铜川市2023一2024学年度高三第一次质量检测
文科数学试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题
卡上的指定位置。
2,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷，草稿纸和
答题卡上的非答题区城均无效。
4.考试结束后，只收答题卡。
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项)
1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={xkx2+2x-8≥0，则MnN=（)
A.{-2,2}
B.{-2
c.{2
D.2
2.已知a,beR,i=-1则“a=b=1”是"(a+bi2=2i”的（)t"
A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个
圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，
盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等
于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸； %=：+S+·$年h)
A.6寸
B.4寸
C.3寸
D.2寸
3题图
4.已知各项均为正数的等比数列{a,}中，3a,4,2a成等差数列，则9=（)
A.-1
B.3
C.-1或3
D.1.或-3
2+x
5.函数(y=1og42的大致图象是（）
卜】S
B.
6.过直线上3x+4y-1=0上一点P作圆Mx2+(y-4)2=1的两条切线（圆心为M,切点
分别是A,B,则四边形MAPB的面积最小值是（，)
A.1
B.√2
C.2
D.2√2
7.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向，铜川
市第一中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动。
如图所示的是该校高三(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价
实线，高三班的数机
得分对照图（得分越高，说明该项教育越好），则下列结论正确的是（)
虚线：高三(2班的数据
7题图
文科数学第1页共4页
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④高三(2)班五项评价得分的极差为1.
②除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分
③高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高.
④各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大，
A.②③
B.②④
C.①③
D.①④
8.北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙
邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功载人飞船进入
太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)
与声强x(单位：Wm)满起关系式：d〔)-10g0若某人交谈时的声强级约为60B,
且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为10？8，则火箭发射时的声强级约为()
A.125dB
B.132dB
C.138dB
D.156dB
9.已知函数f(x)=cos(ox+p)0<0<10,0
在(x)的图象上，下列说法错误的是(（
南海
5π
Af6)=cos2x+
B.直线x=
是f(x)图象的一条对称轴
P
7元11π
C.f(x)在
88
上单调递减
D.fx+
是奇函数
10.在△4ABC中，D是AB边上的点，满足AD=2DB,E在线段CD上（不含端点），
且正=x正+yAC(x,yeR),则+2Y的最小值为（）
y
B.4+25
C.8+4V5
D.8
A.3+2√2
11.古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短
半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C的面积为12√5π，离心率为
,,乃是椭圆C的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（】
满题C的标衡方程可以为希+分-1
喏∠R4=号，则S.65=205
⊙4的阿丽的最小值为+怎
2
1
O存在点A,使得∠546=号
B.②④
C.②③
D.①④
A.①③
12.设函数f(x)=(ar-me)(a-lhx)(其中e为自然对数的底数)，若存在实数a使得f(x)<0
恒成立，则实数m的取值范围是（)
A.(m
C.(e2,+)
B
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
文科数学第2页共4页
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文科数学参考答案
第 I卷（选择题 共 60分）
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项）
1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．C 9．B
10．B 11．D 12．A
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13 11 256
13．1012 14．14 15 ． , 16．
8 8 81
答案详解：
1．【答案】C
【解析】因为 N {x | x2 2x 8 0} {x | x 4或 x 2}，
所以M N {2}.
故选：C.
2．【答案】A
2 2
【解析】充分性：若 a b 1，则 a bi 1 i 1 2i i2 2i；
必要性：若 a bi 2 2i 2则 a bi a 2 2abi+b 2i 2=a 2 b 2 2abi=2i ，
a2 b2 0 a 1 a 1
则 ，得 ，或 ，故不满足必要性
2ab 2 b 1 b 1
2
综上“ a b 1”是“ a bi 2i”充分不必要条件，
故选：A
3．【答案】C
【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面
积即可得到答案.
【详解】
如图，由题意可知，天池盆上底面半径为 14寸，下底面半径为 6寸，高为 18寸，
1
因为积水深 9寸，所以水面半径为 14 6 10寸，
2
1
则盆中水的体积为 π 9
3 6
2 102 6 10 588π立方寸，
588π
所以平地降雨量等于 2 3寸.π 14
故选：C.
4. 【答案】B
【分析】根据等差中项的性质得到方程，再解方程即可.
1
【详解】设公比为 q q 0 ，因为 3a1， a3， 2a2 成等差数列，2
所以3a1 2a
1 2
2 2 a3，即 3a1 2a1q a1q ，显然 a1 0，2
所以 3 2q q2 ，解得 q 3或 q 1（舍去）.
