第五章复数单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设为虚数单位，若，则它的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为4 B．复数在复平面内对应的点位于第三象限
C． D．
7．已知复数满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．设复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．若复数，下列说法正确的是（ ）
A．若z在复平面内对应点位于第二象限，则
B．若z为纯虚数，则
C．若，则
D．若，则
10．下列说法正确的有（ ）
A．设，是两个虚数，若和均为实数，则，是共轭复数
B．若，则与互为共轭复数
C．设，是两个虚数，若与是共轭复数，则和均是实数
D．若，则与互为共轭复数
11．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的实部是1，虚部是2
B．复数的模为
C．复数
D．复数是方程的一个根
12．设i为虚数单位，则下列命题错误的是（ ）
A．，复数是纯虚数
B．在复平面内对应的点位于第三象限
C．若复数，则存在复数，使得
D．，方程无解
三、填空题
13．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ．
14．已知复数，为虚数单位，则的实部是 ．
15．已知复数满足，则复平面内由点形成的区域的面积为 ．
16．在如图所示的复平面内，复数、、对应的向量分别是、、，则复数对应的点位于第 象限.
四、解答题
17．化简、求值
(1)；
(2)－；
(3) 2013＋2013.
18．已知复数满足：.
(1)求复数；
(2)化简：.
19．计算下列各题:
(1)；
(2).
20．（1）已知复数，求.
（2）已知是虚数单位，化简复数：.
21．化简：，，，，，，，．
22．已知复数．
（Ⅰ）当实数取什么值时，复数是纯虚数；
（Ⅱ）当时，化简．
参考答案：
1．B
【分析】首先根据复数的定义化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为，复数，所以复数在复平面内对应的点的坐标为位于第二象限.
故选：B
2．A
【分析】根据复数的除法与模长公式可得，再根据共轭复数的定义与几何意义判定即可
【详解】∵，∴，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A.
3．C
【分析】根据复数的乘法规则求解.
【详解】；
故选：C.
4．A
【分析】根据题意求得，结合，即可求解.
【详解】由，可得，则.
故选：A.
5．D
【分析】由一元二次方程求根公式即可建立方程组求解
【详解】方程的根为，
为其中一个复数根，则有，解得.
故选：D.
6．D
【分析】求复数的代数形式，再由复数虚部的定义，复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的模的运算公式依次判断各选项.
【详解】因为，
则的虚部为2，A错误；
复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
7．D
【分析】设，根据复数相等、共轭复数概念求参数a、b，进而得到z在复平面内对应的点所在象限.
【详解】设，则，
∴可化为，即，
∴，解得，故，
∴复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
8．D
【分析】根据复数的除法运算求得复数 ，继而得，从而求得答案.
【详解】由可得，
故，则的虚部为2，
故选：D
9．ABC
【分析】求出a，b正负判断A；利用纯虚数判断B；利用复数的乘法结合复数是实数的条件判断C；计算复数的乘方判断D作答.
【详解】对于A，z在复平面内对应点位于第二象限，则，有，A正确；
对于B，z为纯虚数，则且，B正确；
对于C，，而，则，C正确；
对于D，，则，D错误.
故选：ABC
10．ABC
【分析】A.设i，,i,,,，则，是共轭复数，该选项正确；
B. 若，所以与互为共轭复数，所以该选项正确；
C.设i，,i, 则是实数，是实数，所以该选项正确；
D.如i,i, ，则与不一定互为共轭复数,所以该选项错误.
【详解】A.设i，,i,,i是实数，所以,i是实数，所以所以，所以则，是共轭复数，所以该选项正确；
B. 若，则，，所以与互为共轭复数，所以该选项正确；
C.设i，,i, 则是实数，是实数，所以该选项正确；
D. 若，则与不一定互为共轭复数，如i,i,所以该选项错误.
故选：ABC
11．BD
【分析】复数,可知其实部为1与虚部为，其模长为，，将复数代入验证即可说明复数为方程的一个根.
【详解】因为复数
所以复数的实部是1，虚部是，A错误，
，B正确，
，C错误，
因为，即复数是方程的一个根，D正确.
故选：BD.
12．ABD
【分析】根据纯虚数的定义结合反例，判断选项A不正确；化简，得出复数对应点的坐标，即可判定选项B；根据共轭复数的乘积关系，可判定选项C；根据复数相等的充要条件，求出方程的解，即可判定选项D.
【详解】当时，不是纯虚数，选项A错误；
对应点的坐标为位于第一象限，
选项B错误；
，令，则，
选项C正确；
，方程，即，解得，
所以选项D错误.
故选：ABD.
13．2
【分析】由复数的概念列方程组求解即可.
【详解】由于复数（为虚数单位）是纯虚数，所以，
解得，
故答案为：2.
14．/
【分析】利用复数除法运算法则化简复数，从而得到其实部．
【详解】，则其实部为，
故答案为：．
15．
【分析】先由题给条件判断出复平面内由点形成的区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，再去求该区域的面积即可.
【详解】复数满足，
则，所以，
所以复平面内由点形成的区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，
该区域的面积为．
故答案为：
16．三
【分析】根据给定的图形写出复数、、，再计算即可得解.
【详解】依图形可得，，，则它们所对复数为，，，
，
所以复数对应的点坐标为，位于第三象限.
故答案为：三
17．（1）3＋i；（2）－i；（3）.
【分析】(1)利用复数的乘除运算法则以及的性质解答即可；
(2) 利用复数的乘除运算法则以及复数的乘方运算解答即可；
(3) 利用复数的乘除运算法则以及复数的乘方运算解答即可
【详解】(1)原式＝＝3＋i；
(2)原式＝－＝＝－i；
(3)原式＝×2×1006＋×2×1006
＝×(－i)1006＋×i1006
＝×(－1)503＋×(－1)503＝＝－.
【点睛】方法点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方程组，求出，从而可得出答案；
（2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.
【详解】（1）解：设复数，
根据题意得，
，
则，
；
（2）解：由（1）得，
则
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可；
（2）利用复数的四则运算求解即可.
【详解】（1）
.
；
（2）
.
.
20．（1）；（2）0；
【分析】（1）利用复数的乘法、乘方运算化简，根据共轭复数得到，进而求即可；（2）利用复数的四则运算，化简求值即可；
【详解】（1），故，所以；
（2）
【点睛】本题考查了复数的概念以及四则运算，利用共轭复数概念得到共轭复数并求模，应用复数的四则运算化简求值，注意、的应用；
21．.
【分析】由复数的乘方法则即可求解.
【详解】由复数乘方法则可知，
所以，，，，
，，，.
22．（Ⅰ）;（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（Ⅰ）复数的实部为0,虚部不为0．（Ⅱ）当时，．先将整理即分母两复数做加法,分子完全平方,之后再分母实数化即分子分母同乘以分母的共轭复数．
试题解析：（Ⅰ）当时，解得，
即时，复数为纯虚数．
（Ⅱ）当时，，
