建昌县2023-2024学年度上学期八年级期末检测
数学试卷
※考试时间120分钟 满分120分
考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．， ，
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．或
6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
8．把一副三角板按如图所示方式拼在一起，作的平分线，则的度数是( )
A． B． C． D．
9．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，点，，…在射线上，点，，…在射线上， ，，…均为等边三角形，若，则的周长为（ ）
A．192 B．384 C．64 D．128
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ．
12．使分式有意义的的取值范围是 ．
13．若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是 ．
14．如下图中，，平分，，，则的面积是 ．
15．如图，已知，，，点在边上，连接，．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有 ．（填写全部正确结论的序号）
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算
(1)
(2)
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，．
(1)在图中画出关于轴对称的；
(2)直接写出，，的坐标；
(3)直接写出的面积．
19．如图，已知点，，，在同一直线上，，，．请你判断和的位置关系，并说明理由．
20．为响应“地球熄灯一小时”的号召，某饭店在当天晚上推出烛光晚餐活动．计划用2000元购进一定数量的蜡烛，因为是批量购买，每支蜡烛的价格比原价低20%，结果用相同的费用比原计划多购进25支，则每支蜡烛的原价为多少？
21．如图，在中，是边上的高，．
(1) ；
(2)若平分交于点，，求的度数．
22．【发现问题】一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，…，第次倒出的水量是的…．
【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的1L水能倒完吗？
【分析问题】容易列出倒次水侧出的总水量为．
根据分式的减法法则，．
反过来，有．
所以，倒次水倒出的总水量为：
【解决问题】
(1)容器中的1L水 （填“能”或“不能”）倒完；
(2)若目前共倒了30次水，求此时倒出的总水量；
(3)当，时，的值．
23．【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，之间的数量关系 ．
【类比分析】
像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）．
（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
B、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
C、是轴对称图形，故该选项是正确的；
D、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
故选：C
2．D
【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】∵，与两边之和大于第三边矛盾，
∴A不符合题意；
∵，构不成三角形，
∴B不符合题意；
∵，构不成三角形，
∴C不符合题意；
∵，满足两边之和大于第三边，构成三角形，
∴D符合题意；
故选D．
3．D
【分析】本题主要考查了同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘，根据同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】∵，
故选A．
5．D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答时，分4是底边和腰两种情况计算即可．
【详解】当为底边时，腰长为，三角形存在；
当为腰时，底边长为，三角形存在；
故选D．
6．A
【分析】本题考查了因式分解的定义即把一个多项式写成几个单项式的乘积形式，根据定义判断即可．
【详解】解：A. 是因式分解，符合题意；
B. ，不是因式分解，不符合题意；
C. ，不是因式分解，不符合题意；
D. ，不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了三角形的全等的判定，根据已知，结合定理选择方法即可．
【详解】∵，
∴，
故选B．
8．C
【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算．根据角平分线的定义和角的和差计算即可．
【详解】解：一副三角板所对应的角度是，，，，
，
平分，
，
故选：C．
9．A
【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【详解】解：由题意得：，
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及三角形外角的性质，根据已知得出的周长为，的周长为，的周长为，进而发现规律是解题关键．
【详解】∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
同理可证，，
∴的周长为，
的周长为，
的周长为，
∴的周长为，
故选B．
11．
【分析】本题考查了点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可．
【详解】点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】由题意得，，
解得，
故答案为：．
13．四边形
【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数：
【详解】解：设这个多边形的边数是n，则
（n﹣2） 180°=360°，
解得n=4．
故答案为：四边形．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式的应用，多边形的外角和，解题的关键是要能列出一元一次方程．
14．12
【分析】作于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解．
【详解】解：作于点E，如图，
∵平分，，，
∴，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；关键在于知道从角平分线上一点到两条边的垂线段长度相等．
15．①②④
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定 和性质，特殊角的直角三角形．根据性质，注意计算证明判断即可．
【详解】∵，，，∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
故①②④正确；
无法证明平分，
故③错误，
故答案为：①②④．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式除以单项式，熟练掌握运算法则计算即可．
(1)根据多项式乘以多项式计算即可．
(2)根据多项式除以单项式计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
17．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，利用约分，通分，因式分解等技能化简计算是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
18．(1)见解析
(2)，，
(3)6
【分析】本题考查了坐标的对称问题，分割法计算三角形的面积，熟练掌握对称点坐标的计算，正确作图是解题的关键．
(1)根据纵不变，横相反，计算坐标，并画图即可．
(2)根据（1）的解答写出答案即可．
(3)利用分割法计算即可．
【详解】（1）∵与关于y轴成轴对称，
，
∴，，，画图如下：
则即为所求．
（2）根据(1)得，，．
（3）．
19．平行，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．欲证明，只要证明，只要证明即可．
【详解】解：平行，理由如下：
，
．
．
在和中，
，
．
．
．
20．每支蜡烛的原价为20元．
【分析】设每支蜡烛的原价为x元，根据等量关系是总费用除以每支蜡烛的原价+25=总费用除以每支蜡烛的价格比原价低20%的价格，列方程求解即可．
【详解】解：设每支蜡烛的原价为x元，
根据题意得：，
整理得，
解得x=20元，
经检验x=20元符合题意，
答每支蜡烛的原价为20元．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题步骤和方法，抓住等量关系是列方程是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，交的和差计算．
(1)根据，结合，计算即可．
(2)根据，得，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）∵是边上的高，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
（2）是边上的高，
．
，
，
．
又平分，
．
．
22．(1)不能
(2)此时倒出水的总量为
(3)
【分析】本题主要考查数字的变化规律，列代数式以及求代数式的值，分式的加减运算．
（1）对分析中的结果进行分析即可；
（2）把代入分析中的结果进行计算即可；
（3）把，代入后进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴这水不可以倒完．
故答案为：不能；
（2）解：当时，
此时倒出水的总量为．
（3）解：由题可知：，．
原式
．
23．（1）；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】(1)根据，，，得到，证明，，结合，得到，可证明，可得证．
（2）如图2，延长到，使，连结，根据，得到，证明，再证明，可得证．
（3）延长到点，使．连接，仿照(2)证明即可．
【详解】（1），理由如下：
∵，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图2，延长到，使，连结，
∵，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，，
∵，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵
∴．
故结论仍然成立．
（3）如图，延长到点，使．连接．
∵，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，，
∵，，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等判定和性质，补角的性质，半角全等模型，熟练掌握半角全等模型的意义是解题的关键．
