2023-2024学年人教版九年级上册数学期末模拟试题
一、单选题（每题3分，共24分）
1．下列图案，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．王鹏在一个不透明的盒子里放了2颗白色棋子和4颗黑色棋子，这些棋子除颜色外无其他差别，随机从盒子里一次摸出3颗棋子，下列事件是必然事件的（ ）
A．3颗棋子都是白色 B．3颗棋子都是黑色
C．3颗棋子中有白色 D．3颗棋子中有黑色
4．把方程化为一元二次方程的一般形式以后，a、b、c的值分别为（ ）
A．1、、10 B．1、7、 C．1、、12 D．1、3、2
5．抛物线与x轴的两个交点分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．把抛物线 先向左平移1个单位再向上平移1个单位，所得到抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是圆的直径，、是上的两点，连接、相交于点，若，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．平面直角坐标系中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下面三个结论： ①；② 二次函数有最大值4；③ 关于x的方程有两个实数根，．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（每题3分，共24分）
9．二次函数的顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ．
10．一个不透明的盒子里装有2个黄球，3个红球和4个蓝球（球除颜色外其他都相同），从中任意取出一个球，取到是红色球的可能性大小为 ．
11．若一元二次方程的两根为，则的值为 ．
12．将点绕原点顺时针旋转，点P的对应点的坐标为 ．
13．关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则的最大值是 ．
14．如图，矩形中，，以为直径的半圆Ｏ与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
15．如图，边长为6的正方形的边上有一点，若线段绕点顺时针旋转与线段重合，则四边形的面积 ．
16．如图，正方形和，，，连接．若绕点A旋转，当最大时， ．
三、解答题（共72分）
17．解方程：
(1) (2)
18．如图，三个顶点的坐标分别为、、．
(1)请画出向左平移5个单位长度得到的△；
(2)请画出关于原点对称的，并求出的面积；
(3)在轴上求作一点，是的周长最小，并直接写出点的坐标：_____．
19．九年级一班数学兴趣小组对本班同学对《研学》项目的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)九年级一班共有学生______名；
(2)九年级共有学生1200人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？
(3)该校德育处决定从九年级一班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若调查的A类的4人中，刚好有2名男生和2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的2人恰好为一名男生和一名女生的概率．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数，该方程总有实数根；
(2)若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围．
21．如图，中，，点D为斜边中点，以为直径作，分别与、边交于点E、F，连接，过点F作
(1)求证：是的切线；
(2)已知的半径为，若，求的长．
22．某水果店销售一种水果，购进时的单价为30元/斤，根据调查：销售单价为40元/斤时，平均每天可售500斤，而售价每涨1元，就会少售出10斤．设售价为x元．
(1)请你用含售价x的代数式来表示销售量y．
(2)若水果店获利8000元，并尽量给予消费者实惠，该水果的单价应定为多少元？
(3)求水果店的最大利润是多少？此时售价应定为何值？
23．（1）问题：如图1，在中，，D为 边上一点（不与点B，C重合），连接，过点A作并满足 ，连接 ． 则线段和线段的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探索：如图 2，当 D 点为 边上一点（不与点 B，C 重合），与均为等腰直角三角形， 试探索线段．之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形中， 若 ，请求出线段的长．
24．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值；
(3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
()
()
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查一元二方程的定义，掌握“只含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程”是解题的关键．
【详解】解：A、，是一元二次方程，故符合题意；
B、中，含有两个未知数，故不是一元二次方程，故不符合题意；
C、，不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、，没有二次项，是一元一次方程，故不符合题意；
故选A．
3．D
【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟知必然事件的定义是解题的关键：在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件．根据必然事件的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、∵盒子里只有2个白棋子，故摸出3个棋子都是白棋子，是不可能事件，故不符合题意；
B、∵盒子里还有2个白棋子，故摸出3个棋子都是黑棋子，是随机事件，故不符合题意；
C、∵盒子里有4个黑棋子，故摸出的3个棋子可能都是黑色棋子，故3颗棋子中有白色是随机事件，故不符合题意；
D、∵盒子里只有2个白棋子，故摸出的3个棋子中有黑棋子，是必然事件，故符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化为，再根据一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），在一般形式中叫二次项， 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行解答即可．
【详解】解：，
，
整理得：，
则，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，．
【详解】解：令，
即，
解得一元二次方程的根为：，；
则抛物线与x轴的两个交点分别为和；
故答案选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左右平移，横坐标相加减，上下平移纵坐标向加减”进行求解即可．
【详解】解：把抛物线 先向左平移1个单位再向上平移1个单位，所得到抛物线的表达式为，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，作出恰当的辅助线是解题的关键．连接，利用直径所对的圆周角是直角，可得，易得，利用圆周角定理可得结果．
【详解】解：连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据开口向下可得，根据对称轴为直线得到，由此可判断①；根据顶点坐标为，即可判断②；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断③。
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由函数图象可知，该二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数有最大值4，故②正确；
∵二次函数与x轴的一个交点坐标为，
∴由对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于x的方程有两个实数根，，故③正确；
故选D.