故选：B.
5. 【答案】D
{#{QQABTYSAogCoQBAAABgCEQGqCgMQkAECAKoGBAAMoAAAwBFABCA=}#}
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函
数值的符号排除即可判断.
2 x
【详解】方法一：因为 0，即 x 2 x 2 0，所以 2 x 2，
2 x
所以函数 f x x2log 2 x 4 的定义域为 2, 2 ，关于原点对称，2 x
又 f x ( x)2 log 2 x4 f x ，所以函数 f x 是奇函数，其图象关于原点对称，2 x
故排除 B,C；
当 x 0,2 2 x时， 1 log 2 x，即 0，因此 f x 0，故排除 A.
2 x 4 2 x
故选:D.
方法二：由方法一，知函数 f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B,C；
又 f 1 1 log 23 0，所以排除 A.2
故选：D.
6. 【答案】D
2
【分析】由距离公式结合勾股定理得出 AP MP 1 2 2 ，进而由面积公式得出四边形 MAPB的
面积最小值.
16 1
【详解】圆 M： x2 (y 4)2 1的圆心 M 0,4 到直线 l： 3x 4 y 1 0的距离 d 3，
5
故 MP 2的最小值是 3，又因为 MA 1，则 AP MP 1 2 2 ，
1
故 AMP的面积的最小值是 S 1 2 2 2，故四边形 MAPB的面积的最小值是 2 2 .2
故选：D.
7. 【答案】C
【详解】对于①，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为 9.5，9，9.5，9，8.5，
所以极差为9.5 8.5 1，正确；
对于②，两班的德育分相等，错误；
9.5 9.25 9.5 9 9.5
对于③，高三（1）班的平均数为 9.35，
5
9.5 8.5 9 9.5 9
（2）班的平均数为 9.1，故正确；
5
对于④，两班的体育分相差9.5 9 0.5，
而两班的劳育得分相差9.25 8.5 0.75， 错误，
故选：C．
8.【答案】C
【分析】由指数与对数的互化关系结合函数关系式计算即可.
【详解】设人交谈时的声强为x W / m2 107.8，则火箭发射时的声强为 x1，且60 10lg
x1 x 10 6，得 ，
1 10 12 1
则火箭发射时的声强约为107.8 10 6 101.8W / m2，
1.8
将其代入 d x 10lg x 中，得 d 101.8 10 12 10lg 12 138dB ，10 10
故火箭发射时的声强级约为138dB，
故选:C.
9. 【答案】B
{#{QQABTYSAogCoQBAAABgCEQGqCgMQkAECAKoGBAAMoAAAwBFABCA=}#}
2 π A
π
【分析】由 f 0 可得 ，由对称中心
2 4
,0 可求得 2，从而知函数 f x 的解析式，再
8
根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.
【详解】因为点 B 0,
2
f (x) π 在 的图象上， 所以2 f (0) cos
2
.又 0 π ，所以 .
2 4
π π π π
因为 f (x)图象的一个对称中心是 A ,0 ，所以 kπ， k Z ，
8 8 4 2
π
则 2 8k ， k Z .又0 10，所以 2，则 f (x) cos 2x
4 ，A正确.
f 5π 3π 5π cos 0，则直线 x 不是 f (x)图象的一条对称轴，B不正确.
8 2 8
x 7π 11π当 π , 时， 2x [2π,3π]， f (x)单调递减，C正确. 8 8 4
f π π x cos 2x
sin 2x ，是奇函数，D正确.
8 2
故选：B.
10. 【答案】B
3 3 x 2y
【分析】利用平面向量的线性运算推导出 x y 1，将代数式 x y与 相乘，展开后利用基本
2 2 xy
x 2y
不等式可求得 的最小值.
xy
【详解】因为 D是 AB边上的点，满足 AD 2DB，则 AD 2DB，
2
所以， CD AD AC AB AC，
3
2
因为 E在线段CD 上（不含端点），则存在实数 0,1 ，使得 CE CD AB AC ，
3
2 2
所以， AE AC CE AC AB AC AB 1 AC，
3 3
x 2
又因为 AE xAB yAC x, y R 3，且 AB、 AC 不共线，则 3 ，故 x y 1，
y 1
2
2 2
因为 0,1 ，则 x 0, ， y 1 0,1 ，3 3
x 2y 2 1 1 3x 2y 2 1 1 8 3x 4y 1
8 2 3x 4y
所以 xy x y 2 x y 2 y x 2 y x
4 2 3，
{#{QQABTYSAogCoQBAAABgCEQGqCgMQkAECAKoGBAAMoAAAwBFABCA=}#}
3x 4y x 0, y 0 x 3 3 y x 3
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
3 x y 1 y 3 1 2 2
x 2y
故 的最小值为 .
