，，
故
故选
2.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根精确度为可以是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二分法，是中档题
【解答】
解：因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为，所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值，根据四个选项可知选
3.设正实数满足，则( )
A. 有最小值2 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于综合题.
将 化为 ，展开后利用基本不等式即可求得 的最小值，判断A；将 平方后利用基本不等式即可判断B；利用基本不等式即可判断C；由基本不等式可推出 ，即可判断
【解答】
解：对于A， ，
当且仅当 时，结合 ，即 时取等号，
即 有最小值为4，A错误；
对于B， ，则 ，
当且仅当 时，结合 ，即 时取等号，
即 有最大值 ，B正确；
对于C， ，当且仅当 时，结合 ，即 时取等号，
即 有最大值 ，C错误；
对于D，因为 ，
即 ，当且仅当 时，结合 ，即 时取等号，
即 有最小值 ，D错误，
故选：B
4.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查幂函数的单调性，属于中档题.
由题意可得，不等式可化为，函数是定义域为的减函数，故可得，解之即可.
【解答】
解：幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，
，解得，
，
或
当时，，其图象关于y轴对称，不满足题意;
当时，，其图象关于原点对称，满足题意，
不等式可化为
函数是定义域为的减函数，
，解得，
即实数a的取值范围是
故选
5.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
利用任意角的三角函数可得，求得，即可求解.
【解答】
解：因为角的终边过点，
则由三角函数的定义可知，，
即，，
解得或，
因为角的终边过点，横坐标大于零，
所以角为第一或第四象限角，
故
故选
6.已知函数若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于x的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图像变换和性质，属于一般题.
求出，得在 上有且仅有两个不相等的实根，得，解不等式即可.
【解答】
解：由题意，得
若关于x 的方程 在 上有且仅有两个不相等的实根，
即在 上有且仅有两个不相等的实根，
当时，，
，解得
故选
7.已知是定义在R上的奇函数，，对，，且有，则关于x的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性及单调性，考查推理能力和计算能力，属于中档题.
【解答】
解： 因为是定义在R上的奇函数，则是定义在R上的偶函数，
且在上单调递增，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
，
解得：
8.若函数有3个零点，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查已知函数零点个数求参，属于中档题.
【解答】
解：要使有3个零点，
则当时，有1个零点，
当时，有2个零点，
则解得故选
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知和都是定义在R上的函数，则( )
A. 若，则的图象关于点中心对称
B. 函数与的图象关于y轴对称
C. 若，则函数是周期函数，其中一个周期
D. 若方程有实数解，则不可能是
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查函数的对称性，周期性及方程的解，属于中档题.
根据函数的对称性及周期性可判断ABC；根据函数零点与方程跟的关系判断
【解答】
解：对于A：若，对称中心横坐标为，纵坐标为，故对称中心的坐标为，A选项正确.
对于B：因为函数的图象是的图象向右平移1个单位得到的，
因为，所以的图象是的图象向右平移1个单位得到的；又因为
与的图象是关于y轴对称，所以函数与的图象关于直线对称，B选项错误.
对于C：若，则，则函数是周期函数，其中一个周期，
C选项正确.
对于D：设是方程的一个根，则，故，
再令，则，即方程有解，又方程无解，则不可能是，D选项正确
10.函数是常数，，，的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D.
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．
由函数的部分图象求出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确即可得出答案．
【解答】
解：函数的部分图象知，
，，解得，所以；
又，所以，，可取；
所以
由，所以选项A错误；
时，，函数单调递增，选项B正确；
将的图象向左平移个单位，得，该函数不是偶函数，选项C错误；
，选项D正确．
故选：
11.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最小值8 B. ab有最小值
C. 的最小值是4 D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题.
利用乘“1”法及基本不等式判断A，利用基本不等式判断B、C，利用换元法及二次函数的性质判断
【解答】
解：因为正实数 a ， b 满足 ，
对于A：
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；
对于B： ，则 ，当且仅当 ，即 、 时等号成立，故B错误；
对于C： ，当且仅当 ，即 、 时等号成立，故C正确；
对于D：因为 ，所以 ，则 ，解得 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ，故D正确.
