第三章空间向量与立体几何单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设空间两个不同的单位向量、与向量的夹角都是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在空间直角坐标系中，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间向量 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．平面平面 B．
C．平面平面 D．
5．已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
6．空间四边形中，（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
8．如图，在四面体中，，，，点在棱上，点在棱上，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为4，点满足，点在底面内，且，则（ ）．
A．线段长度的最小值为1
B．直线和平面所成角的余弦值为
C．到直线的最小距离为
D．三棱锥的体积可能取值为10
10．在三棱锥A-BCD中， ，是直二面角，，如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面的法向量与平面的法向量垂直
C．异面直线与所成的角为
D．直线与平面所成的角为
11．在正四棱柱中，，，M，N分别为棱，上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当M，N分别为棱，的中点时，直线与所成角的余弦值为
C．存在点M，使得为钝角
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
12．下列命题正确的是（ ）
A．若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是
B．已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面
C．已知，若与垂直，则
D．已知的顶点分别为，则边上的高的长为
三、填空题
13．已知，，其中，若，则的值为 ．
14．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
15．已知、、，则向量与的夹角大小为 ．
16．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，则线段MN的最小值为 .
四、解答题
17．如图所示，在平行六面体中，是底面的中心，是侧面对角线上的分点．
(1)化简，并在图中标出其结果．
(2)设，试求，，的值．
18．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点．
(1)证明：；
(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
19．化简：．
20．如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值;
21．如图所示，在三棱柱中，是中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
22．化简下列算式：
(1)；
(2)．
参考答案：
1．D
【分析】根据单位向量的模为1，结合向量的夹角公式，列式化简求值，即可得答案.
【详解】由题意可知、为单位向量，设
故，，
又它们与向量的夹角都是，
故，
即，
故选：D
2．A
【分析】按照空间直角坐标系得点坐标即可.
【详解】解：由空间直角坐标系的性质可知点为，
故选：A．
3．A
【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可.
【详解】由题意可知，，.
故选：A
4．D
【分析】建立空间直角坐标系，根据面面平行、线线平行、面面垂直、线线垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
A选项， ，
设平面的法向量为，
则，故可设，
，设平面的法向量为，
则，故可设，
由于，所以、不平行，也即平面与平面平面不平行，A选项错误.
B选项，，所以与不平行，
也即与不平行，B选项错误.
C选项，由于平面，
所以平面，所以平面的一个法向量为，
平面的法向量为，，所以C选项错误.
D选项，，所以，
所以，D选项正确.
故选：D
5．C
【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解.
【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以.
故选:C．
6．A
【分析】根据空间向量的加减运算求解即可.
【详解】根据向量的加法、减法法则，得.
故选：A.
7．C
【分析】利用向量数量积的坐标运算即可.
【详解】解：由题意得：
故选：C
8．B
【分析】直接利用空间向量的运算法则计算得到答案.
【详解】.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据条件确定,的轨迹，根据轨迹确定选项A,B的正误，结合向量判断选项C,D的正误.
【详解】对于A，因为，所以，即点在上；
因为点在底面内，且，所以，即点在以为圆心，3为半径的圆弧上，如图，
因为到的距离为4，所以线段长度的最小值为1，故A正确；
对于B，由A可知，可以看作圆锥的一条母线， 直线和平面所成角为，，故B不正确；
对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
；
，；
，
到直线的距离；
因为，所以时，有最小值，故C正确；
对于D，；
由选项A可知，的面积的最大值为，而 ，
所以三棱锥的体积可能取值为10，故D正确；
故选：ACD
10．AD
【分析】选项A，由，平面平面，推出平面，即；
选项B，由平面平面，平面与平面不平行，可判断；
选项C，根据,，计算即可；
选项D，易知即为直线与平面所成的角，得解．
【详解】由题意知，平面平面，，
选项A，因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，即，故选项A正确；
选项B，因为平面平面，所以平面的法向量与平面的法向量垂直，
而平面与平面相交，并不平行，
所以平面的法向量与平面的法向量不垂直，即选项B错误；
选项C，设，则，，
所以，
在中，，
所以，，
由于异面直线所成角的取值范围为，
故异面直线与所成的角余弦值为，对应的角显然不可能为，即选项C错误；
选项D，由选项A知，平面，
所以即为直线与平面所成的角，而，故选项D正确．
故选：AD
11．ABD
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由，，，，有，，，可得，故A正确；
当M，N分别为棱，的中点时，，，，，所以，，所以，，，故B正确；
，设，所以，，
所以，故C错误；
设，所以，，设平面的一个法向量为，所以令，解得，，所以平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成角的大小为，所以，又，所以，故D正确.
故选：ABD.
12．BCD
【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A的结论，利用共面向量的充要条件判断B的结论，利用向量垂直的充要条件判定C的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高的值判定D的结论．
【详解】若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时，
即使，也不能说明，故A错误；
若，则，
所以，所以四点共面，故B正确；
由题意可得，若与垂直，
则，解得，故C正确；
由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确．
故选：BCD.
13．/
【分析】由已知可得，，即可求出的值，进而得出答案.
【详解】由已知可得，，.
因为，所以，解得，，
所以，.
故答案为：.
14．/
【分析】以点D为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
如图，以点D为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
则，，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
15．
【分析】求出，的坐标，利用向量夹角公式即可求出.
【详解】由题意得，，
，
，
与的夹角为．
故答案为：.
16．
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，根据题意得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线分别为和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，
因为，所以，
所以，
当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：.
17．(1)答案见解析，
(2)，，．
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，‘
（2）根据基底法表示空间向量，即可由空间向量基本定理求解.
【详解】（1）取的中点，取取一点，使得，连接．
则．
（2）因为
，
所以，，．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由平行四边形中的推出平面，再由线面平行的性质定理，结论即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，得点坐标，再求两个平面的法向量，再由公式求解平面与平面夹角余弦值即可.
【详解】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，
因为平面，且平面，且，所以平面，
因为平面，平面平面，且平面，
所以，又，
所以．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）知且，则，
则，，，，，
，所以，，，
，设平面的一个法向量为，
则，得，
设平面的一个法向量为，则，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19．
【分析】由向量的线性运算可得.
【详解】
.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明，来证明平面；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，运用向量法求解平面与平面夹角的正弦值;
【详解】（1）在中，因为，
由余弦定理知，得到，
所以，故，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面.
（2）如图所示，以为轴建立空间直角坐标系，
因为，，
则，，，，，，
又点是棱的中点，所以，
设平面的法向量为，
，，
由，得到，取，，
得到，
设平面的法向量为，
，，
由，得到，取，，
得到，
平面与平面夹角的平面角为锐角，
故余弦值为，
所以正弦值为
21．（1）；（2）；（3）.
【分析】根据三棱柱的几何特征，结合空间向量加减、数乘的几何意义化简各式.
【详解】（1）由空间向量加法的几何意义知：；
（2）∵，则，又，
∴.
（3），则，
∴.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；
（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】（1）
.
（2）
.