xy 4 2 3
故选：B
11. 【答案】D
【分析】由椭圆的性质判断 A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断 B；由余弦定理得出 F1AF2 的
最大角为锐角，从而判断 C；由基本不等式判断 D.
ab 12 5
c 2 2 2
【详解】对于①：由 ，解得 a 6,b 2 5,c 4
x y
，则椭圆C的标准方程为 1，故
a 3 36 20
a2 b2 c
2
①正确；
对于②：由定义可知 | AF1 | | AF2 | 12 ，由余弦定理可得
AF 2 AF 2 F F 2 2AF AF 2 AF AF 2
cos F AF 1 2 1 2 1 2 1 2
F1F2
1 2 2 AF1 AF2 2 AF1 AF2
122 2 AF AF
1 2
64 1
80，解得 AF1 AF2 ，2 AF1 AF2 2 3
S 1 AF AF sin F AF 1 80 3 20 3则 F AF 1 2 1 2 ，故②错误；1 2 2 2 3 2 3
对于③：当点A为短轴的一个端点时， F1AF2 最大，
62 62 82 1
此时 cos F1AF2 0 ， F1AF2 为锐角，2 62 9
F AF 则不存在点A，使得 1 2 ，故③错误；2
2 1 1 2 1
对于④： | AF | | AF |
| AF1 | | AF2 | 12
| AF | | AF | 1 2 1 2
1 2 2 | AF2 | 1 | AF1 |
1 3 2 2 1 2 2 | AF 2 | | AF1 |12 ，当且仅当 | AF1 | | AF2 | 12 4 6 | AF1 | | AF2 | ，
即 | AF1 | 2 | AF2 |时，等号成立，故④正确；
故选：D
12．【答案】A
mex ln x ln x mex
【分析】由题意可得 (a )(a ) 0，令 g x ,h(x) ，函数 y g x 和函数 y h x 的图
x x x x
象，一个在直线 y a上方，一个在直线 y a下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
即可得出答案．
【详解】函数 f x 的定义域为 (0, )，
x
由 f x 0，得 (ax mex ) ax ln x 0 me ln x，所以 (a )(a ) 0，
x x
x
令 g(x) ln x ,h(x) me ，
x x
{#{QQABTYSAogCoQBAAABgCEQGqCgMQkAECAKoGBAAMoAAAwBFABCA=}#}
由题意知，函数 y g x 和函数 y h x 的图象，一个在直线 y a上方，一个在直 y a下方，等价于一
个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由 g(x)
ln x
(x 0) g (x) 1 ln x，得 ，
x x2
所以当 x 0,e 时， g x 0, g x 单调递增，
当 x (e, )时， g x 0, g x 单调递减，
所以 g x g(e) ln e 1 g(x)max ， 没有最小值，e e
mex x xh(x) (x 0) h (x) me x me me
x (x 1)
由 ，得 ，
x x2 x2
当m 0时，在 x 0,1 上 h x 0,h x 单调递增，
在 x (1, )上 h x 0,h x 单调递减，
所以 h x 有最大值，无最小值，不合题意，
当m 0时，在 x 0,1 上 h x 0,h x 单调递减，
在 x (1, )上 h x 0,h x 单调递增，
所以 h(x)min h(1) me，
所以 h 1 g e 即me 1 ，
e
所以m
1 1
2 ，即 m的取值范围为 ( 2 , )．e e
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13．【答案】1012
【分析】根据等和数列的性质可以求出奇数项都相等，偶数项也都相等，最后求和即可.
【详解】由等和数列概念可得 a2 2,a3 1,a4 2, a2023 1， a2024 2，
所以 S2024 1 2 1012 1012 .
故答案为：1012
14. 【答案】14
【分析】首先画出可行域，将目标函数变形根据其几何意义即可求得当 z 3x 2y过点 2, 4 时，取得最
大值为14 .