故选：ACD
12.设函数，则( )
A. 是偶函数 B. 是的一个周期
C. 函数存在无数个零点 D. 存在，使得
【答案】AC
【解析】解：对于A，定义域为R，
又，
所以是偶函数，故A正确；
对于B，，
所以不是的一个周期，故B错误；
对于C，因为时，有，又，
所以有无数多个解，所以函数存在无数个零点，故C项正确；
对于D，当时，有，所以，
所以有在上恒成立，
又，是偶函数，
所以当时，有恒成立，故D错误．
故选：
求出即可判断A项；
求出即可判断B项；
当时，有，即可说明C项；
当时，可求出进而根据偶函数的性质即可判断D项．
本题主要考查偶函数的性质，以及三角函数的周期性，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使在 上的值域是，则称为“双倍函数”，若函数为“双倍函数”，则实数t的取值范围是__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．
由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．
【解答】
解：函数为“双倍函数”，
且满足存在，使在上的值域是，
在上是增函数；
，
即，
方程有两个不等的实根，
设，则有两个不相等的实根，且，
，
解得，
满足条件t的范围是
故答案为
14.将函数的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在上有且仅有两个实数根，则k的取值范围为__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
根据题意可得，作出函数在上的图象，若方程在上有且仅有两个实数根，则函数与有且只有两个交点，数形结合即可得出答案．
【解答】
解：根据题意可得，
作出函数在上的图象，如下：
，，，，
因为方程在上有且仅有两个实数根，
所以函数与直线在上有且仅有两个交点，
所以或，
所以k的取值范围为
15.已知函数，对任意两个不等实数都有，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解决参数问题，判断函数的单调性，属于中档题.
由题意不妨设，可得，令，则，进而可得在上单调递增，利用函数单调性的定义可得答案.
【解答】
解：对任意两个不等实数不妨设，
由，可得，则，
令，则，
所以在上单调递增，
则取任意两个不等实数且，
有 ，
又，
则，
所以，对任意两个不等实数恒成立，
注意到 ，则，
则实数a的取值范围是 .
故答案为： .
16.给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数a的值为__________；若为“函数”，则实数a的取值范围为__________.
【答案】3 ；
【解析】【分析】
本题考查知识点为函数新定义问题，考查学生的理解能力，属于中档题.
第一空，根据“函数”的概念，带入得到，求解即可；
第二空，根据“函数”的概念，得到有解，结合基本不等式求出答案即可.
【解答】
解：因为是的一个“点”，且，
所以，解得，，
因为关于原点对称的函数为，若为“函数”，
则在其定义域内存在，使得有解，
即方程有解，所以有解，即有解，
因为当且仅当时取等号，所以
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
已知集合
若，求；
求实数a的取值范围，使___成立．
从①，②，③中选择一个填入横线处求解．
【答案】解：，，
，，
当 时，，
，可化为，
，
即 ，
选择①，或 ，
又 ，
若，则或 ，
即 或 故 a的取值范围为 或
选择②，或 ，
又 ，则或 ，
即 或 ，
故 a的取值范围为 或
选择③，
或 ，
，又，则且 ，
即 ，
故 a的取值范围为
【解析】本题主要考查含参数的交并补混合运算问题，属于基础题．
化简集合A，B，利用并集的定义进行计算即可；
根据集合的基本运算转化为集合间的关系，再根据条件求解即可．
18.本小题12分
已知函数，常数
若是奇函数，求a的值;
若，在区间内有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
【答案】解：①若有定义，则，解得，此时符合题意;
②若无定义，则，故，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，不符合题意.
综上，a的值为
时，，易知在内单调递增，
因为在区间内有且仅有一个零点，
所以只需且，即
化简得解得，即，
所以t的取值范围是
【解析】本题考查指数函数与对数函数的综合运用，考查了函数的奇偶性，复合函数的单调性的应用，属于中档题.
