贵州省六盘水市水城区2023-2024学年高二上学期12月质量监测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若集合,,则( )
A. B. C. D.
2．在空间直角坐标系中,点B是点在坐标平面Oyz内的射影,则B的坐标为( )
A. B. C. D.
3．直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4．若为偶函数,则( )
A.0 B.5 C.7 D.9
5．已知椭圆,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．已知直线与圆交于A,B两点,则( )
A.1 B.2 C.4 D.
7．有编号互不相同的五个砝码,其中3克,1克的砝码各两个,2克的砝码一个,从中随机选取两个砝码,则这两个砝码的总重量超过4克的概率为( )
A. B. C. D.
8．已知椭圆,过点,斜率为的直线l与M交于A,B两点,且P为AB的中点,则( )
A.1 B. C. D.
二、多项选择题
9．已知,分别是椭圆的上,下焦点,点P在椭圆M上,则( )
A.M的长轴长为 B.M的短轴长为
C.的坐标为 D.的最小值为
10．已知向量,,则下列结论正确的是( )
A.若,则, B.若,则
C.若,则 D.若,则
11．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则( )
A.的最小正周期为
B.是奇函数
C.的图象关于直线对称
D.在上单调递增
12．在如图所示的直角坐标系中,五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣,若每个圆环的大圆半径为1.2,小圆半径为1,其中圆心,,在x轴上,且,,圆与圆关于y轴对称,直线,之间的距离为1.1,则给出的结论中正确的是( )
A.设M,N是图中五个圆环组成的图形上任意的两点,则M,N两点间的距离的最大值为7.6
B.小圆标准方程为
C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为
D.小圆与小圆公共弦所在的直线方程为
三、填空题
13．的虚部为__________.
14．已知方程表示一个圆,则m的取值范围为__________,该圆的半径的最大值为__________.
15．已知正方体外接球的体积为,则该正方体的棱长为__________.
16．已知椭圆的左,右焦点分别为,,其离心率,P和M是椭圆C上的点,且,的面积为,O是坐标原点,则的最小值为__________.
四、解答题
17．已知直线l经过点.
（1）若l经过点,求l的斜截式方程;
（2）若l在x轴上的截距为,求l在y轴上的截距.
18．已知圆M的圆心的坐标为,且经过点.
（1）求圆M的标准方程;
（2）若P为圆M上的一个动点,求点P到直线的距离的最小值.
19．已知A,B分别是椭圆的左顶点,上顶点,且.
（1）求点A,B的坐标;
（2）若直线l与AB平行,且l与M相切,求l的一般式方程.
20．如图,在直三柱中,,,,,E,F分别为,AB的中点.
（1）若,求x,y,z的值;
（2）求与平面AEF所成角的正弦值.
21．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求B;
（2）若,求面积的最大值.
22．已知椭圆的左,右焦点分别为,,其离心率为,M是E上的一点.
（1）求椭圆E的方程;
（2）过右焦点的直线l与椭圆E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交直线l于点P,交直线于点,求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：集合,,
则.
故选:D
2．答案：A
解析：在空间直角坐标系中,点B是点在坐标平面Oyz内的射影,
则点B的坐标为.
故选:A.
3．答案：D
解析：由题意,该直线的斜率为,
设直线的倾斜角为,可得,
因为,所以所求的倾斜角为.
故选:D.
4．答案：C
解析：由题意,
为偶函数,
,,
,解得:,
故选:C.
5．答案：B
解析：由题意得,得且.
故选:B
6．答案：C
解析：圆心到直线的距离为,
又圆的半径,所以.
故选:C
7．答案：A
解析：记3克的砝码为,,1克的砝码为,,2克的砝码为B,从中随机选取两个砝码,
样本空间,
共有10个样本点,其中事件“这两个砝码总重量超过4克”包含3个样本点,故所求的概率为.
故选:A.
8．答案：B
解析：设,,因为为A,B的中点,可得
又由,两式相减得
,
则,得.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：由椭圆,可得,,则,
所以,椭圆M的长轴长为,M的短轴长为,上焦点的坐标为,
根据椭圆的几何性质,得到的最小值为.
故选:ABD.
10．答案：AC
解析：若,则,得,,故A正确,B错误;
若,则,即,故C正确,D错误;
故选:AC.
11．答案：ACD
解析：由题意,可得,
则的最小正周期为,且不是奇函数,所以A正确,B不正确;
当时,可得,
所以的图象关于直线对称,所以C正确;
由,得,所以在上单调递增,所以D正确.
故选:ACD.
12．答案：ABD
解析：设每个大圆的半径为R,每个小圆的半径为r.因为,
所以M,N两点间距离的最大值应为,A选项正确.
依题意可得小圆的圆心为,半径,所以小圆的标准方程为1,B选项正确.
因为每个圆环的面积为,即,而五个圆环有重合的部分,
所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于,C选项错误.
又小圆的方程为,所以小圆和小圆两圆方程相减,
可得公共弦所在直线方程,化简得,D选项正确.
故选:ABD
13．答案：5
解析：由题意得,所以的虚部为5.
故答案为:5
14．答案：①,2
解析：该方程可化为圆的标准方程.
由,得.
因为,
所以该圆的半径的最大值为.
故答案为:,2
15．答案：
解析：设该正方体的棱长为a,则该正方体的外接球的半径为.
由,得,
故答案为:.
16．答案：8
解析：由,得.设,则,
,解得.
中,,
解得,从而,,椭圆方程为,,
设,则,
当时,的最小值是8.
故答案为:8
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,则的方程为,
其斜截式方程为.
（2）设l的截距式方程为,
由题意得,得,
所以l在y轴上的截距为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为圆M的圆心的坐标为,且经过点,
可得圆M的半径为,
所以圆M的标准方程为.
（2）由题意,圆心M到直线的距离为,
所以点P到直线的距离的最小值为.
19．答案：（1）见解析
（2）或
解析：（1）由题意得,
得,又,所以,
所以,.
（2）由题意得.因为l与AB平行,所以l的斜率为2.
设,联立,得.
因为l与M相切,所以,
得,
故l的一般式方程为或.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由向量的线性运算法则,可得,
又由,所以,,.
（2）以为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,则,,,,,
所以,,.
设平面AEF的法向量为,则,
取,可得,,所以,
设与平面AEF所成的角为,可得.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
即.
由正弦定理得.
由,得,则,
由,得.
（2）由余弦定理得,则.
由,得,当且仅当时,等号成立.
故,即面积的最大值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆E的左,右焦点分别为,,其离心率为,
可得且,解得,,
故椭圆E的方程为.
（2）由题意知直线l的斜率不为0,设其方程为,
设点,,联立方程,可得,
所以,,
可得.
又因为,,
所以,
可得.
令,上式,
当且仅当,即时,取得最小值.