【详解】根据题意画出满足约束条件的可行域如下图中着色部分所示：
将目标函数 z 3x 2y
3
变形可得 y x
z
，
2 2
若 z 3x 2y
3 z
取得最大值，即直线 y x 在 y轴上的截距取得最小值，
2 2
3
将 y x平移到过点 A 2, 4 3 z时，直线 y x 在 y轴上的截距最小，
2 2 2
此时目标函数 z 3x 2y有最大值为14 .
故答案为：14
{#{QQABTYSAogCoQBAAABgCEQGqCgMQkAECAKoGBAAMoAAAwBFABCA=}#}
13 ,11 15．【答案】
8 8
【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.
【详解】
由题可知 A,B在 x y 3 0的同侧，设点 B关于直线 x y 3 0的对称点为 B a,b ，
a 6 b 2
3 0 2 2 a 1,
则 ，解得 即 B 1, 3 ．
b 2
1 1
b 3,
a 6
将军从出发点到河边的路线所在直线即为 AB ，又 A 2,4 ，所以直线 AB 的方程为 7x y 10 0，
设将军在河边饮马的地点为 H ，则H 即为 7x y 10 0与 x y 3 0的交点，
13
7x y 10 0 x 8 H 13 ,11 13 11 ，解得 ，所以 ．故答案为： ,
x y 3 0
y 11 8 8 8 8
8
256
16．【答案】 π
81
【解析】
【分析】设圆锥的高为 h，底面圆的半径为 r，由勾股定理得 r 2 4h h2 ，根据圆锥的体积公式得
V 4π h2 π h3 ，利用导数研究函数V (h)的性质求出V (h)max 即可求解.3 3
【详解】设圆锥的高为 h，底面圆的半径为 r，
则 (h 2)2 r 2 22 ，即 r 2 4h h2 ，
1 1 4π π
所以该圆锥的体积为V πr 2h π(4h h2 )h h2 h3 ，
3 3 3 3
V (h) 4π π 8π设函数 h2 h3(h 0) 2，则V (h) h πh ，
3 3 3
令V (h) 0 0 h
8
，函数V (h)单调递增，
3
令V (h) 0 h
8
，函数V (h)单调递减，
3
8 4π 8 2 π 8 3 256
所以V (h)max V ( ) ( ) ( ) π .3 3 3 3 3 81
256
即圆锥的最大体积为 π .
81
256
故答案为： π .
81
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
（一）必考题（共 60分）
π
17．(12分）【答案】(1) 1条件选择见解析，C (2)
3 2
{#{QQABTYSAogCoQBAAABgCEQGqCgMQkAECAKoGBAAMoAAAwBFABCA=}#}
1
【分析】（1）选①，利用二倍角余弦公式及三角形的性质求解 cosC ，再利用余弦值求角；选②，利用
2
余弦定理及面积公式建立方程求得 tanC 3，利用正切值求角；选③，利用两角和正切公式化简得
tanC 3，利用正切值求角；
1
（2）由余弦定理得 c2 1 3ab，利用基本不等式求得 ab ，从而解二次不等式得 c的最小值.4
【详解】（1）选①，由 cos 2C 1 3cos A B 1得 2cos2 C 3cosC 2 0，解得 cosC 或 cosC 2（舍
2
去），因为C 0, π π，所以C .
3
选②，由余弦定理得 2abcosC a2 3 b2 c2，则 S 2abcosC 3 abcosC，
4 2
3 π
所以 ab cosC 1 ab sinC ，所以 tanC 3，因为C 0, π ，所以C .
2 2 3
选③，由 3 tan A tan B tan A tan B 3得 3 tan A tanB 1 tan A tanB，
所以 tan A π B 3 .所以 tanC 3，因为C 0, π ，所以C .3
（2）由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 ab a b 2 3ab 1 3ab，
1 1 1
又 a b 2 ab，则 ab≤ ，所以 ab ，当且仅当 a b 时等号成立，2 4 2
所以 1 3ab
1
，所以 c2
1 1
，所以c .所以 c 1的最小值为 2 .4 4 2
2 3
18. (12分）【答案】（1） （2）（i） m 10， n 16；（ii）
5 7
【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可；
（2）（i）根据题中所给的公式进行求解即可；（ii）利用代入法，结合残差的定义进行求解即可.