利用奇函数的性质，求得a的值；
利用复合函数的单调性及零点存在性定理即可确定取值范围.
19.本小题12分
已知函数的图象如图所示.
求函数的对称中心；
先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变，然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】解：由图可知： ，所以 ，所以 ， ，
又 ， .
所以 ， .
所以 .
令 ， ，
则 ， .
所以 的对称中心为 ， .
由题 .
当 时， .
因为 对任意的 恒成立，
则 .
所以 .
【解析】本题考查三角函数的图像性质，三角函数的解析式的求解，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题.
根据函数图象求得 的解析式，然后利用整体代入法求得 的对称中心.
利用三角函数图象变换的知识求得 的解析式，根据 在区间 上的值域转化不等式 ，由此求得 t 的取值范围.
20.本小题12分
近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力．某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内按30天计，每件的销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系满足为常数，且，日销售量单位：件与时间x的部分数据如下表所示：
x 15 20 25 30
105 110 105 100
设该文化工艺品的日销售收入为单位：元，且第15天的日销售收入为1057元．
求k的值；
给出以下四种函数模型：
①；②；③；④
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
利用问题中的函数，求的最小值．
【答案】解析：因为第15天的日销售收入为1057元，
所以，解得
由表中的数据知，当时间x变化时，先增后减.
而函数模型①③④都是单调函数，
所以选择函数模型②
由，
此时，符合题意，
所以日销售量与时间x的变化关系为
由知
所以
即
当，时，由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立.
当，时，单调递减，
所以
综上所述：当时，取得最小值，为
【解析】本题考查了函数模型的综合应用，由基本不等式求最值，是较难题.
由题意得，解得
由表中的数据知，当时间x变化时，先增后减，所以选择函数模型②，利用待定系数法解得函数解析式；
由可得解析式，利用基本不等式及函数的单调性可得最值.
21.本小题12分
定义在R上的函数满足：对任意的都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”．
判断是否为“型函数”？并说明理由；
若存在实数k，使得函数始终是“型函数”，求k的最小值；
若函数是“型函数”，求实数a的取值范围．
【答案】解：易知是偶函数，且在递减，在递增
当时，当时，
若取，则不存在，使得
所以不是“型函数”.
首先函数定义域为R，
则，解得
由复合函数单调性可知：在单调递减，在单调递增.
所以只需对恒成立即可.
所以，即k的最小值为
由题是“型函数”.
当时，在上单调递增，
而，要使存在且唯一，则有，解得
所以
当时，在递减，在递增，
而，要使存在且唯一，则有，解得
所以
综上可知：
【解析】本题考查函数的新定义、考查存在性问题和函数的单调性，属于较难题.
利用型函数的定义即可判断;
利用只需对恒成立即可求解;
对a进行分类讨论，利用函数的单调性即可求解.
22.本小题12分
已知函数
当时，求的单调递减区间；
当时，函数恰有3个不同的零点，求实数k的取值范围.
【答案】解：当时，，
当时，，易知在上单调递增，
当时，，易知在上单调递减，
所以函数的单调递减区间为；
当时，，
易知，
①当时，，
令，则，
②当时，，
令，则，
③当时， ，
令，则，
设，且，则，
所以 ，
记 ，
对于①，，设 ，
由对勾函数的图象与性质可知，函数在上单调递增，
所以在上单调递减，且 ，
故当时， 只有1个零点；当时， 没有零点；
对于②，，
由对勾函数的图象与性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当t趋近1时，趋近，当t趋近5时，趋近，，
故当 ，即 时，有2个零点；
当 ，即时， 没有零点；
当时， 只有1个零点；
对于③，令， ，则，
所以 ，
记，
显然在上单调递减，且，
则时，有1个零点；当时，没有零点；
综上所述，时，有3个零点，
故实数k的取值范围为
【解析】本题考查分段函数的单调性，函数零点与方程的根，判断函数的单调性，属于困难题.
由，得到 ，利用二次函数的性质求解即可；
由题意得到 ，再分，，，转化为两函数交点问题，根据函数的单调性求解即可.