9．
【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标与y轴的交点坐标，把解析式化为顶点式即可得到顶点坐标，再求出当时y的值即可求出与y轴的交点坐标．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴该二次函数的顶点坐标为，
在中，当时，，
∴该二次函数与轴的交点坐标是，
故答案为：，．
10．
【分析】本题考查了可能性的大小，由题意得从中任意取出一个球，共有9种等可能，取到是红色球的可能有3种，故为．
【详解】解：．
取到是红色球的可能性大小为．
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】∵一元二次方程的两根为，，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标横坐标、纵坐标均互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点坐标横坐标、纵坐标均互为相反数进行作答即可．
【详解】解：由题意知，旋转过后的点坐标与P点坐标关于原点对称，
∴点P的对应点的坐标为，
故答案为：．
13．2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，用配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
【详解】解：由方程有两个不相等的实根，，
可得，，，
∵，可得，，即，
化简得∶，
则，
故最大值为2．
故答案为：2．
14．
【分析】连接交于点，根据切线的性质可得，可得到四边形和四边形为矩形，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：连接交于点，如图，
以为直径的半圆与相切于点，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形和四边形为矩形，
，，
在和中，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，求不规则图形面积，全等三角形的性质与判定等等，圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点，据此作出辅助线构造全等三角形求解即可．
15．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，根据正方形的性质得到，，再由旋转的性质得到，由此推出，则可证明得到，据此可得．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
16．30
【分析】过作于，由题意得绕点旋转时，点在以为圆心，12为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，则，再由勾股定理求出，然后证，得，最后由三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过作于，如图所示：
，
当绕点旋转时，点在以为圆心，12为半径的圆上，
当为此圆的切线时，最大，
，
在中，由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用配方法即可求解．
【详解】（1）解：
，
，；
（2）解：
，
18．(1)见解析
(2)画图见解析， 的面积为
(3)画图见解析，
【分析】本题考查了作图—平移变换，作图—中心对称，坐标与图形，在网格中求三角形面积，轴对称的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
（1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）依据关于原点对称点的坐标特点得出的坐标，然后顺次连接即可，根据正方形的面积减去3个三角形的面积即可求解；
（3）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接并根据图象写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，．
19．(1)40
(2)180人
(3)
【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．
（1）由A类的人数除以所占的百分比得出九年级一班的人数，即可解决问题；
（2）由九年级共有学生人数乘以D类人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）九年级一班共有学生：（名），
故答案为：40；
（2）抽样中：B类学生人数为：（人）
D类学生人数为（人），
所以，（人）
答：估计九年级学生选择D类的大约有180人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有8种，
∴抽到的一男一女的概率为．
20．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键：
（1）根据一元二次方程判别式为，即可解答；
（2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴对于任意实数m，该方程总有实数根；
（2）解：设方程的两个实数根为，，
，
∴，，
∵这个一元二次方程的一根大于2，
∴，
解得：，
∴m的取值范围．
21．(1)证明见解析；
(2)4．
【分析】本题考查切线的判定以及直径对的圆周角是直角，矩形的判定与性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
（1）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求得，然后结合等腰三角形的性质求得，得到，从而可得，问题得解；
（2）连接，结合圆周角定理判定四边形为矩形，从而利用矩形的性质和勾股定理求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵在中，D为边中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵的半径为，
∴，
在中，根据勾股定理可得．
22．(1)
(2)该水果的单价应定为50元
(3)水果店的最大利润是9000元，此时售价应定为60元/斤
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用；
（1）根据售价每涨1元，就会少售出10斤列关系式即可；
（2）根据每斤利润×销量＝总利润列方程，解方程舍去不合题意的解可得答案；
（3）根据每斤利润×销量＝总利润得出利润关于x的二次函数关系式，然后由二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）由题意得：，
解得：或，
∵尽量给予消费者实惠，
∴该水果的单价应定为50元；
（3）设水果店的利润为，
由题意得：，
∵，
∴当时，取最大值9000，
答：水果店的最大利润是9000元，此时售价应定为60元/斤．
23．（1），；（2），证明见解析；（3）2
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，；
（2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
∴，；
故答案为：，；
（2），证明如下：
如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查待定系数法，三角形的面积求法，等腰直角三角形的讨论，二次函数的图象与性质，难度比较大，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，用待定系数法求出直线的解析式，利用抛物线解析式设出点P坐标，从而得出点D的坐标，利用求面积，再配成顶点式从而可求面积的最大值；
（3）通过作垂线构造，从而得出边相等，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、，
∴，
解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为；
（2）解：如图1，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，
设直线的解析式为，
由，的坐标得，
，
解得
∴直线的表达式为：，
设，则，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，面积的最大值为；
（3）解：存在，理由：
设，F（0，n），
∵，
∴，，
如图2，过点P作轴于点Q，
则，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
解得：或2，
当时，，，
∴，即，
∵点F在y的负半轴上，
∴，
∴；
当时，，，
∴，即，
∵点F在y的负半轴上，
∴，
∴．
综上，点F的坐标为或．
()
()