【详解】（1）用 x, y 表示从被抽中的 6名同学中随机抽出 2名同学的序号分别为 x和 y，则基本事件有
1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 1,6 ， 2,3 ， 2,4 ， 2,5 ， 2,6 ， 3, 4 ， 3,5 ， 3,6 ， 4,5 ，
4,6 ， 5,6 ，共 15个，
将“抽出的 2名同学的课外学习时长都不小于 210分钟”记为事件，
由已知，序号为 1，3，4，6的同学课外学习时长都不小于 210分钟，
∴事件 A中基本事件有 1,3 ， 1,4 ， 1,6 ， 3, 4 ， 3,6 ， 4,6 ，共 6个，
∴ P A 6 2 ；
15 5
1
（2）（i）由表知 x 1 2 3 4 5 6 7 4，
7
y 1 8 9 m 12 n 19 22 70 m n ，
7 7
7
2 x x 3 2 2 2 1 2 0 2 12∴ i 2 2 32 28 ，
i 1
7
xi yi 7xy 452 7 4 70 m n
∴ b i 17
7
，即
2 28 m n 43 7b
，①
xi x
i 1
70 m n
∵回归直线恒过样本点的中心 x, y ，∴ 4b 4，即 m n 28b 42，②7
{#{QQABTYSAogCoQBAAABgCEQGqCgMQkAECAKoGBAAMoAAAwBFABCA=}#}
由①②，得b 17 ， m n 26，③
7
7
∵ xi yi 8 18 3m 48 5n 114 154 452 ，∴ 3m 5n 110，④
i 1
由③④，得 m 10， n 16 .
17
（ii）∵线性回归方程为 y x 4，
7
∴当 x 6 17 130 130 3 时，预测值 y 6 4 ，此时残差为 19 .
7 7 7 7
19．（12分）【答案】(1)证明见解析 (2) 2 15 .
5
【详解】（1） AP AB 2 2， PB 4 AP2 AB2 PB2， AP AB
平面 PAB 平面 ABCD，且交线为 AB， AP 平面 PAB， AP 平面 ABCD，
CD 平面 ABCD， AP CD 连接 AC， AF，如图，
因为四边形 ABCD是边长为 2 2的菱形， ABC 60 ，所以 ACD为等边三角形.
又因为 E为 CD的中点，所以 CD AE，
又 AP AE A， AP 平面 PAE， AE 平面 PAE，所以 CD 平面 PAE
（2）设点 A到平面 PEF的距离为 h，则 VA PEF VE PAF，
因为 AB CD，所以 AE AB，又由（1）知 AE AP，
又 AP AB A， AP 平面 PAB， AB 平面 PAB，所以 AE 平面 PAB，
又 PF 平面 PAB， AF 平面 PAB，所以 AE PF ， AE AF，
又 AF
1
PB 2， AE 2 2 sin 60 6 ，
2
又由 PF AE， PF AF ， AE AF A， AF 平面 AEF， AE 平面 AEF，
所以 PF 平面 AEF，且 PF 2， FE AE 2 AF 2 10，
1 1
PF FE h 1 1 PF AF AE h AF AE 2 6 2 15所以 ，即 ，
3 2 3 2 FE 10 5
所以点 A到平面 PEF 2 15的距离为
5
2 2
20．（12分）【答案】(1) x y 1 (2)存在， P(4,0)
12 3
c b 2 21 3 a 2b C x y
2
【详解】（ ）因为 e 1 ，所以 所以椭圆 的方程为 1
a a 2 2 4b2 b2
3 9
因为点 3, 在椭圆 C上，所以 3 2
2 2
4 1，解得 b 3，
4b b2
2 2
所以 a2 12 C x y所以椭圆 的标准方程为 1
12 3
（2）存在定点 P(4,0)，使 OPA OPB .理由如下：
由（1）知， c2 12 3 9，则点 F (3,0) .设在 x轴上存在定点 P( ,0)，使 OPA OPB成立.
当直线 l斜率为 0时，直线右焦点 F的直线 l即 x轴与 C交于长轴两端点，
若 OPA OPB，则 t 2 3，或 t 2 3
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当直线 l斜率不为 0时，设直线 l的方程为 x my 3, A x1, y1 ,B x2 , y2 ，.
x2 y2
1, 6m 3
由 12 3 2 2消去 x并整理，得 4 m y 6my 3 0，则 y1 y2 , y y
4 m
2 1 2 4 m2
x my 3
y
OPA OPB k k 0 1
y2
因为 ，所以 PA PB ，所以 0 yx t x t ，即 1 x2 t y2 x1 t 0 .1 2
所以 y1 my2 3 t y2 my1 3 t 0，即 2my1y2 3 y1 y2 t y1 y2 0，
6m 18m 6mt 6m(t 4)
2 2 2 2 0恒成立，4 m 4 m 4 m 4 m
6m(t 4)
即对 m R ， 2 0恒成立，则 t 4，即 P(4,0)4 m
又点 P(4,0)满足条件 t 2 3 . 综上所述，故存在定点 P(4,0)，使 OPA OPB
21. （12分）【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析.
【分析】（1）对参数 a分类讨论，根据不同情况下导函数函数值的正负，即可判断单调性；
（2）利用导数判断 F x 的单调性，求得 x0的范围，满足的条件，以及 F x0 ，根据 x0的范围夹逼 F x0
的范围即可.
【详解】（1）函数 f x 的定义域为 0, , f x a x a 1 ，
x x
①当 a 0时， f (x) > 0，函数 f x 在 0, 上单调递增；
②当 a 0时，由 f (x) > 0，得 x a，由 f x 0，得0 x a，
所以，函数 f x 在 a, 上单调递增，在 0,a 上单调递减.
综上，当 a 0时，函数 f x 在 0, 上单调递增；当 a 0时，函数 f x 在 a, 上单调递增，
在 0,a 上单调递减.
1 1
【详解】（2）当 a 1时， F x x 2 ex x lnx 4,F x x 1 ex 1 x 1 ex ，
x x
设 g x ex 1 x 1，则 g x e 2 ，x x
当 x 0时， g x 0，所以 g x 在 0, 上单调递增，
g 1 又 e 2 0,g 1 e 1 0，
2
1
所以存在 x1 ,1 ，使得 g x1 0，
2
且当 x 0, x1 , g x 0, x x1, , g x 0 ；
又当 x 0,1 , y x 1 0; x 1, , y x 1 0 ；
故当 x 0, x1 ， F x 0；当 x x1,1 ， F x 0；当 x 1, ， F x 0
所以 F x 在 0, x1 上单调递增，在 x1,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
所以当 x x1时， F x 取得极大值，故 x0 x1，
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1
且 ex
1
0 0 x0
x ，所以
e ,lnx x
0 x
0 0，
0
F x x 2 1 0 x0 2 e x0 x0 lnx 00 4 x0 x0 4 5 2 xx 0 ，0 x0
1 1y x ,1 又 在 单调递减，所以 0 F x 1 .x 2 0
【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论，以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能
够准确分析 F x 的单调性，以及求得隐零点的范围以及满足的条件，属综合中档题.
（二）选考题：共 10 分.请考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分.
22. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1） 4cos （2） AB 2 7max
【分析】（1）先求出点 Q的参数方程，化为普通方程，最后求出极坐标方程；
（2）由点 A、 B的极坐标直接求两点间的距离，再由三角函数的最值求解.
【详解】（1）设 P 4 4cos ,4sin ，Q x, y .
则 OP 4 4cos ,4sin ， OQ x, y .
1
x 4 4cos 2 2cos ,
由 OQ
1
OP 2 2，
2
曲线C2直角坐标系方程为 x 2 y 2 4，
y 1 4sin 2sin ,
2
x cos
由 曲线C 的极坐标方程为 4cos .
y sin
2
【详解】（2）设 A 1, ， B 2 , 则 1 4cos ， 2 2 3sin ，
AB 1 2 4cos 2 3sin 2 7 sin
π π π ，当 时， AB 2 7 .
6 6 2 max
23. 【选修 4-5：不等式选讲】【答案】（1） x, 4 3, （2） ,3 7,
【分析】（1）分 x 2， 3 x 2和 x 3三种情况求解不等式；
（2）先利用绝对值三角不等式的性质可求出 f (x)的最小值 a 5 ，然后将问题转化为 a 5 2，从而可
求出 a的取值范围.
【详解】（1）当 a 0时，不等式 f x 7，
可化为： x 2 x 3 7．
当 x 2时，不等式可化为； x 2 x 3 7，解得： x 3；
当 3 x 2时，不等式可化为： 2 x x 3 7，不成立；
当 x 3时，不等式可化为； 2 x x 3 7，解得： x 4；
所以不等式 f x 7的解集为 x, 4 3, ；
【详解】（2）根据绝对值不等式的性质知
f x x a 2 x 3 x a 2 x 3 a 5 ，
当且仅当 (x a 2)(x 3) 0 时，等号成立，因为 f x 2，所以 a 5 2，
解得 a 5 2或 a 5 2，即 a 7或 a 3，
所以 a的取值范围是 ,3 7, ．
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